1、第一換元法第一換元法 dxxxgdxxf ( )uxg u du ux令第二換元法第二換元法 1( )uxfuu du f x dx xu令 xu 0u注：注： 單調、可導，且單調、可導，且 湊微分湊微分( )dx則則22cosaxat22,ax對于對于22tanxaat則則22secaxat則則對于對于22,ax對于對于22,xa 一般地：第二類換元法主要是利用三角關系式一般地：第二類換元法主要是利用三角關系式化根式化根式 為三角函數的有理式，為三角函數的有理式，再積分。再積分。 2222sincos1, 1tansecxxxx222222, , axxaxa令令sin ,xat令令tan

2、,xat令令sec ,xat0,a 上式中，均假設上式中，均假設 t為各對應反三角函數的為各對應反三角函數的主值區間主值區間。2cos2cosuudu21cos2u du2sin2uuCux224x242arcsin22xxxC解解 2sin ,xu令令 2cosdxudu則則例例1 24x dx求不定積分求不定積分 原式原式24cos udu輔助三角形輔助三角形22222arcsin22axxax dxaxCa公式公式 secudu22ln22xxC21ln2xxC解解 2 tan ,xu令令 22secdxudu則則例例222dxx 求不定積分求不定積分 22sec2secuduu原式原式

3、 ln sectanuuCux22x2輔助三角形輔助三角形1ln2CC2222lndxxaxCax公式公式 1ln sectan2uuC21243ln233xxC解解 3sec ,2xu令令 3sec tan2dxuudu則則 例例3243dxx 求不定積分求不定積分 1sec2udu原式原式 211ln 2432xxC11ln32CCu2x3243x 輔助三角形輔助三角形u21x x124secsecuduu221cossecduuduu11 cos22u du11(sin2 )22uuC2211(arctan)211xxCxx21(arctan)21xxCx解解 tan ,xu令令 22(

4、1)dxx 例例4 求不定積分求不定積分 2secdxudu則則原式原式 輔助三角形輔助三角形偶次方化倍角偶次方化倍角 基本積分公式基本積分公式P106-P107tan xdxcot xdxsecxdxcscxdx22dxax1ln |2xaCaxa1arctanxCaa22dxax22dxxa22ln|xxaCln |cos|xC ln |sin|xCln |sectan|xxCln |csccot|xxC1ln |2axCaax22dxxa22dxaxarcsin(0)xC aa22dxxa22ln|xxaC公式的直接應用公式的直接應用 221( 3 )3( 5)( 3 )dxx13arc

5、sin35xC253dxx例例1例例2223dxxx2(1)2dxx2(1)(1)2d xx2ln1(1)2xxC 例例3224dxxx2(1)3dxx2(1)(1)3d xx11arctan33xC2dxudu221 121uduu 212 (1)1duu解解 令令 1,ux21,xu則則 221uuduu原式原式2arctanuuC2(1arctan1)xxC 例例11xdxx求不定積分求不定積分 直接令根式為直接令根式為u，化根式為有理式化根式為有理式231uduu1311uduu 233 (ln1)2uuuC 解解 例例231dxx 求不定積分求不定積分 令令 3,ux則則32, 3x

6、udxu du原式原式 32333 (ln1)2xxC 直接令根式為直接令根式為u，化根式為有理式化根式為有理式221udxduu221duu解解 2ln1 ,xu則則 1xdxe例例3求不定積分求不定積分 令令 1,xeu原式原式 11()11duuu1ln1uCuP107公式（公式（20） 1111lnln1111xxxxeeCCee直接令根式為直接令根式為u，化根式為有理式化根式為有理式解解 23dxu du231u duu21 131uduu 13 (1)1uduu 23ln |1|2uuuC原式原式23333(4)343ln142xxxC 314dxx例例4 求不定積分求不定積分 3

7、4 ,x u則則 34 ,ux令令 直接令根式為直接令根式為u，化根式為有理式化根式為有理式3(1)dxxx例例5 求不定積分求不定積分 解解 56dxu du6 ,x u則則 6 ,ux令令 5236(1)u duuu原式原式2261uduu216 (1)1duu6(arctan)uuC666(arctan)xxCvuvuuv由由dxvuvdxudxuvuv得得vdxuuvdxvu即即或或vduuvudv 分部積分法分部積分法udvuvvdu分部積分公式分部積分公式 sinsinxxxdxsincosxxxC解解 則則cosxxdx例例1求不定積分求不定積分 令令 ,uxcosdvxdx,d

8、udxsinvx原式原式 若令若令 2211cossin22xxxxdx則則cos ,uxdvxdxsin,duxdx 212vx原式原式 比比 更難求更難求cosxxdx失敗！失敗！與與 的選擇原則的選擇原則udvv1、 可求；可求；2、 可求，可求， 或較易求或較易求vduudvuvvdulnlnxxaaxdxaaCaaaxaxx2lnln解解 dxxax例例2求不定積分求不定積分 令令 ,xuxdva dx則則,lnxadudxva原式原式 求不定積分求不定積分 2xx e dx解答解答 原式原式222xxxx dex exe dx2222xxxxxx exdex exee dx2(22

9、)xexxC 兩次使用兩次使用分部積分公式分部積分公式dx冪函數 指數函數uv31ln3xdx3311(ln)3xxxdxxudvuvvdu解解 2lnxxdx例例3求不定積分求不定積分 原式原式321(ln)3xxx dx3311(ln)33xxxCdx冪函數 對數函數uv1arctan()xdx21arctan(1)dxxxxx 211arctan()1xxdxxxx udvuvvdu211arctanlnln(1)2xxxCx 2211(1)arctanln21d xxxxx 解解 xdxxarctan12例例4求不定積分求不定積分 原式原式dx冪函數 反三角函數uv21ln2lnxxx

10、xdxx2ln2 lnxxxdx2ln2 lnxxxxdxudvuvvdu2ln2 ln2xxxxxC解解 2ln xdx例例5求不定積分求不定積分 原式原式 xdxxxarcsinarcsin2arcsin1xxxdxxudvuvvdu2arcsin1xxxC解解 arcsin xdx例例6求不定積分求不定積分 原式原式 221(1)arcsin21dxxxdxxsinxxdexdexexxsinsinsincosxxexexdxcossinxxdexx esincossinxxxeexex xxdCxxexdxexxcossin2sinudvuvvdu解解 xdxexsin例例7求不定積分

11、求不定積分 原式原式 所以所以 一般規律一般規律,dxdx冪函數 三角函數冪函數 指數函數,dxdx冪函數 對數函數冪函數 反三角函數令冪函數為令冪函數為 u令冪函數為令冪函數為 vdx指數函數 三角函數兩次使用分部積分公式，返回到原積分，變形，得解兩次使用分部積分公式，返回到原積分，變形，得解 注意：第一次使用分部積分公式時，注意：第一次使用分部積分公式時，u與與dv可任選，但可任選，但第二次使用分部積分公式時，第二次使用分部積分公式時，u與與dv的選擇，必須與第一次的選擇，必須與第一次的選擇同類的選擇同類。xxd tansecxdxxxxsectantansec2xdxxxxsec1sec

12、tansec23secsec tansecxxddxxx xdxx3secCxxxxtanseclntansec21udvuvvdu解解 xdx3sec例例8求不定積分求不定積分 原式原式 3sec tanln sectsecanxxxxxxd所以所以 dxxxxlncoslnsindxxxxxx1lncoslnsinsin lncos lsin lnnxxxdxxxudvuvvdu1sin lnsin lncos ln2x dxxxxxC解解 dxxlnsin例例9求不定積分求不定積分 原式原式 所以所以 22tanuudu22(sec1)uudu2tan2uuud22 tan2 tanuuuduuudvuvvdu22 tan2ln cosuuuuC2tan2ln cosxxxxC解解 xu令令 2tanx dx例例10 求不定積分求不定積分 則則2, 2xud