1、導數及其應用綜合檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1. (2010全國H文，7)若曲線y=x2+ax+b在點(0,b)處的切線方程是x-y+1=0,則()A.a=1,b=1Ba=-1,b=1Ca=1,b=-1Da=-1,b=-1答案A解析y=2x+a,y|x=o=(2x+a)|x=o=a=1,將(0,b)代入切線方程得b=1.2. 一物體的運動方程為s=2tsint+1,則它的速度方程為()Av=2sint+2tcost+1Bv=2sint+2tcostCv=2sintDv=2sint+2c

2、ost+1答案A解析因為變速運動在t0的瞬時速度就是路程函數y=s(t)在t0的導數，S'=2sint+2tcost+1,故選A.3. 曲線y=x2+3x在點A(2,10)處的切線的斜率是()A4B. 5C. 6D. 7答案D解析由導數的幾何意義知，曲線y=x2+3x在點A(2,10)處的切線的斜率就是函數y=x2+3x在x=2時的導數，y|x=2=乙故選D.4. 函數y=x|x(x3)|+1()A.極大值為f(2)=5,極小值為f(0)=1B.極大值為f(2)=5,極小值為f(3)=1C.極大值為f(2)=5,極小值為f(0)=f(3)=1D.極大值為f(2)=5,極小值為f(3)=

3、1,f(1)=3答案B解析y=x|x(x3)|+1x33x2+1(x<0或x>3)=x+3x+1(0wxW3)x26x(x<0或x>3)二y，=2i3x+6x(0wxw3)x變化時，f，(x),f(x)變化情況如下表：x(K,0)0(0,2)2(2,3)3(3,+oo)f，(x)+0+0一0+f(x)z無極值極大值5極小值1z二f(x)極大=f(2)=5,f(x)極小=f(3)=1故應選B.5. (2009安徽理，9)已知函數f(x)在R上滿足f(x)=2f(2-x)x2+8x8,貝卩曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程是()A.y=2x1B. y=xC. y

4、=3x2D.y=2x+3答案A解析本題考查函數解析式的求法、導數的幾何意義及直線方程的點斜式.tf(x)=2f(2x)x2+8x8,二f(2x)=2f(x)x24x+4,f(x)=x2,/.f(x)=2x,曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線斜率為2,切線方程為y1=2(x1),二y=2x1.6. 函數f(x)=x3+ax2+3x9,已知f(x)在x=3時取得極值,則a等于()A.2C4D5答案D解析f(x)=3x2+2ax+3,Tf(x)在x=3時取得極值，x=3是方程Bx2+2ax+3=0的根，二a=5,故選D.7. 設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數.當x<

5、0時,f(x)g(x)+f(x)g(x)>0,且g(3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(3,0)U(3,+乂)B.(3,0)U(0,3)C.(=,3)U(3,+乂)D.(=,3)U(0,3)答案D解析令F(x)=f(x)g(x),易知F(x)為奇函數，又當x<0時，f(x)g(x)+f(x)g(x)>0,即F(x)>0，知F(x)在(一=,0)內單調遞增，又F(x)為奇函數，所以F(x)在(0,+乂)內也單調遞增，且由奇函數知f(0)=0,F(0)=0.又由g(3)=0,知g(3)=0F(3)=0,進而F(3)=0于是F(x)=f(x)g(x)

6、的大致圖象如圖所示F(x)=f(x)g(x)<0的解集為(=3)U(0,3),故應選D.8. 下面四圖都是同一坐標系中某三次函數及其導函數的圖象,其中一定不正確的序號是（）A.B.C.D.答案B解析不正確；導函數過原點,但三次函數在x=0不存在極值；不正確；三次函數先增后減再增，而導函數先負后正再負.故應選B.9.(2010湖南理，5)xdx等于()A.-2ln2B. 2ln2C. -ln2D. In2答案D1解析因為(Inx)'=x，110.已知三次函數f(x)=3X3(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在x(-=，+乂)是增函數，則m的取值范圍是()A.m<2

7、或m>4B.4<m<2C.2<m<4D.以上皆不正確答案D解析f(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,由題意得x2-2(4m-1)x+15m22m-7>0恒成立，二=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)=64m232m+460m2+8m+28=4(m26m+8)<0,2<m<4,故選D.11. 已知f(x)=x3+bx2+cx+d在區間1,2上是減函數，那么b+c()A.有最大值152B.有最大值15215C.有最小值1D.有最小值152答案B解析由題意f(x)=3x2+2bx+c在1,2上，f(x)<0恒成立.*

8、64jbirf：+|2=0(1)<0(2)<02bc3>0即4b+c+12<0令b+c=z,b=c+z,如圖過A6,2得z最大，315最大值為b+c=62="2".故應選B.12. 設f(x)、g(x)是定義域為R的恒大于0的可導函數，且f(x)g(x)f(x)g(x)<0，則當a<x<b時有()A. f(x)g(x)>f(b)g(b)B. f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(b)>f(b)g(x)D. f(x)g(x)>f(a)g(x)答案C解析令F(x)=f(x)g(x)則F(x)=f(x

9、)g(x)f(x)g(x)<0f(x)、g(x)是定義域為R恒大于零的實數F(x)在R上為遞減函數,當x(a,b)時,g(x)g(b)二f(x)g(b)>f(b)g(x).故應選C.二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分.答案填在題中橫線上)將正確13.1 dx(11+5x)32答案72解析取F(x)=110(5x+11)12從而F(x)=1(11+5x)31dx(11+5x)3F(1)F(2)2ax114. 若函數f(x)=一;一的單調增區間為(0,+)，則實數a的ZV取值范圍是.答案a>0(們1解析f(x)=axxJ=a+子，1由題意得，a+護0,對x(0,+

10、x)恒成立，1一二a>x2,x(0,+x)恒成立，/.a>0.15. (2009陜西理，16)設曲線y=xn+答案2解析本小題主要考查導數的幾何意義和對數函數的有關性質.k=y|x=1=n+1,切線I:y1=(n+1)(x1),人nn令y=0,x=,an=lgn+1n+1、12gg原式=|g2+|g3+耳。2gg1=lgXt=|g=2.(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為Xn,令an=Igxn,則a+a?+agg的值為2答案3+ln2解析x=2由1y=_xy2=x,由1y=X,得交點A(1,1)得交點B(2,2)1故所求面積S=，oxdx+2"dx丿o丿

11、iX=|x|o+lnx|2=3+ln2.三、解答題(本大題共6個小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17. (本題滿分12分)(2010江西理,19)設函數f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).(1) 當a=1時，求f(x)的單調區間；1若f(x)在(0,1上的最大值為2求a的值.解析函數f(x)的定義域為(0,2),F(x)=xa，x2xx2+2(1)當a=1時，f(x)=，所以f(x)的單調遞增區間為(0,x(2x)2)，單調遞減區間為(2,2);2 2x當x(0,1時，f(x)=+a>0,x(2x)即f(x)在(0,1上單調遞增，故f(x)在(

12、0,1上的最大值為f(1)=a,1因此a=2.18. (本題滿分12分)求曲線y=2xx2,y=2x2-4x所圍成圖形的面積.y=2xx2,解析由彳2得X1=0,X2=2.ly=2x24x由圖可知，所求圖形的面積為S=2(2xx2)dx+12(2x24x)dx|0'0=2(2xx2)dx2(2x24x)dx.00r1,因為x23x3/=2xx2,=2X24x,2=4.0(213(23八所以S=X2gxjgx32x2j19. (本題滿分12分)設函數f(x)=x33ax+b(a0).(1) 若曲線y=f(x)在點(2,f(2)處與直線y=8相切，求a,b的值;(2) 求函數f(x)的單調

13、區間與極值點.分析考查利用導數研究函數的單調性，極值點的性質，以及分類討論思想.解析(1)f(x)=3貳3a.因為曲線y=f(x)在點(2,f(2)處與直線y=8相切,(2)=0,f3(4a)=0,所以即If(2)=8.186a+b=8.解得a=4,b=24.(2)f(x)=3(x2a)(az0).當a<0時，f(x)>0，函數f(x)在(一=,+=)上單調遞增，此時函數f(x)沒有極值點.當a>0時，由f(x)=0得x=±a.當x(OO,一a)時，f(x)>0，函數f(x)單調遞增；當x(a,.a)時，f(x)<0，函數f(x)單調遞減；當x(a,+o

14、)時，F(x)>0,函數f(x)單調遞增.此時x=a是f(x)的極大值點，x=a是f(x)的極小值點.20. (本題滿分12分)已知函數f(x)=2/+lnx.(1) 求函數f(x)的單調區間；1223(2) 求證：當x>1時，qx'+lnx<3x3.解析(1)依題意知函數的定義域為x|x>0,1f(x)=x+x，故F(x)>0,二f(x)的單調增區間為(0,+x).2312(2)設g(x)=3X3xlnx,二g(x)=2x-xx，(x1)(2x2+x+1)t當x>1時，g(x)=x>0,g(x)在(1,+x)上為增函數，1二g(x)>g

15、(1)=6>0,12二當x>1時，x2+lnx<§x3.921. (本題滿分12分)設函數f(x)=x3x2+6xa.(1) 對于任意實數x,f(x)>m恒成立，求m的最大值；(2) 若方程f(x)=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍.分析本題主要考查導數的應用及轉化思想，以及求參數的范圍問題.解析(1)f(x)=3貳9x+6=3(x1)(x2).因為x(x,+x).f(x)>m,即卩3x29x+(6m)>0恒成立.3 3所以=8112(6m)<0,得mW4,即卩m的最大值為一/(2)因為當x<1時，f(x)>0;當1<x&

16、lt;2時，f(x)<0;當x>2時f(x)>0.5所以當x=1時，f(x)取極大值f(1)=2a,當x=2時，f(x)取極小值f(2)=2a.故當f(2)>0或f(1)<0時，方程f(x)=0僅有一個實根，解得a<2或a>|.22. (本題滿分14分)已知函數f(x)=x3+ax2+1(aR).(1) 若函數y=f(x)在區間0,3片遞增，在區間環+*J上遞減，求a的值；(2) 當x0,1時，設函數y=f(x)圖象上任意一點處的切線的傾斜角為0,若給定常數a2,+乂，求B的取值范圍；在(1)的條件下，是否存在實數m,使得函數g(x)=x4lx3+(2

17、mjx2+1(mR)的圖象與函數y=f(x)的圖象恰有三個交點.若存在，請求出實數m的值；若不存在，試說明理由.、公解析(1)依題意f&=0,由f(x)=3貳+2ax，得一32+2a=0，即卩a=1.由a2，+,/曰aJ1,、得3丿-<x-32+尋fl當，1，即a2,3時，f(x)a2max=3,當x0,1時，tan0=f(x)=3x2+2ax=f(X)min=f(0)=0.此時0<tan0<即a當(1,+x),即a(3,+x)時，F(x)max=f(1)=2a3,f(x)min=f(0)=0,此時，Owtan0<2a3.3：a2!又v00,n)當2<a<3時，00,arctan,