1、二次型的幾何分類及其應(yīng)用田金慧內(nèi)容摘要：通過對二次型的基本概念與基本理論的闡述，重點討論了二次型的五種分類：正定二次型、半正定二次型、負(fù)定二次型、半負(fù)定二次型和不定二次型，通過具體的實例給出了分類問題的幾何描述。其次，分析并列舉了二次型相關(guān)理論在實際中的一些應(yīng)用，其中包括二次型標(biāo)準(zhǔn)型在二次曲面分類上的應(yīng)用，由此得到了十七種二次曲面標(biāo)準(zhǔn)方程，并對典型方程給出了圖形描述；同時包括二次型正定性用于求解多元函數(shù)極值問題的應(yīng)用實例；還包括以實例展示半正定二次型用于不等式證明的步驟和方法。最后，作為二次型理論應(yīng)用廣泛的例證，闡述了它在統(tǒng)計學(xué)中關(guān)于統(tǒng)計距離、參數(shù)估計量的自由度求解以及量子物理中關(guān)于耦合諧振子

2、問題的應(yīng)用。在問題的研究中，采用理論分析與實例應(yīng)用相結(jié)合，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件的優(yōu)勢，將二次型（實）理論的內(nèi)涵形象、直觀、清晰地給予展現(xiàn)。關(guān)鍵詞：二次型；幾何描述；正定性；實際應(yīng)用1導(dǎo)言在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，二次型的理論是十分重要的，它不僅是代數(shù)中的重要理論，更是連接代數(shù)與幾何的有力橋梁。事實上，二次型的理論就起源于解析幾何中二次曲線、二次曲面方程的化簡問題。學(xué)習(xí)和理解二次型的理論不但可以對數(shù)學(xué)中的代數(shù)定理有深刻地理解，也可以對幾何有更為形象的認(rèn)識。因此，掌握二次型理論的有關(guān)應(yīng)用問題是十分必要的。但是，在現(xiàn)有的教材中，都只是對二次型理論的代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了一定的介紹，并沒有對它的幾何意義加以闡述；

3、即使有一些書籍對它的幾何性質(zhì)稍有涉及，但也只是點到為止，并沒有給出形象的表示，關(guān)于二次型可能的應(yīng)用問題更是很少提及,然而在數(shù)學(xué)的很多分支以及一些其他學(xué)科中都或多或少地涉及到二次型有關(guān)理論的應(yīng)用，如解析幾何、統(tǒng)計學(xué)和量子物理等。本文以二次型分類為切入點，以幾何描述為主線，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)勢，將二次型有關(guān)理論的內(nèi)涵加以展現(xiàn)。當(dāng)然，這里所討論的二次型理論只是其中的基礎(chǔ)，關(guān)于它的深入研究請參閱參考文獻(xiàn)1。2二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型所謂二次型就是一個二次齊次多項式。定義2.1在數(shù)域F上，含有n個變量Xi,X2,"l,Xn的二次齊次函數(shù)f(4X2,|,Xn)=aiiX2a22X2IIIannX22a

4、i2XiX22ainXiXn.2annXnXn(D稱為n元二次型，簡稱二次型。當(dāng)aij為復(fù)數(shù)時，f（Xi,X2，Xn）稱為復(fù)二次型；當(dāng)aij為實數(shù)時,f(Xi,X2,Xn)稱為實二次型。本文僅討論實二次型。若取a=aj,則2ajXiXj=可為乂上+ajXjXi于是（i）式可寫成nf(Xi,X2,|l,Xn尸ajXXj=xtaxi.ji(2)尸aiial2IIIaina2i+a22rIIIa2nr+kb1anian2IIIann其中，A二XiX2,A為實對稱矩陣，稱為二次型f的矩陣也把f叫做對稱矩陣A的二次型；同時A的秩也稱為二次型f的秩。定義2.2僅含有平方項的二次型f(yi，y2，lll，y

5、n)=diy2+d2y|+M+dj；(3)稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。對于二次型，主要問題是：如何尋求一個可逆的線性變換Xi=GiyiCi2y2Cinyn«(4)Xn=Cniyi十冊2y2+十gnYn將其化為標(biāo)準(zhǔn)型。定理2.1任意n元實二次型“2,乂2”,4)=*7以都可經(jīng)正交變換X=PY化為標(biāo)準(zhǔn)形f=%yi2十%y2+%y2=YT工Y<乙)其中九i,%,，h是f的矩陣A=(aj)的特征值。例2.1利用正交變換化二次型f(xi,x2)=2xix2化為標(biāo)準(zhǔn)型。0i、J0J解二次型f的矩陣為-i='2-i=("i特征多項式為：|-'E-A=所以A的特征值為丁=i,

6、%=-1當(dāng)九i=i時，解(iE-A)x=0得線性無關(guān)的特征向量匕=(i,iT,單位化得Pl=3（1,1）:2當(dāng)左=一1,解（,EA）x=0得線性無關(guān)的特征向量=（1,/T，單位化得1P2一(I,"令則P為正交矩陣P=(P，P尸于是，正交變換X=PY,即,1后12<21II2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型f=y；2一y21我1一瓦fyY1d2)二次型變換前后的幾何描述如圖1圖1二次型變換前（左圖）、后（右圖）3二次型的分類對二次型進(jìn)行分類，在理論和應(yīng)用上都有重要的意義。依二次型的正定性，可以將二次型分為以下幾類：正定二次型、負(fù)定二次型、半正定二次型、半負(fù)定二次型和不定二次型等。3. 1正定二次

7、型和負(fù)定二次型定義3.1.1設(shè)實二次型f(x1,x2,|),xn)=XTAX,(i)如果對于任意一組不全為零的實數(shù)g,C2,，g,都有f(Ci,C2,，Cn)A0,稱該二次型為正定二次型，且稱矩陣A為正定矩陣。(ii)如果對于任意一組不全為零的實數(shù)G,C2,，Cn,都有f(q,C2，|,Cn)<0,稱該二次型為負(fù)定二次型，且稱矩陣A為負(fù)定矩陣。二次型正定與負(fù)定的幾何描述如圖2、圖3。二元正定二次型x2圖3一元、二元負(fù)定二次型定理3.1.1對于實二次型f(xi,x2,|,xn)=XTAX,下列條件等價：f是正定的；(ii) f的標(biāo)準(zhǔn)型是d1y12+2黃+111+5丫；(4>0,i=1

8、,2,111,n)；d一Td2(iii) 存在可逆實矩陣C,且C后=.d(iiR2#n|;hq工dnJ(iv) 存在可逆實矩陣C,使得A=CtC；(v) A的全部特征值皆大于零；(vi) A的各級順序主子式皆大于零，即ai4=：akiIIIa1k工；0,(k=1,2,n)。IIIakk定理3.1.2對于實二次型f(Xi，X2，Xn)=xTAx,下列條件等價:(i) f是負(fù)定的；(ii) f的標(biāo)準(zhǔn)型是diyi2+dzy2+|+dny；(di<0,i=1,2,|,n);(iii)存在可逆實矩陣C,使得A=Ct(-E)C=CTC；(iv) A的全部特征值皆小于零；(v) A的奇數(shù)階順序主子式為

9、小于零，而偶數(shù)階主子式為大于零3,即aliIMaikkk一(-1)|Ak=(一1):二：A0,(k=1,2,，n)。akiIIIakk例3.2.1判別二次型f(x1,x2,x3)=5x2+x；+5x；+4xx2-8X1X3-4x2x3的正定性。解二次型f的矩陣為52-4、A=21-24-25an=5>0,a11a12=1>0,A=1>0a21a22根據(jù)定理3.1.1,知f為正定二次型。f的幾何描述如圖4圖4f的三維切面圖例3.1.2判別二次型f(x,y,z)=5x26y24z2+4xy+4xz的正定性。解二次型f的矩陣為-522、A=260/0-2半正定二次型和半負(fù)定二次型定

10、義3.2.1設(shè)實二次型f(x1,x2,|xn)=XTAX,(i)如果對于任意一組不全為零的實數(shù)C1,C2,，Cn,都有f(C1,C2,lll,Cn)>0,稱該二次型為半正定二次型，且稱矩陣A為半正定矩陣。(ii)如果對于任意一組不全為零的實數(shù)C1,C2,，Cn,都有f(C1,C2,|,Cn)M0,稱該二次型為半負(fù)定二次型，且稱矩陣A為半負(fù)定矩陣。二次型半正定與半負(fù)定的幾何描述如圖6(二元二次型)aia12一一一.一一一H11=5<0,=26>0,A=80<0a2ia22根據(jù)定理3.1.2,知f為負(fù)定二次型。f的幾何描述如圖5x圖5f三維切面圖圖6二元半正定(左圖),二元

11、半負(fù)定(右圖)定理3.2.1對于實二次型f(Xi,X2|Xn)=XTAX,下列條件等價：(i) f是半正定的；(ii) f的標(biāo)準(zhǔn)型是d1x2+d2x；+|+dnx2(di之0,i=1,2J|,n)；d一Tdo(iii)存在可逆實矩陣C,且ctAC=.(di>0,i=1,2,|,n);H1ddn)(iv)存在實矩陣C,使得A=CTC；(v) A的全部特征值皆大于或等于零；(vi) A的所有主子式皆大于或小于零。定理3.2.2對于實二次型f(x1,x2,|xn)=XTAX,下列條件等價3:(i)f是半負(fù)定的；(ii)存在實矩陣C,使得A=CT(-E)C=CTC；(iii) A的全部特征值皆小

12、于或等于零；(iv) A的奇數(shù)階主子式皆小于或等于零，而偶數(shù)階主子式皆大于或等于零3即anar(1)r:之0,(r=1,2,，n)。arlarr3.3不定二次型定義3.3.1設(shè)實二次型f(x1,x2川l)=XTAX,如果f既不是正定的，也不是負(fù)定的，則稱該二次型為不定二次型例3.3.1判定二次型22、xy一f(x,y)=-22,aQb0ab的正定性。解易知所給二次型為不定二次型，其幾何描述如圖7圖7a=3,b=4時的幾何圖形例3.3.2判定二次型f(x,y)=xy的正定性。解易知所給二次型為不定二次型，其幾何描述如圖8圖84二次型理論在二次曲面分類上的應(yīng)用二次曲面方程的一般形式4為222a11

13、x+a22y+a33z+2a12xy+2al2xz+2a12yz+2hx+2b2y+24z+c=0(5)令A(yù)T=A=(aj),U=(x,y,z)T,B=0力2,0)T,則上述方程可以寫為UtAU+2BtU+c=0(6)其中f(x,y,z)=UtAU就是一個二次型。由于A是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣Q,使得仇、QTAQ=£2=diag(%,%)這里A,%,%為A的特征值(均為實數(shù))作正交變換U=QV,其中V=(為，必,乙),，式(6)化為VTdiag(%,%,%)V+2BtQV+c=0(7)令BTQ=D=(d1,d2,d3),則(7)式化為，一4十%y；+2d1x1+2d2yl+2d

14、3z1+c=0(8)1)若%,%,%都不為零，配方得：%(Xi+5)2+%(%+支)2+%(乙+4)2+(c-dr-d-d3-)=0(9)1'2'3'1'2'3那么，經(jīng)過平移后式(9)可簡化為%x22十九2y22十/z22+S=0(10)其中S=c-芝-貨-置。1 213下面對(10)式進(jìn)行討論。(1) %>0,>2>0,>0,S<0由(10)式得X2SY2十-S令a2=三,b2=,c2=S,則有1'2'322XY+2.2abZ=121c（橢球面）其幾何圖形如圖9(ii)仿上其中a2圖910,20,30,S0

15、(10),b2式可化為X2Y22,2abz2=-1（虛橢球面）（iii） 10,20,30,S=0仿上（10）式可化為X2Y2Z2+2,22abc=0(點)其中a2=,b21（iv） %,%,%中兩正一負(fù)，S<0不妨設(shè)%>0,%A0,%<0,仿上（10）式可化為22一2XYZ,212T=1abc（單葉雙曲面）其中a2（v）%,%,%中兩正一負(fù)，S>0不妨設(shè)乙>0,九2>0,%<0,仿上（10）式可化為2.2一2（雙葉雙曲面）X_Y_Z_12.221abc其中a21,b2S2,C-S（vi）%,%,%中兩正一負(fù),S=0不妨設(shè)匕>0,X2>0,

16、X3<0,仿上（10）式可化為X22_2Yz2.22abc=0（二次錐面）1cle1其中a2=,b2=,c2=。其幾何圖形如圖101'2'3圖102）若%,%,%中有且僅有一個為零不妨設(shè)%=0,這時二次曲面（8）就變成22的2yl2d兇2d2yl2d3乙c=0從而,2.2（11）1（X1當(dāng)22（y1曳）22d34（c-蟲-支）=0/u./u./u*1212若3#0,則.2.2d1d2c-i(xd)22(yi-)22d3(z)=。i22d3平移后得(12)22,iX32V32d3Z3=0再令=x3二y3-d3z3則(8)式變?yōu)?13)221X22Y2-2Z=0于是又得到下面

17、兩類二次曲面(i)兒>0,%>0由(13)式得令a2=,b2=,貝U有,12其幾何圖形如圖11。X2Y2彳力X2y22+2=2Z(橢圓拋物面)ab圖11（ii）兒>0,40仿上（13）式可化為X2Y22-2=2Z（雙曲拋物面）ab2121其中a=一,b=-一'1'2(14)冉若（11）式中d3=0,這時可把（11）式平移后得221X22Y2T=0其中T=c-d2-史。12這樣，又可得五類二次曲面：（iii）兒A。,%>0,T<0由（14）式得-T-T12一.c-Tc-T右令a=,b=,貝U有Y2+=1(橢圓柱面)b12X2-2a(iv)%>0

18、,%>0,T>0其幾何圖形如圖12。圖12仿上（14）式可化為X2-2aY2-1（虛橢圓柱面）其中a2=T,b2(v)i0,20,T=0仿上（14）式可化為X2-2ab2=-1(直線)(vi)"0,j0,T：二0仿上（14）式可化為X2Y22.2ab=1（雙曲柱面）其中a2=三,b2=T，其幾何圖形如圖13*5圖13(vii)%>0,%<0,T=0仿上（14）式可化為X2Y2-=0（兩相父平面）ab3）若W飛中有且僅有兩個為零不妨設(shè)兀=0,砥=%=0,止匕時（5）就變?yōu)?a11x2b1x2b2y2b3zc=0配方得d-d21(x)2b2y2b3Z(c-)=0九

19、1%(15)若b2b3手0,作變換x=x4d2y=22"2+d3)一d2y-2r-24+d3)y42d2Z4y4-2d2Z4代入（15）式得1X2Y=0(16)這樣又得到一類曲面(i)由(16)式得X2=2(->)Y,4P,則有X2=2PY（拋物柱面）若b2=4=0,那么（16）式就變成i(xd1)2(c-d")=0平移后得1X2L=0(17)于是可得到最后三類二次曲面:(ii)£1A0,L<0這時（17）式可化為x2=a2（一對平行平面）其中a2二-10,L0這時（17）式可化為x2=-a2（一對虛的平行平面）(iv)i0,L=0這時（17）式可化為

20、x2=0（一對重合的平面）4.2應(yīng)用實例例4.2.1判別方程3x2+4xy+2z2=1所代表的二次曲面的類型。解方程左邊為一三元二次型，不妨設(shè)f（x,y,z）=3x2+4xy+2z2,則f的矩陣'320'A=|200202>易求得A的特征值為%=4,%=2,%=-1。由（8）式知所求曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程為222x1y1Z1/1221.2222/1因此，該曲面是單葉雙曲面，如圖14圖14二次曲面變換前（左圖）、后（右圖）例4.2.2判別方程2xy+2xz+2yz-''2x+J2y-1=0所代表的二次曲面的類則原方程可寫為1、10，y<z.>UTAUBt

21、U-1=0A的特征值及對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量分別為:Q14(1,1,1T；九2=-1(二重)，Q2$T1,-1,0，Q3=,61,1，-2Q=Qi，Q2，Q3=131J3131212則有QTAQ=diag(2,-1,-1),BtQ=(0,2,0)1d作正交變換U=QV,其中V=（為，必,乙）,，則（9）式化為VTdiag(2,-1,-1)VdV-1=02x1-'y1-'Z；-2y1-1=0配方，得2x2-(01)2-42=0作平移變換x2=x1,y2=y+1,z2=乙，得2222x2-y2-z2=0這就是原曲面方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示一個頂點在原點，旋轉(zhuǎn)軸為x軸的圓錐面，如圖15

22、圖15二次曲面變換前（左圖）、后（右圖）5二次型理論在多元函數(shù)極值問題中的應(yīng)用5.1理論分析定義5.1.1設(shè)n元函數(shù)f(X1,X2，.Xn)Lf(X)在X。=(x1,X2，.,Xn)TwRn的某鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),稱*(X°)=包IIICX2cf'TXnX=X為函數(shù)f（X）在0點X。處的梯度；稱H（X。）=fWaff12W1f改2次-2.ff：X1-：X2If2CX2IIIIII:2f-：XV：XnIf區(qū)心-2rff:Xn：X2IIIIf2二XnX%為f（X）在X。處的海塞矩陣。定理5.1.1（極值的必要條件）設(shè)n元函數(shù)f（X）,其中X=（為？2，”1出）對各自變量

23、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，X0=便040,|?；戶Rn是f(X)的一個駐點，則f(X)在X。處取極值的必要條件是Wf(Xo)=O。定理5.1.2(極值的充分條件)設(shè)函數(shù)f(X)在電XOwRn的某鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且Vf(X0)=O，則：(i)當(dāng)H(Xo)為正定矩陣時，f(X)在X。處取得極小值；(ii)當(dāng)H(X。)為負(fù)定矩陣時,f(X)在X。處取得極大值；(iii)當(dāng)H(X。)是不定矩陣時，f(X)在X。處不取極值。證6記AX=XX。，Ax=xx。將f(X)在X。處作Taylor展開，有2rf(X)-f(X0)=£AXj十一£-AxiAXj+o(AX2)ijxi2i,

24、j.XiFXjT_1T2=(AX)Vf(X。)十(AX)H(Xo)AX+o(AX)21T2=-(AX)H(X0)AX+o(AX|)。由于Vf(Xo)=。，當(dāng)AX#0,且AX充分小時，上式可化為f(X)-f(X。)(.：X)TH(X0”：X2由此可以看出，f(X。)是否是f(X)的極值取決于二次型(AX)TH(X0)AX的正定性。當(dāng)H(X。)為正定矩陣時，AX=0時，就有f(X)-f(X。)>0,即f(X。)是f(X)的極小值。當(dāng)H(X。)為負(fù)定矩陣時，熾00時，就有f(X)-f(X。)<0,即f(X。)是f(X)的極大值。最后，當(dāng)H(X。)是不定矩陣時，f(X)在f(X。)處不取極

25、值。這是因為，倘若f(X)在f(X。)處取得極值，不妨設(shè)取得極大值，則沿任何過X。的直線x=x°+他為，f(X)=f(Xi,X2,Xn)=(t)在t=0處亦取得極大值。由一元函數(shù)取極值的充分條件知，平''(0)>0是不可能的(否則，中在t=0處將取極小值)，故中''(0)E0,而f叫t)=£AXi,i凡：2f(t)='、'為.內(nèi)，i,jFXifXj9''(0)=(AXTH(X0)(AX),這表明H(X0)必須是半正定的，這與假設(shè)矛盾。證畢推論1設(shè)一元函數(shù)y=f(X)在幾處二次連續(xù)可微，且f'(X0

26、)=0,則f''(X。)A0(<0)時，f(X)在X。處取極小(大)值。推論2設(shè)二元函數(shù)z=f(X,y)在(X0,y°)處有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又開的，y0)二：f(X0,y°):x；:y,22,、二f(X0,y0);f(X0,y°)2f(X0,y0)2>0,二xcy.2-,、二f(x0,y°)-2-X>0(<0)時，f(x,y)在(X0,y0)處取極小(大)值。5.2應(yīng)用實例例5.2.1求函數(shù)f(x,y)=x3+3xy215x12y的極值解f(x,y)的幾何描述如圖16圖16f（x,y）在R2上有定義，且有連續(xù)的一階

27、、二階偏導(dǎo)數(shù)。求解方程組=0exr2-2一3x+3y15=06xy12=0得到四個駐點：(2,1),(-2,-1),(2,1),(-1,-2)。計算得If小If小-2-=6x,=6y,f6x-y矩陣H2,1=126矩陣H(-2,-1)=12-12-6-6-12H(X)=z6x口y3y6x2,1）是極小值點，此時極值為-28;故（-2,-1）是極大值點，此時極值x二xy為28;矩陣H(1,2)=6U2126,，H(-1,-2)=一6一12i都是不定矩陣，故（1,2）,（-1,126J-2）都不是極值點。例5.2.2求函數(shù)f(x,y,z)=x2+2y2+3z2+2x6z+4y的極值解f（x,y,z

28、）在R3上有定義，且有連續(xù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)。求解方程組L.cz2x2=0I4y4=06z-6=0得到駐點為(-1,-1,1)。進(jìn)一步計算得2r2r2r4=2,=0,=0cXcXcycXcZ_2,2r工工口=0,匕=40=0.1-L、t-,Jt-,t-.tycx5ycyczc2r_2,_2,白fc已fc6fc=0,=0,2=6czcxczcycz即200、H(X)=040、006,而H(X)是正定的，所以f(x,y,z)在(-1,-1,1)-6。f(x,y,z)的幾何描述如圖17.圖17點取得極小值，此時極值為半正定二次型在不等式證明中的應(yīng)用舉例本文前面對半正定性二次型的判定條件進(jìn)行過簡單的介

29、紹，以下通過具體實例說明二次型半正定性在不等式證明中的應(yīng)用。該方法證明不等式的基本思路是：首先構(gòu)造二次型，然后利用二次型半正定性的定義或等價條件。判斷二次型（矩陣）為半正定，從而得到不等式7。例6.1設(shè)a,bwR,試證a2十b2至2ab。證要證明的不等式可寫成a2+b2-2ab20,所以只需證矩陣AC-1）A=L1J半正定。由于A的一階、二階主子式分別1a0,A=0,所以A半正定，從而二次型上a"22f(a,b)=(a,b)A=a+b-2ab半正定。證畢f(xié)(a,b)的幾何描述如圖18。a圖18例6.2已知AABC的三邊分別為a,b,c,面積為S,試證a2+b2+c2之4、/3s證利用

30、余弦定理及面積公式，將問題轉(zhuǎn)化為f(a,b)=a2b2a2b2-2abcosC-2.3absinC=2a22b2-2ab(cosC-.3sinC)_2_26_=2a2b-4absin(C)其矩陣為aj2-2(cosC-V3sinC)x12(cosC_6sinC)2,由于A的一階、二階主子式分別26-26A=41-所以A半正定，從而二次型f(a,b)半正定，即結(jié)論成立。例6.3(Cauchy不等式)設(shè)a，b(i=1,2,|,n)為任意實數(shù)，則一2一2.2(aibi)一ai)bi)n證記f(X1,x2)=£(aiX1i1-22.9biX2)ai)X12(“aibi)X1X2(xbi)X2

31、因為對于任意X1,X2,都有f(X1,X2)>0,故關(guān)于X1,X2的二次型f(X1,X2)是半正定的。因此，該二次型矩陣的行列式大于或等于0,即n,、a-Tn、aibii1n'、aibii1n、bi2iT-0故得(£aibi)2<(Zai2)(Zb：)。例6.4證明n£i1i1nXi2Xi)2i1n證記f(X1,X2，川,Xn)=n£X：Xi)2=XtAXX=(X1,X2,IH,Xn)T,A=n-1-1in-i-1n-1III-1HIIIIHIIII-i-iinn-1sin(一C)=4cos(C)_0,經(jīng)過初等變換得:z011"0n0

32、A,AAAA«JiA1000n,于是A的特征值為0,叫上,于是A為半正定矩陣，即二次型是半正定的,從而nJ得f(Xi,X2,|,Xn)>0,即nnn'x.。x)2i4i17二次型在統(tǒng)計中的應(yīng)用7.1關(guān)于統(tǒng)計距離許多統(tǒng)計問題都涉及到樣本點距某中心的距離，在大多數(shù)情況下，通常的歐氏距離是不能令人信服的8?？疾靝維變量X=(為42川|,4),對應(yīng)p維空間的點M(Xi,X2，Xp),假設(shè)M的位置可以變化，為了體現(xiàn)各個變量在變差大小上的不同以及有時存在的相關(guān)性，需要建立統(tǒng)計距離。1定義7.1.1設(shè)Bp冷為正定矩陣，稱d(0,M)=(XTBX)2為一種距離，對于不同的B的選擇，可得

33、到不同的統(tǒng)計距離。如回歸診斷中使用較多的Mahalanabis距離，Cook距離等。為考慮問題的方便，考察d2(0,M)=XTBX,而XTBX為正定矩陣B的二次型。7.2二次型在求自由度中的應(yīng)用在統(tǒng)計學(xué)中，自由度是指總體參數(shù)估計量中變量值獨立自由變化的個數(shù)。它產(chǎn)生于利用樣本量估計參數(shù)的時候。實際上自由度也是對隨機變量的二次型(也可以9o稱為二次統(tǒng)計量)而言的。£aijXiXj的秩的大小反映了n個變量中能自由變動的無i,j約束變量的多少，因此我們所說的自由度就是二次型的秩例6.3.1n求統(tǒng)計量£(Xi-X)2的自由度i4n_2、222x)=、Xi-nXi4J21J一XiXii

34、4ni1J12J1-(1)Xi(-)XiXjXtAX其中X=(x1X2Xn)，/111'1nnn111_.1-nnn.一,一_1_111nnnJAA的秩為我們可以通過矩陣的初等變換求得n_n-1,所以統(tǒng)計量£(Xi-X)2的自由度為n-18二次型理論在耦合諧振子問題中的應(yīng)用在量子力學(xué)、固體物理、量子光學(xué)、分子光譜等領(lǐng)域，經(jīng)常遇到一系列的耦合諧振子問題，因此，研究耦合諧振子的解也就顯得尤為重要，解決此類問題的關(guān)鍵是使體系的哈密頓量退耦，可以利用二次型理論構(gòu)造一幺正交變換矩陣精確求解質(zhì)量和頻率均不相同的雙膜雙耦合諧振子體系的能譜100質(zhì)量和頻率均不相同的雙膜雙耦合諧振子體系的哈密

35、頓量為P2Mixi2ml2m222m222X1X2P1P2式中九和下分別為坐標(biāo)耦合強度和動力耦合強度，上式的哈密頓量就是一個二次型。H的矩陣為外加00、A=Y/20000m伸2/2即2100人/2m1w1/2;關(guān)于H,詳細(xì)的分析和討論請參閱參考文獻(xiàn)109結(jié)論實際上，凡是用到實對稱矩陣的問題，都或多或少的涉及到了二次型的有關(guān)理論，不論是數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)，還是理論物理學(xué)。本文主要將二次型的理論作了簡要的介紹，并闡述了二次型在實際問題中的一些應(yīng)用，使二次型的理論更加鮮活地展現(xiàn)在我們面前，這正是課題研究的意義所在,同時也是作者的目的。本文的創(chuàng)造性工作是將二次型與幾何圖形巧妙地結(jié)合在一起，突出了主題；給出一

36、些有用的定理及證明，如在第5部分給出的不定二次型與極值的關(guān)系等。當(dāng)然，本文還是有不少的遺憾和缺陷。例如只討論了實二次型，而對于復(fù)二次型作者沒有涉及；在二次型的分類上，只以正定性為依據(jù)給出了分類，而對其他的依據(jù)沒有涉及，如可分性等；關(guān)于不定二次型的極值問題，如果可以給出判斷極值的方法，那這方面的理論就完善了。這些都有待進(jìn)一步討論。參考文獻(xiàn)1柯召文集編委會.柯召文集M.四川：四川大學(xué)出版社,2000:96-1082北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)M.(第三版).北京：高等教育出版社,2003:205-2313李秀英.負(fù)定二次型與半負(fù)定二次型J.通化師范學(xué)院學(xué)報.2004(2):1

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