1、直線和圓直線1斜率與傾斜角：k=tanr，才0,二)(i) 才。，2)時，k0；(2)8=專時，k不存在；(3)朕(2,二)時，k：0(4)當傾斜角從0增加到90時，斜率從0增加到:;當傾斜角從90增加到180時，斜率從-二增加到02.直線方程(1)點斜式：y-y0=k(x-x0)(2)斜截式：y=kxb(3)兩點式：八*¥25X2X1(4)截距式：-=1ab(5)一般式：AxBy03.距離公式(1) 點R(xi,yJ，P2(x2,y2)之間的距離：RP2I=J(X2xj2+(y?yj2(2) 點P(X0,y。)到直線Ax+By+C=0的距離：d=兇簽事雪C1Ja2+b2Ic_CI(

2、3) 平行線間的距離：AxByC0與AxByC0的距離：d14A+b24. 位置關系(1)截距式：y=kxb形式重合：K*2D二b2相交：平行：k,-k2D=b2垂直：k1k-1(2)一般式：AxByC=0形式重合：AB2二A2Bi且A1C2A2C1且BC2二CB2平行：AB2二AsB且A1C2TA2C1且BC2C1B21垂直：a1a2b1b2=0相交：A,B-A?Bi5. 直線系AxB,yC,+(A2x-B2y-C2)=0表示過兩直線l,:A,xB,yC0和l2:A2x-B2yC2=0交點的所有直線方程(不含|2)二.圓1. 圓的方程(1) 標準形式：(x-a)2(y-b)2=R2(R0)(

3、2) 一般式：x2y2DxEyF=0(D2E2-4F0)x=x+rcos日(3) 參數方程：(0是參數)=y0+rsinB【注】題目中出現動點求量時，通常可采取參數方程轉化為三角函數問題去解決(4) 以A(X1,yJ,B(X2,y2)為直徑的圓的方程是：(x-Xa)(x-Xb)(y-yA)(y-Yb)=02. 位置關系222(1)點P(x0,y。)和圓(x-a)，(y-b)二R的位置關系：222o99當(xo-a)(y0-b):R時，點P(x°,y°)在圓(x-a)(y-b)-R內部當(X。-a)2(y。-b)2二R2時，點P(x。，y。)在圓(x_a)2(y-b)2二R2

4、上當(x°-a)2(y°-b)2R2時，點P(x°,y°)在圓(x-a)2(y_b)2=R2外(2)直線AxBy0和圓(x-a)2(y-b)2二R2的位置關系：判斷圓心O(a,b)到直線AxByC=0的距離d=|AaBbC+m3例4若a,b,c是直角三角形ABC三邊的長(c為斜邊)，則圓C：x2+y2=4被直線I:ax+by+c=0所截得的弦長為.解析：由題意可知圓C：x2+y2=4被直線I:ax+by+c=0所截得的弦長為2、/4午三+尋j,由于a2+b2=c2,所以所求弦長為23.答案：23例5已知OMx2+(y2)2=1,Q是x軸上的動點，QAQB

5、分別切。M于A,B兩點.與半徑R的大小關系VAF當d:R時，直線和圓相交(有兩個交點)；當d=R時，直線和圓相切(有且僅有一個交點)；當d:R時，直線和圓相離(無交點)；判斷直線與圓的位置關系常見的方法(1) 幾何法：禾U用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系.(2) 代數法：聯立直線與圓的方程消元后利用判斷.(3) 點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內可判斷直線與圓相交.3. 圓和圓的位置關系判斷圓心距d=|0Q2與兩圓半徑之和R+R2，半徑之差Ri-R>(RiaR2)的大小關系當dRiR2時，兩圓相離，有4條公切線；當d=RR2時，兩圓外切，有3條公切線；當RR2:d:R

6、-R2時，兩圓相交，有2條公切線；當d二R-R2時，兩圓內切，有1條公切線；當0_d:RiR2時，兩圓內含，沒有公切線；4.當兩圓相交時，兩圓相交直線方程等于兩圓方程相減5弦長公式：I=2、.R2_d2例1若圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點，則實數k的取值范圍是解析：由題意知2>1,解得一飛?3vkv3.寸1+k2v丫答案：(一3,3)例2已知兩圓22C:x+y2x+10y24=0,C：x2+y2+2x+2y8=0，則兩圓公共弦所在的直線方程是解析：由題意得，圓心答案：土若IAB|=¥，求|MQ及直線MQ勺方程;(2) 求證：直線AB恒過定點.解：設直線MQ交AB于

7、點P,則|AR=，又|AM=1,APLMQAMLAQ得|MP=IMA2Mp-，二|MQ=3.13,設Qx,0)，而點M0,2),由Qx2+22=3,得x=±5,則Q點的坐標為(5,0)或(、5,0).從而直線MC的方程為2x+5y25=0或2x5y+25=0.證明：設點Qq,0)，由幾何性質，可知A,B兩點在以QM為直徑的圓上，此圓的方程為x(xq)+y(y2)=0，而線段AB是此圓與已知圓的公共弦，相減可得AB的方程為qx2y+3=0，所以直線AB恒過定點0,|；.例6過點(一1,2)的直線I被圓x2+y22x2y+1=0截得的弦長為羽，則直線I的斜率為.解析：將圓的方程化成標準方

8、程為(x1)2+(y1)2=1,其圓心為(1,1)，半徑r=1.由弦長為.2得弦心距為-2設直線方程為y+2=k(x+1)，即kxy+k2=0，則1=¥，化簡得7k224k+17=0,得k=1或k=耳.17答案：1或例7圓x22x+y23=0的圓心到直線x+>/3y3=0的距離為|13|解析：圓心(1,0),d=1.乂1+3答案：1例8圓心在原點且與直線x+y2=0相切的圓的方程為解析：設圓的方程為x2+y2=a2(a>0)a=2,.|2|.=a,1+1x2+y2=2.答案：x2+y2=2例9已知圓C經過A(5,1),耳1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為圓C的方程

9、為x2+y2+Dx+F=0,26+5D+F=0,則.10+D+F=0,D=4,解得F=6.圓C的方程為x2+y24x6=0.22答案(1)C(2)x+y4x6=0例10(1)與曲線C：x2+y2+2x+2y=0相內切，同時又與直線l:y=2x相切的半徑最小的圓的半徑是(2)已知實數x,y滿足(x2)2+(y+1)2=1則2xy的最大值為，最小值為.解析：依題意，曲線C表示的是以點C(1,1)為圓心，專2為半徑的圓，圓心C(1,1)到直線y=2x即x+y2=0的距離等于11：2|=2J2，易知所求圓的半徑等于2述W=牢述22令b=2xy，則b為直線2xy=b在y軸上的截距的相反數，當直線2xy=

10、b與圓相切時，b取得最值.由|2X2+1b|_-答案：(1)字(2)5+55551.解得b=5±5,所以2xy的最大值為5+.5，最小值為55.例11已知x,y滿足x2+y2=1,則y_2的最小值為x1y一2y一2解析：表示圓上的點P(x,y)與點Q1,2)連線的斜率，所以的最小值是直線PQ與圓相切時的斜率.設x1x112一k|3y一23直線PQ的方程為y-2=k(x-1)即kx一y+2-k=o.由吋=1得k=4，結合圖形可知，蘆24,故最小值為4.3答案：3422例12已知兩點A2,0),B(0,2)，點C是圓x+y2x=0上任意一點，則ABC面積的最小值是3解析：Iab：xy+2

11、=0,圓心(1,0)到I的距離d=3則AB邊上的高的最小值為1.1故厶ABC面積的最小值是X例13平面直角坐標系xoy中，直線x-y/=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為.6(1) 求圓O的方程；(2) 若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D,E,當DE長最小時，求直線l的方程；因為O點到直線x-y7=0的距離為22故圓O的方程為xy=2.(3) 設M,P是圓O上任意兩點，點M關于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點(m,0)和(n,0)，問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.解:設直線I的方程為-=1(a0,b0)，即bxay-ab=0,ab由直線I與

12、圓O相切，得-：=22二勺,a2121DE2=a2b2=2(a2b)(嗎丄)28,abxyX2%m=一y2-yiXiy2X2yin=y2yimnXiy2-X2yiy2-yi2222/小X2yixi-y2X2(2-22iyyiyi當且僅當a二b=2時取等號，此時直線I的方程為xy一2=0.2222設M(人，yj,卩區，y2)，則N(x_yj,捲yi=2,X2y2=2,直線MP與X軸交點(Xiy2-x*,0),y2-yi直線NP與x軸交點(Xiy2X2yi,0)，y2+yi故mn為定值2.例14圓x2+y2=8內一點P(-i,2),過點P的直線I的傾斜角為ot,直線I交圓于A、B兩點.(1) 當=

13、時，求AB的長；4(2) 當弦AB被點P平分時，求直線I的方程.解：(i)當=尋時，kAB=i,直線AB的方程為y2=(x+i)，即卩x+y仁0.故圓心(0,0)到AB的距離d=00-1=2,J22從而弦長|AB|=2,8_；=、30.(2)設A(xi,yi),B(X2,y2)，貝Vx什X2=2,y什y2=4.xi+yi8,述+y孑=8,兩式相減得(xi+x2)(xiX2)+(yi+y2)(yiy2)=0,即一2(XiX2)+4(yiy2)=0,直線1的方程為y-嗚(x+i)，即x-2y+5=0.例15已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l:xy+i0=0上.(1) 若動圓C過點(5,0),求圓C

14、的方程；(2) 是否存在正實數r,使得動圓C中滿足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且僅有一個，若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.解：(i)依題意，可設動圓C的方程為(xa)2+(yb)2=25,其中圓心(a,b)滿足ab+i0=0.22又動圓過點(5,0),a(5a)+(0b)=25.i解方程組可得<10!或b=0一a=-5a_b10=0(-5-a)2(0_b)2=2512222故所求圓C的方程為(x+10)+y=25或(x+5)+(y5)=25.圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=2=5.當r滿足r+5vd時，動圓C中不存在與圓O:x2+y2=r2相外切的圓；當r滿足r+5

15、>d時，r每取一個數值，動圓C中存在兩個圓與圓O:x2+y2=r2相外切;當r滿足r+5=d,即r=5,25時，動圓C中有且僅有1個圓與圓O:x2+y2=r2相外切題目221.自點A(-1,4)作圓(x-2)(y-3)=1的切線I，則切線I的方程為2.求與圓x2y2=5外切于點P(-1,2)，且半徑為2.5的圓的方程3.若點P在直線11：x+y+3=0上，過點P的直線I?與曲線C:(x5)2+y2=16相切于點M，貝VPM的最小22F4. 設O為坐標原點，曲線x+y+2x6y+仁0上有兩點P、Q,滿足關于直線x+my+4=0對稱，又滿足OP-OQ=0.(1)求m的值；(2)求直線PQ的方程.5.已知圓C:x2+y22x+4y-4=0，問是否存在斜率是1的直線I，使I被圓C截得的弦AB,以AB為直徑的圓經過原點，若存在，寫出直線I的方程