1、l1.1概述概述l一概念一概念l 隨著計算機軟、硬件的發(fā)展與應(yīng)用，各隨著計算機軟、硬件的發(fā)展與應(yīng)用，各種新的現(xiàn)代設(shè)計方法越來越得到發(fā)展，機械種新的現(xiàn)代設(shè)計方法越來越得到發(fā)展，機械最優(yōu)化設(shè)計就是產(chǎn)品的設(shè)計方法之一。現(xiàn)在最優(yōu)化設(shè)計就是產(chǎn)品的設(shè)計方法之一。現(xiàn)在各行各業(yè)都應(yīng)用優(yōu)化方法與概念解決實際問各行各業(yè)都應(yīng)用優(yōu)化方法與概念解決實際問題。特別是機電產(chǎn)品設(shè)計（包括零件、部件、題。特別是機電產(chǎn)品設(shè)計（包括零件、部件、產(chǎn)品）。產(chǎn)品）。l最優(yōu)化設(shè)計是人們在工程技術(shù)、科學(xué)研究和最優(yōu)化設(shè)計是人們在工程技術(shù)、科學(xué)研究和經(jīng)濟管理等諸多領(lǐng)域中經(jīng)常遇到的問題。經(jīng)濟管理等諸多領(lǐng)域中經(jīng)常遇到的問題。l如：如：l最優(yōu)化設(shè)計的

2、目的：最優(yōu)化設(shè)計的目的：l 機械設(shè)計師追求其設(shè)計的方案是機械設(shè)計師追求其設(shè)計的方案是l 尺寸最小尺寸最小（材料消耗最少或重量最輕）（材料消耗最少或重量最輕）l 成本最低成本最低（ 運輸、資源分配、安排生產(chǎn)等）運輸、資源分配、安排生產(chǎn)等）l 性能最好性能最好（零件、部件、產(chǎn)品）（零件、部件、產(chǎn)品）l每一產(chǎn)品設(shè)計、制造過程中，都含有很多因素每一產(chǎn)品設(shè)計、制造過程中，都含有很多因素如何優(yōu)化。如何優(yōu)化。l因此，最優(yōu)化理論和技術(shù)必將在社會的諸多方因此，最優(yōu)化理論和技術(shù)必將在社會的諸多方面起著越來越大的作用。面起著越來越大的作用。l目前國內(nèi)外設(shè)計方法目前國內(nèi)外設(shè)計方法l常規(guī)設(shè)計：常規(guī)設(shè)計：用人工手算幾種方

3、法選其較好者用人工手算幾種方法選其較好者l計算機輔助優(yōu)化設(shè)計：用近代的優(yōu)化數(shù)學(xué)方法計算機輔助優(yōu)化設(shè)計：用近代的優(yōu)化數(shù)學(xué)方法 和理論編制計算機程序，用計算機輔助計算千和理論編制計算機程序，用計算機輔助計算千萬種方案，有規(guī)律最速得其最優(yōu)方案。萬種方案，有規(guī)律最速得其最優(yōu)方案。l國際情況：國際情況：先進國家以采用后種方法為主先進國家以采用后種方法為主l國內(nèi)情況：國內(nèi)情況：兩種方法并行，但趨向國際情況，兩種方法并行，但趨向國際情況，目前國內(nèi)大型企業(yè)（如汽車、航空、航天和科目前國內(nèi)大型企業(yè)（如汽車、航空、航天和科研院所）均采用計算機輔助優(yōu)化設(shè)計研院所）均采用計算機輔助優(yōu)化設(shè)計l2、最優(yōu)化設(shè)計工作包含內(nèi)容

4、、最優(yōu)化設(shè)計工作包含內(nèi)容l （1）將設(shè)計問題的物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，）將設(shè)計問題的物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型時要選取建立數(shù)學(xué)模型時要選取設(shè)計變量設(shè)計變量、列出、列出目標(biāo)函目標(biāo)函數(shù)數(shù)，給出，給出約束條件約束條件，目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計問題所要，目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計問題所要求的最優(yōu)化指標(biāo)與設(shè)計變量之間的函數(shù)關(guān)系式。求的最優(yōu)化指標(biāo)與設(shè)計變量之間的函數(shù)關(guān)系式。l（2）采用最適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)化方法，求解數(shù)學(xué)模）采用最適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)化方法，求解數(shù)學(xué)模型?？蓺w結(jié)為在給定的條件（例如約束條件）型。可歸結(jié)為在給定的條件（例如約束條件）下求目標(biāo)函數(shù)的極值或最優(yōu)化值問題。下求目標(biāo)函數(shù)的極值或最優(yōu)化值問題。l1、設(shè)計變量：、設(shè)計

5、變量：在設(shè)計過程中進行選擇并在設(shè)計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立參數(shù)（變量）最終必須確定的各項獨立參數(shù)（變量）l 如結(jié)構(gòu)的總體尺寸、零件的幾何尺寸、如結(jié)構(gòu)的總體尺寸、零件的幾何尺寸、物理特性等物理特性等lA:表示表示 N維設(shè)計變量可表示為維設(shè)計變量可表示為XnTnRXxxxX,.,21l例例:某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需要用材料品每件需要用材料9kg、3個工時、個工時、4kw電，電，可獲利可獲利60元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需要用材料元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需要用材料4kg、10個工時、個工時、5kw電，可獲利電，可獲利120元。若元。若每天能

6、供應(yīng)材料每天能供應(yīng)材料360kg、有、有300個工時、能供個工時、能供200kw電，問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多電，問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，才能夠獲得最大的利潤。少件，才能夠獲得最大的利潤。l選擇設(shè)計變量:l分別以生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品數(shù)為nTRXxxX21,l2目標(biāo)函數(shù)：設(shè)計中預(yù)期要達到的目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)：設(shè)計中預(yù)期要達到的目標(biāo)l如（重量最輕、或尺寸最小，性能最好等）如（重量最輕、或尺寸最小，性能最好等） l目標(biāo)函數(shù)應(yīng)表示為各設(shè)計變量的函數(shù)目標(biāo)函數(shù)應(yīng)表示為各設(shè)計變量的函數(shù)la單目標(biāo)函數(shù)單目標(biāo)函數(shù):最優(yōu)化問題僅有一個單目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化問題僅有一個單目標(biāo)函數(shù)lb多目標(biāo)函數(shù)：在同一設(shè)計中有多個目標(biāo)函

7、數(shù)多目標(biāo)函數(shù)：在同一設(shè)計中有多個目標(biāo)函數(shù)l 對于多目標(biāo)函數(shù)可以獨立地列出幾個目標(biāo)函對于多目標(biāo)函數(shù)可以獨立地列出幾個目標(biāo)函 數(shù)式數(shù)式lC綜合目標(biāo)函數(shù)：把幾個目標(biāo)函數(shù)綜合到一起綜合目標(biāo)函數(shù)：把幾個目標(biāo)函數(shù)綜合到一起),.,()(21nxxxFXFxxxxf212112060,l3約束條件：在設(shè)計中對設(shè)計變量取值的限制約束條件：在設(shè)計中對設(shè)計變量取值的限制條件條件l（1）邊界約束或區(qū)域約束）邊界約束或區(qū)域約束l（2）性能約束）性能約束l（3）顯約束和隱約束）顯約束和隱約束l（4）約束的表達式形式：按表達式約束分為）約束的表達式形式：按表達式約束分為等式和不等式約束等式和不等式約束pvXhmuXgvu

8、, 10)(, 10)(l4數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：首先把工程問題用數(shù)學(xué)方法來描述，建立一個數(shù)學(xué)首先把工程問題用數(shù)學(xué)方法來描述，建立一個數(shù)學(xué)模型。機械優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型已模式化了，可寫模型。機械優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型已模式化了，可寫成：成：最優(yōu)方案最優(yōu)方案)(,.,*2*1*XFxxxXTx最優(yōu)值最優(yōu)值qvXhpuXgtsRDXXFvun,.2 , 10)(,.2 , 10)(. .)(min 求l例例:某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需要用材料品每件需要用材料9kg、3個工時、個工時、4kw電，電，可獲利可獲利60元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需要用材料元。生產(chǎn)乙

9、種產(chǎn)品每件需要用材料4kg、10個工時、個工時、5kw電，可獲利電，可獲利120元。若元。若每天能供應(yīng)材料每天能供應(yīng)材料360kg、有、有300個工時、能供個工時、能供200kw電，問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多電，問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，才能夠獲得最大的利潤。少件，才能夠獲得最大的利潤。l5連續(xù)變量連續(xù)變量l6離散變量離散變量l7約束優(yōu)化與非約束優(yōu)化約束優(yōu)化與非約束優(yōu)化l8線性優(yōu)化與非線性優(yōu)化線性優(yōu)化與非線性優(yōu)化l例要用薄鋼板制造一體積為例要用薄鋼板制造一體積為 的貨箱的貨箱,由于運輸裝卸要求其長度不小于由于運輸裝卸要求其長度不小于4m,問為了問為了使耗費的鋼板最少并減輕重量使耗費的

10、鋼板最少并減輕重量,應(yīng)如何選取應(yīng)如何選取貨箱的長、寬、和高？貨箱的長、寬、和高？l解：解：m25l9可行域與可行設(shè)計點可行域與可行設(shè)計點l非可行域與非可行設(shè)計點非可行域與非可行設(shè)計點l例如：例如：44)(min12221xxxxfRn21 Txxx00010224132212211xgxgxxgxxgxxxxl將約束函數(shù)值為零時所得的曲線所包圍的圖形，將約束函數(shù)值為零時所得的曲線所包圍的圖形，在此圖形內(nèi)取點為可行設(shè)計點，在圖形外取點在此圖形內(nèi)取點為可行設(shè)計點，在圖形外取點為非可行設(shè)計點。既滿足約束條件所形成的圖為非可行設(shè)計點。既滿足約束條件所形成的圖形內(nèi)取點。形內(nèi)取點。l10 局部最優(yōu)和全局最

11、優(yōu)局部最優(yōu)和全局最優(yōu)l 目標(biāo)函數(shù)不是單峰函數(shù)時，有若干個極小點目標(biāo)函數(shù)不是單峰函數(shù)時，有若干個極小點l 對應(yīng)有函數(shù)值稱為局部最優(yōu)解，其中函數(shù)對應(yīng)有函數(shù)值稱為局部最優(yōu)解，其中函數(shù)值最小的點稱為全域最優(yōu)解值最小的點稱為全域最優(yōu)解l 直接搜索法：通過函數(shù)值的計算和直接搜索法：通過函數(shù)值的計算和比較，確定搜索的方向和步長。如：黃比較，確定搜索的方向和步長。如：黃金分割法、二次插值、復(fù)合形法等。金分割法、二次插值、復(fù)合形法等。l 間接搜索法：利用函數(shù)的一階或二間接搜索法：利用函數(shù)的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣確定搜索方向和步長。如階偏導(dǎo)數(shù)矩陣確定搜索方向和步長。如梯度法、牛頓法等。梯度法、牛頓法等。l最優(yōu)化設(shè)計

12、的任務(wù)：一是找到最優(yōu)解，最優(yōu)化設(shè)計的任務(wù)：一是找到最優(yōu)解，二是如何提高求優(yōu)過程的效率。二是如何提高求優(yōu)過程的效率。 對對n維的非線性目標(biāo)函數(shù)，用常規(guī)的解法求極維的非線性目標(biāo)函數(shù)，用常規(guī)的解法求極值，往往是很困難的。有效的辦法使用值，往往是很困難的。有效的辦法使用迭代算迭代算法法。l特點：按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)進行反復(fù)的數(shù)值計特點：按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)進行反復(fù)的數(shù)值計算，尋求函數(shù)值不斷下降的設(shè)計點，直到最后算，尋求函數(shù)值不斷下降的設(shè)計點，直到最后獲得足夠精度的近似解時就截斷計算。獲得足夠精度的近似解時就截斷計算。l一、迭代過程一、迭代過程:從一個選定的初始點從一個選定的初始點X出發(fā)出發(fā),沿沿某種優(yōu)化方

13、法所規(guī)定的方向某種優(yōu)化方法所規(guī)定的方向S,確定適當(dāng)?shù)牟介L確定適當(dāng)?shù)牟介La.產(chǎn)生一個新的設(shè)計點產(chǎn)生一個新的設(shè)計點.l l l滿足滿足l a-第第k步迭代計算的步長步迭代計算的步長)()()()1( : kkkkSXX即 xxkkff)(1l二、迭代計算的終止條件二、迭代計算的終止條件l 1.點距準(zhǔn)則點距準(zhǔn)則:l 相鄰兩迭代點之間的距離已達到充分小相鄰兩迭代點之間的距離已達到充分小既：既：l 1)()1(kkXX如果如果F(X(k+1)1 用函數(shù)絕對用函數(shù)絕對如果如果F(X(k+1)1可采用相對可采用相對來判斷。判別式：來判斷。判別式： 21xxkkFF3)1()()1()()()(kkkXFXF

14、XFl3.梯度準(zhǔn)則梯度準(zhǔn)則l 目標(biāo)函數(shù)在迭代點的梯度已達到充分小目標(biāo)函數(shù)在迭代點的梯度已達到充分小 既：既：41XKF44531411010；一般取判斷精度l三、變量的坐標(biāo)變換三、變量的坐標(biāo)變換l 原因：變量間的數(shù)值大小相差極大，無法用原因：變量間的數(shù)值大小相差極大，無法用統(tǒng)一步長尋優(yōu)，為此采用坐標(biāo)變換便于尋優(yōu)的統(tǒng)一步長尋優(yōu)，為此采用坐標(biāo)變換便于尋優(yōu)的統(tǒng)一步長。統(tǒng)一步長。l設(shè)計變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理，是將設(shè)計變量值用變設(shè)計變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理，是將設(shè)計變量值用變量區(qū)間內(nèi)的相對坐標(biāo)來表示，將設(shè)計變量的真量區(qū)間內(nèi)的相對坐標(biāo)來表示，將設(shè)計變量的真實值化為變量區(qū)間的相對值，使變量的變化范實值化為變量區(qū)間的相對值

15、，使變量的變化范圍均在圍均在01區(qū)間內(nèi)。區(qū)間內(nèi)。 對于一維目標(biāo)函數(shù) f ( x ),尋找它的最優(yōu)點x 和最優(yōu)值 x （k+1)= x （k ) + （k ) S （k ) S-方向矢量：由某種優(yōu)化方法規(guī)定 -步長 min f （ x （k+1) ） = f （x （k ) + （k ) S （k ) ）1. 確定搜索區(qū)間2.求最優(yōu)步長 ，使目標(biāo)函數(shù)達到最小。xff*有兩種方法：進退法有兩種方法：進退法 外推法外推法進退法：分為三步進退法：分為三步a. 試探計算試探計算 初選一個初始點初選一個初始點 和初始步長和初始步長 前進點前進點并計算函數(shù)值并計算函數(shù)值 f f（x x 1 1）= y= y

16、1 1 f f（x x2 2）= y= y2 2（1 1）當(dāng)）當(dāng)y y2 2 y y y1 1時，則極小點必在時，則極小點必在x x 1 1左方，應(yīng)再做左方，應(yīng)再做后退運算后退運算x1hxx012h0b. y y2 2 y y1 1 ( (前進計算）前進計算）令令 并前進步長倍增如（給定并前進步長倍增如（給定，讓讓=2=2）計算第三個前進點（新點計算第三個前進點（新點 ）x x 3 3 = x = x 2 2+h+h x x 3 3 = x = x 2 2+ +h h0 0 = = （ x x 1 1 + + h h0 0 ）+2+2h h0 0 = x = x 1 1 +3+3 h h0 0

17、計算計算 f f（x x 3 3）= y= y3 3比較比較f f（x x 3 3），）， f f（x x 2 2）既比較既比較y y2 2 ，y y3 3的大小的大小此時又有兩種情況：此時又有兩種情況： hh0hh2（1 1） y y2 2 y y3 3 則應(yīng)繼續(xù)做則應(yīng)繼續(xù)做前進計算，對各點作如下置換：前進計算，對各點作如下置換：l并再次將前進步長倍增，并再次將前進步長倍增， 計算新點及其函數(shù)計算新點及其函數(shù)值值l x x 3 3 = x = x 2 2+h f+h f（x x 3 3）= y= y3 3l重復(fù)上述過程，直到函數(shù)出現(xiàn)大重復(fù)上述過程，直到函數(shù)出現(xiàn)大小小大的情況大的情況為止。為止

18、。yxx2121y yxx3232y hh2C. y y2 2 y y1 1 ( (后退運算）后退運算） 若在步驟（若在步驟（2 2）中，）中， y y2 2 y y1 1 ，則應(yīng)做后退運算，將步長則應(yīng)做后退運算，將步長改變?yōu)樨?fù)值改變?yōu)樨?fù)值 h h （h h0 0）置換點號使它自右向左置換點號使它自右向左反向排列。反向排列。yxxyxxyxx323221211313yyy l再將后退步長加倍再將后退步長加倍l計算第三后退點（新點）及其函數(shù)值計算第三后退點（新點）及其函數(shù)值l x x 3 3 = x = x 2 2+h f+h f（x x 3 3）= y= y3 3比較函數(shù)值比較函數(shù)值f f（x x 3 3），）， f f（x x 2 2）既比較既比較y y2 2 ，y y3 3的大小的大小此時又有兩種情況此時又有兩種情況hh2l例：試用進退法確定函數(shù)例：試用進退法確定函數(shù)l的一維優(yōu)化初始搜索區(qū)間的一維優(yōu)化初始搜索區(qū)間 a a ， bbl初始點初始點x x 1 1 =0，初始進退距，初始進退距h 0 0 =1 962xxfxl格點法是一種思路極為簡單的一維求優(yōu)法格點法是一種思路極為簡單的一維求優(yōu)法l設(shè)