1、冷軋數學模型及模型自適應冷軋數學模型及模型自適應2006.5 武漢武漢 主要內容1. 冷軋數學模型冷軋數學模型2. 模型自適應模型自適應1. 冷軋數學模型冷軋數學模型1. 冷軋數學模型冷軋數學模型 冷軋機設定計算要得到各道次的壓下量和軋機速度。 各機架（道次）厚度分配確定以后，就可以由彈跳方程確定各機架（道次）的輥縫值，同時根據秒流量相等的原則確定各道次的速度。1.1 彈跳方程（Equation for Mill Spring） h = Sp = S + P/C （1）式中 Sp-有載輥縫，mm； h-軋件厚度，mm； S-空載輥縫，mm； C-機座總剛度，kN/mm。TpcKKQBlP 冷軋

2、帶鋼的軋制力公式較多，但一般認為布蘭德一福特公式及其簡化式RHill公式較符合實際，故計算機控制的現代冷連軋機常用它作為軋制力模型。根據Hill公式，可得以下計算公式：在考慮了張力的影響后，軋制力可用下式計算：圖1 彈跳方程 h = So +(P-P0)/Cp + O + G (2) 式中 So-人工零位的輥縫儀指示值，mm； Cp-機座剛度系數，kN/mm； P-軋制壓力，kN； Po- 預壓靠力，kN； O-油膜厚度，mm； G-輥縫零位，mm。1.2 流量方程（Equation for Flow Mass） 流量方程： 式中 -入口和出口帶鋼寬度，mm； L-入口帶鋼長度，mm； -入口

3、和出口帶鋼厚度，mm； -入口和出口帶鋼速度，m/s。tConsbhvvhbtLhbtan/0000bb ,0hh ,0vv , 1. 冷軋數學模型冷軋數學模型 對于雙機架冷連軋有兩類流量方程：（1） 一個機架變形區入口和出口的流量方程 對于熱連軋精軋機組，寬展很小，所以： 或者 式中 f為前滑； 為后滑； 為軋輥線速度。 vbhvhb100vhvh10)1 ()1 (0100fvhvh0v（2）機架之間的流量方程 或 111iiiiiivhbvhb11iiiivhvh)1 ()1 (11,010iiiiiifvhfvh 一個機架的變形區流量方程（變形區入口和出口流量恒等）是完全正確的，但多個

4、機架的流量方程，則僅在穩態下正確。 1.3 平直度方程（Equation for Strip Flatness） 為了保持良好的板形，必須使軋件沿寬度方向上各點的延伸率相等，即沿沿寬度方向上各點的壓縮率應相同。但軋件橫斷面邊緣和中間存在著一定的厚差稱為凸度，如圖2所示。如果來料凸度為，則軋出的成品亦應有一定的凸度才能保證其板形良好。 在來料平直度良好時，入口和出口相對凸度相等，是軋出平直度良好帶鋼的基本條件，即：0hh1. 冷軋數學模型冷軋數學模型圖2 原料和成品板凸度關系1. 冷軋數學模型冷軋數學模型1.4 連軋張力方程 （Tension Equation for Tandem Rollin

5、g） 此式即為常用的張力微分方程式。dtvvlEiii)(12. 模型自適應模型自適應 2.1 概述（Introduction） 數學模型即是用數學表達式來描述對象的內在規律，可以是一個或一組公式；可以采用表格形式；也可以是代數方程，微分方程等。 數學模型的分類：（1） 從建模角度分類，分為機理性模型和經驗統計模型 機理性模型是根據生產過程的物理機理，應用相應的學科理論寫出具有普遍意義的數學方程，機理性模型的優點是較完整的反映了各種影響因素的影響規律。但在實際應用時，需要模型中的系數進行統計回歸得到。 經驗統計模型是根據分析確定了影響因素后直接寫出的公式，一般結構比較簡單。 （2）從性質上分類

6、，分為靜態模型和動態模型 靜態模型不包含時間，反映了穩態條件下的過程狀況。動態模型采用微分方程的形式，含有時間變量，反映了過程的動態特性，如機架間張力方程等。 （3）從變量波動范圍分類，分為全量模型和增量模型全量模型用來描述變量在大范圍中的關系，往往是非線性的。增量模型用來描述變動范圍小的變量間關系，采用線性化方程。 （4）從應用角度分類，分為綜合分析或仿真用數學模型和在線控制用數學模型v 綜合分析或仿真用數學模型將生產過程各物理現象數學化后，用于綜合分析或進行仿真。分析一般是離線進行，時間一般不受限制，為了精確描述生產過程，所用數學模型可以考慮更多的因素，用較復雜的公式。 在線控制用數學模型

7、，用于生產過程計算機在線控制，時間上受到限制，因此要采取簡化措施抓住主要因素，忽略次要的因素，利用模型自學習來保證控制精度。2. 模型自適應模型自適應2.2 在線模型的建立方法（Modeling Method of on-line Models） 無論是機理型還是經驗統計型模型為了用于一定的軋機，必須利用該軋機的實測數據對模型系數進行統計分析，以便使模型用于該軋機的具體條件下能獲得要求的預報精度。 在現場收集數據進行統計分析時，應注意以下問題：（1） 需有一定數量條件相同的實測數據以提高統計的可靠性；（2） 自變量應有較寬的范圍以使統計結果較為穩定；（3） 需要對實測數據進行預處理，應將過于分

8、散的實測點剔除后再 進行統計分析；（4） 即使是經驗統計型模型亦應根據機理分析來確定主要影響因素 及公式的大致結構，以利于加快系數的統計分布；（5） 事先制訂出試驗方案，使數據收集有計劃的進行； 模型建立后應在生產實際中進行驗證。 2. 模型自適應模型自適應2.3 模型自學習（Self-learning of Models） 根據系統狀態的變化，不斷利用即時信息進行模型參數的修正，以保證模型的精度，這種功能稱為模型自適應校正。 2.3.1 增長記憶遞推最小二乘法 y = a1x1+ a2x2+ . + amxm式中 a1,a2, . ,am-模型待定參數。 現對變量y, x1, x2,. ,x

9、m進行了n次觀測，得到n組數據，由測量數據可以得到以下線性方程組： y1 = x11 a1+ x21a2+ . + xm1am y2 = x12 a1+ x22a2+ . + xm2am yn = x1n a1+ x2na2+ . + xmnam yi, xi1, xi2, ,xim (i=1,2,3, ,n) 因此，線性方程組可以寫成矩陣方程： Yn = Xn A由n次測量，通過上式計算得到模型參數為： nnnnnYXXXAA1)(2. 模型自適應模型自適應如果又進行了第n+1次測量，數據為： Yn+1, x1(n+1), x2(n+1), , xm(n+1) Yn+1= x1(n+1) a

10、1, x2(n+1) a2, , xm(n+1) am (x1(n+1), x2(n+1), , xm(n+1) 則第n+1次測量后的模型系數為： 上式為模型系數的遞推公式，每次都增加了新的測量信息，因此稱為增長記憶遞推最小二乘法。1n)(1111111nnnnnnnnnnAyXXAA 2.3.2 指數平滑法 y = a1x1+ a2x2+ + amxm + x1xm表示對模型有直接影響的因素，系數a1am表示這些因素對y的作用程度。系統狀態變化用 來反映，當系統的狀態發生變化時，可對模型中系數作相應的修正計算以適應系統特性的變化。為了既能反映最新的實際狀態，又能防止出現測量誤差時降低模型的精

11、度，采用下面的遞推算法： 式中 -第n次設定或控制時的預報值； -第n次設定或控制后的實測值； - 第n+1次設定或控制的預報值； -增益系數， 0= 1。n*n1n)(*1nnnn2. 模型自適應模型自適應 此式的意義是，在進行第n次設定或控制時用第n-1次的數據所推算的 ，以及對 的實測值 ，根據 此式對 參數先作一預報 ，用此預報的 值進行第n次的設定或控制，在進行第n次設定或控制后，即可獲得第n次的實測數據值 。 與 的差別，表示了模型存在的誤差系統狀態的變化。考慮到 實際上是反映了系統特性的即時狀態，為提高模型精度可以利用獲得的新信息 的部分值對 進行修正，即用 加在 得到第n+1次

12、 參數的預報值 。 1n1*nnn*nn)(*nn*n)(*nnn)(*nnn1n由于所得到的第n次實測值 反映了當時的系數狀態，這樣進行一次自適應校正計算，可使模型不斷適應系統狀態的變化，使模型精度不斷提高。 包含了前面1n步的 的信息，但由于 小于1，因此，離n+1越遠的信息被利用的越少，所以稱為指數平滑法。*n1nv v 值反映了對信息 的利用程度，當 = 1時，則 即完全信賴第n次獲得的實測信息 ，用它來作第n+1次的預報。這只有在儀表絕對可靠沒有誤差的情況下才成為可能，而實際上是不可能的。如 = 0，則 ，表示第n次實測值完全不可靠，不能考慮它，因此把第n次的預報值仍作為第n+1次的

13、預報值，不利用所獲得的第n次信息。比較合理的辦法應是根據每次實測數據的狀況來決定 值的大小(即 值每次是變化的)，但如何可靠地判斷每次實測數據的精度是一個難題。 )(*nn)*1nn*nnn12. 模型自適應模型自適應 因此，目前一般把 看作常數，其數值由實驗求得，必要時可在一段時間內改變一次 值，使自適應校正的效果更好些。在對象及儀表條件一定時，可以定性地說， 值太大將引起預報值的“振蕩”，使預報忽高忽低， 值太小將使預報值逼近目標值的速度減慢(圖3)。圖3 對學習過程的影響2. 模型自適應模型自適應自適應校正對模型系數的修正一般有兩種形式：（1） 加法自適應，模型形式為： y = f(x1, x2, .xm) + （2） 乘法自適應，模型形式為： y = f(x1, x2, .xm)