1、二項式定理概念篇【例1】求二項式（a2b）4的展開式分析：直接利用二項式定理展開解：根據二項式定理得(a2b)4=C4a4+Ca3(2b)+C2a2(2b)2+C；a(2b)3+C：(2b)4432.2.3.4=a8ab+24ab32ab+I6b.說明：運用二項式定理時要注意對號入座，本題易誤把2b中的符號“”忽略【例2】展開（2x2x分析一：直接用二項式定理展開式解法一：(2x2；2)5=C5(2x)5+Cl5(2x)4(-2；2)+C5(2x)3(-2；2)2+C3(2x)2(-)3+C4（2x）（-敖燉-知=32x5120x2+I80x135405243+x48x732x10分析二：對較

2、繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開解法二：35-加(新32x10C5(4X)+C；(4X)(3)+cf(4x)(3)+C；(4x)(3)+C：(4x)(3)+C5(3)5(1024x153840x12+5760x94320x6+1620x3243)32x10=32x5120x2+180x135+405x48x7243頑.說明：記準、記熟二項式（a+b）n的展開式是解答好與二項式定理有關問題的前提條件對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便【例3】在（x.3）10的展開式中，x6的系數是_.解法一：根據二項式定理可知x6的系數是C：0.解法二：（x、.3）10的展開式的通項是Tr+1=C；0

3、x10r（、.3）r.令10r=6，即r=4,由通項公式可知含x6項為第5項，即T4+1=C：0x6（,3）4=9C40x6.x6的系數為9C：0.上面的解法一與解法二顯然不同，那么哪一個是正確的呢問題要求的是求含x6這一項系數，而不是求含x6的二項式系數，所以應是解法二正確如果問題改為求含x6的二項式系數，解法一就正確了，也即是C。.說明：要注意區(qū)分二項式系數與指定某一項的系數的差異二項式系數與項的系數是兩個不同的概念，前者僅與二項式的指數及項數有關，與二項式無關，后者與二項式、二項式的指數及項數均有關【例4】已知二項式(3x)10,3x(1) 求其展開式第四項的二項式系數；(2) 求其展開

4、式第四項的系數；(3) 求其第四項.分析：直接用二項式定理展開式解：(3、*)10的展開式的通項是Tr+i=C；0(3.x)10r(-2)r(r=0,1，10).3x3x(1) 展開式的第4項的二項式系數為c30=120.展開式的第4項的系數為C3037(-)3=77760.3展開式的第4項為77760(、.X)74，即77760.一x.x說明：注意把(3、x-2)10寫成3、x+(A):10,從而湊成二項式定理的形式.3x3x【例5】求二項式(x2+1)10的展開式中的常數項.2Jx分析：展開式中第r+1項為C；0(x2)10(1)r，要使得它是常數項，必須使“x”的指2Jx數為零，依據是x

5、0=1,XM0.解：設第r+1項為常數項，則“CM*(二十和205r1r2（丄）（r=0,1,2510），令20r=0,得r=8.2丁勺兀飪1)'.2256第9項為常數項，其值為空.256說明：二項式的展開式的某一項為常數項，就是這項不含“變元”，一般采用令通項Tr+1中的變元的指數為零的方法求得常數項【例6】(1)求(1+2x)7展開式中系數最大項；(2) 求(12x)7展開式中系數最大項.分析：利用展開式的通項公式，可得系數的表達式，列出相鄰兩項系數之間關系的不等式，進而求出其最大值.解：(1)設第r+1項系數最大，則有C72rC712r1,C712r17!2r7!2r1即r!(7

6、r)!(r1)!(7r1)!7!2r7!2r1r!(7r)!2(r1)!(7r1)f21,r化簡得r8r解得12r7rr1163,3又/0<rw7,.r=5.13T'系數最大項為T5=c725x5=672x5.443紿喘所以系數(2)解：展開式中共有8項，系數最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得.又因(1-2x)7括號內的兩項中后兩項系數的絕對值大于前項系數的絕對值，故系數最大值必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項系數的大小即可最大項為第五項，即T5=560x4.說明：本例中(1)的解法是求系數最大項的一般解法，(2)的解法是通過對展開式多項分析，使解題過程得到簡

7、化，比較簡潔.【例7】(1+2x)n的展開式中第6項與第7項的系數相等，求展開式中二項式系數最大的項和系數最大的項.分析：根據已知條件可求出n,再根據n的奇偶性確定二項式系數最大的項.解：T6=C；j(2x)5,TV=c6(2x)6,依題意有c525=C：26，解得n=8.(1+2x)8的展開式中,項式系數最大的項為T5=qJ(2x)4=1120x4.設第r+1項系數最大，則有c712r1c712r1-5wrw6.-r=5或r=6.系數最大的項為T6=1792x5,TV=1792x6.說明：(1)求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質，n為奇數時中間兩項的二項式系數最大；n為偶數時，中間一

8、項的二項式系數最大.(2)求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的，需根據各項系數的正、負變化情況，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得應用篇【例8】若nN*,(i2+1)n=、2an+bn(an、Z)，貝Ubn的值()a.一定是奇數b.一定是偶數C.與bn的奇偶性相反D.與a有相同的奇偶性分析一：形如二項式定理可以展開后考查.解法一：由(.2+1)n2an+bn，知.2Sh+bn=(1+.2)n=C0+C；，2+c2(-2)2+c3(、2)3+cn(-2)n.bn=1+C2(、2)2+C4(2)4+bn為奇數答案：A分析二：選擇題的答案是唯一的，因此可以用特殊值法解法二：nN*,取

9、n=1時，(、2+1)1=(、2+1)，有bi=1為奇數取n=2時，(.2+1)2=2.2+5，有b2=5為奇數答案：A【例9】若將(x+y+z)10展開為多項式，經過合并同類項后它的項數為()B.33分析：(x+y+z)10看作二項式(xy)z10展開解：我們把x+y+z看成(x+y)+z,按二項式將其展開，共有11"項”，即(x+y+z)10=1010k/、10-kk(xy)z=C10(x+y)z0這時，由于“和”中各項z的指數各不相同，因此再將各個二項式(x+y)10-k展開，不同的乘積Ck0(x+y)10kzk(k=0,1,，10)展開后，都不會出現同類項下面，再分別考慮每一

10、個乘積C.,0(x+y)10-kzk(k=0,1，10).10_k其中每一個乘積展開后的項數由(x+y)決定，而且各項中x和y的指數都不相同，也不會出現同類項故原式展開后的總項數為11+10+9+1=66答案：D說明：化三項式為二項式是解決三項式問題的常用方法【例10】求(丨x丨+丄一2)3展開式中的常數項|x|分析：把原式變形為二項式定理標準形狀1.|x|13J解：(Ix|+丄2)=(.|x|x|展開式的通項是Tr+1=C；(|x|)6_r(1)r=(1)rC6(.|x|)62r.V|x|若Tr+1為常數項，則62r=0,r=3.展開式的第4項為常數項，即T4=C6=20.說明：對某些不是二

11、項式，但又可化為二項式的題目，可先化為二項式，再求解【例11】求(、x3x)9展開式中的有理項分析：展開式中的有理項，就是通項公式中x的指數為整數的項1127r解：Tr+1=C9(x2)9r(x3)r=(1)rC9x-令Z,即卩4+口Z,且r=0,1,2，966r=3或r=9.當r=3時，27r=4,T4=(1)3C；x4=84x4.6當r=9時，27r=3,Tio=(1)9c9x3=x3.6(、x3x)9的展開式中的有理項是第4項一84x4，第10項一x3.說明：利用二項展開式的通項Tr+1可求展開式中某些特定項.【例12】若(3x一1)=a7X+a6X+a1X+a°,求(1) a

12、1+a2+a7；(2) a計a3+a5+a7；(3) a°+a2+a4+a6.分析：所求結果與各項系數有關可以考慮用“特殊值”法，整體解決解：(1)令x=0,則a°=1,令x=1，貝Ua7+a6+a1+a°=27=128.a+a2+a7=129.(2)令x=1，貝Ua7+a6+a5+a4+a3+a2+a+a0=(4)7.由(1)得：a1+a3+a5+az=!:128(4)7=8256.22得a0+a2+a4+a6=1:128+(4)7:=8128.22(1)本解法根據問題恒等式特點來用“特殊值”法，這是一種重要的方法，它用說明：于恒等式(2)一般地，對于多項式g(

13、x)=(px+q)n=ao+aix+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a5x6+a7x7，g(x)各項的121系數和為g(1)，g(x)的奇數項的系數和為1g(1)+g(1)Lg(x)的偶數項的系數和為g(1)g(1):.【例13】證明下列各式(1) 1+2Cn+4Cn+2n1Cn1+2nCn=3n；(Cn)2+(c1)2+(Cn)2=c；n；(3)C1+2Cn+3Cn+nC；=n2n1.分析：(1)(2)與二項式定理的形式有相同之處可以用二項式定理，可以研究它的通項尋求規(guī)律.證明：(1)在二項展開式(a+b)n=C0an+C；an1b+C2令a=1,b=2，得(1+2)n=1+2Cn+

14、4C2+2n1Cn1+2C1+4C2+2n1Cn1+2nCn=3n.nn2n(2) (1+x)(1+x)=(1+x),(1+。浪+。汶+C；xr+xn)(1+C；x+c2an2b2+cn1+2ncn，即形如數列求和,1abn1+C；bn中,2rrn2nx+Cnx+x)=(1+x).因此2而C2n是(1+x)2n的展開式中xn的系數，由多項式的恒等定理，得c0cn+c1ncn1+匕41+4。0=礙./cm=cnm,owmen,.(C0)2+(C；)2+-+(Cn)2=c2n.(3) 證法一：令S=cn+2cn+3cn+ncn.令S=cn+2C2+(n-1)cn1+ncn=ncn+(n1)Cn1+

15、2C2+C；=ncn+(n-1)Cn+2Cn2+C；1由+得2S=nC1+nc2+nc3+nC；=n(C；+C；+C*+G+Cn)=n(C0+C1+C2+C3+Cn)=n2n.nnnnnS=n2n1,即C；+2Cn+3Cn+nC；=n2n1.證法二：觀察通項：kq=k一n一n(n1)!一nC；1.k!(nk)!(k1)!(nk)!原式=nC01+nC1+nC1+nC3廣+nc；1=n(C01+C1+C3廣+c；1)=n2n-1即C；+2C；+3C；+ncn=n2n1.說明：解法二中kC；=nC；1可作為性質記住.【例14】求精確到的近似值分析：準確使用二項式定理應把拆成二項之和形式如=2.解：

16、=(25=255+53+32+說明：利用二項式定理進行近似計算，關鍵是確定展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度【例15】求證：51511能被7整除.分析：為了在展開式中出現7的倍數，應把51拆成7的倍數與其他數的和(或差)的形式證明：5151仁(49+2)51仁C514951+C51495°2+C5?49250+c512511,易知除C512511以外各項都能被7整除又2511=(23)171=(7+1)171=C°7717+C17716+C；67+C；1=7(C°7716+C；77伯+C16).顯然能被7整除，所以51511能被7整除說明：利用二項式定量證

17、明有關多項式(數值)的整除問題，關鍵是將所給多項式通過恒等變形變?yōu)槎検叫问剑蛊湔归_后的各項均含有除式倉U新篇【例16】已知(xlgx+1)n的展開式的最后三項系數之和為22,中間一項為20000求x分析：本題看似較繁，但只要按二項式定理準確表達出來，不難求解！解：由已知cn+C；1+C；2=22,即卩n2+n42=0.又nN,.n=6.T4為中間一項，T4=c6(xlgx)3=20000,即(xlgx)3=1000.xlgx=10.兩邊取常用對數，有l(wèi)g2x=1,lgx=±1,x=10或x=丄.10說明：當題目中已知二項展開式的某些項或某幾項之間的關系時，常利用二項式通項公式，根

18、據已知條件列出等式或不等式進行求解【例17】設f(x)=(1+x)m+(1+x)n(mnN*)，若其展開式中關于x的一次項的系數和為11,問m,n為何值時，含x2項的系數取最小值并求這個最小值.分析：根據已知條件得到x2的系數是關于x的二次表達式，然后利用二次函數性質探討最小值問題.解：Cm+C1n=n+m=11.Cm+。2=丄(吊一m+n2n)=2m2n211?2nN,-n=6或5,葉5或6時，X項系數最小，最小值為說明：本題是一道關于二次函數與組合的綜合題【例18】若（x+丄2）n的展開式的常數項為一20,x25.求n.分析：題中XM0，當x>0時，把三項式（x+丄2）n轉化為X1）

19、2n;當xv0時,xJx1同理(x+2)x=（1）n（.x1）2n.然后寫出通項，令含x的幕指數為零，進而解出n.Jx解：當x>0時，（x+丄2）n=（.x1xJx其通項為Tr+1=C2n（x）2nr（：）=（1）Cn（,x）2n2r)2n,令2n2r=0，得n=r,二展開式的常數項為（1）rC；n;當xv0時，（x+丄2）n=（1）n（_xx無論哪一種情況，常數項均為（1）令（一1）rC；n=20.以n=1,2,3，:說明：本題易忽略xv0的情況【例19】利用二項式定理證明（-）3-1）2n.同理可得，xCnC2n逐個代入，得n=3.展開式的常數項為（一1）rC；n.分析：2不易從二項

20、展開式中得到,n1證明：欲證（？）n3而（-）n1=（1+1）22可以考慮其倒數=1+呼+侖1（£）2+22>.21vZ成立，只需證(3)n1n1211=c0+C11+C2(丄)=Cn1+Cn1+Cn1(二)221(1)n-11(2)+Cnn12-成立.1nv2n1,1、n-1+Cn1()2說明：本題目的證明過程中將（|）n-1轉化為（1+1）n1，然后利用二項式定理展開式是2解決本問題的關鍵【例20】求證：K(1+-)nv3(nN*).n分析：（1+-）n與二項式定理結構相似，用二項式定理展開后分析n1n證明：當n=1時，(1+)=2.n當n2時，(i+i)n=i+cii+c

21、n12+c；()n=i+i+c2厶+cn(-)n>2.nnnnnn又4(丄)k=n(n1)(nk!nkk1)w1;?nk!所以(1+1)nw2+1+1+1+-c11v2+-1+n2!3!n!1223(n1)n1=2+(1-丄)+(1-1)+-+(1-1)223n1n=3-1v3.n綜上有2w(1+丄)nv3.n說明：在此不等式的證明中，利用二項式定理將二項式展開，再采用放縮法和其他有關知識，將不等式證明到底【例21】求證：對于nN*,(1+!)nv(1+丄)n+1.nn1分析：結構都是二項式的形式，因此研究二項展開式的通項是常用方法證明：(1+l)n展開式的通項仏心丄二一nnr!n_1n

22、(n1)(n2)(nr1)=門孑=丄(1-丄)(1-2)(1-).r!nnn(1+丄)”1展開式的通項T'r+!=Cn1=n1n1(n1)rr!(n1)r=丄n(n1)(n2)(nr1)r!nr112r1=丄(1丄)(1亠)(1-)r!n1n1n1由二項式展開式的通項可明顯地看出Tr+1VT'r+1所以(1+l)nv(1+丄)n+1nn1說明：本題的兩個二項式中的兩項均為正項，且有一項相同證明時，根據題設特點，采用比較通項大小的方法完成本題證明【例22】設a、b、c是互不相等的正數，且a、b、c成等差數列，nN,求證：an+cn>2bn.分析：題中雖未出現二項式定理的形式

23、，但可以根據a、b、c成等差數列創(chuàng)造條件使用二項式定理證明：設公差為d,則a=b-d,c=b+d.nnnnnna+c-2b=(b-d)+(b+d)2b=:bn-C1bn-1d+c2bn-2d2+(1)ndn:+:bn+Cnbn-1d+c2bn-2d2+d：=2(cnbn-2d2+cnbn-4d4)>0.說明：由a、b、c成等差，公差為d,可得a=bd,c=b+d,這就給利用二項式定理證明此問題創(chuàng)造了可能性.問題即變?yōu)椋╞d）n+（b+d）n>2bn,然后用作差法改證（bd）n+（b+d）n2bn>0.【例23】求（1+2x3x2）6的展開式中X5項的系數.分析：先將1+2x3

24、x2分解因式，把三項式化為兩個二項式的積，即（1+2x3x2）6=（1+3x）6（1-x）6.然后分別寫出兩個二項式展開式的通項，研究乘積項X5的系數，問題可得到解決.解：原式=（1+3x）6（1x）6,其中（1+3x）6展開式之通項為Tk+i=C：3kxk,（1x）6展開式之通項為Tr+i=C6(x)r.原式=(1+3x)6(1x)6展開式的通項為CkC6(1)r3kxk+r現要使k+r=5,又Tk0,1,2,3,4,5,6,r0,1,2,3,4,5,6,必須k0,或r5k1,或kr4r2,k3k或或3r2r4,或k5,1一r0.故x5項系數為c630c5（1）5+c631c4（1）4+c：32c6（1）3+c333c2（1）4+c434c6（1）+c635c6（1）