1、數(shù)列知識框架數(shù)列的概念兩個基本數(shù)列數(shù)列求和數(shù)列的分類數(shù)列的通項公式數(shù)列的遞推關(guān)系函數(shù)角度理解等差數(shù)列的定義anan1d(n2)等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)d等差數(shù)列等差數(shù)列的求和公式&：(aian)nan(n-d等差數(shù)列的性質(zhì)anamapaq(mnpq)等比數(shù)列的定義q(n2)an1等比數(shù)列的通項公式ana1qn1等比數(shù)列&anq冉(1qn)等比數(shù)列的求和公式Sn1q1q(qna（q1）等比數(shù)列的性質(zhì)anamapaq(mnpq)公式法分組求和錯位相減求和裂項求和倒序相加求和累加累積歸納猜想證明數(shù)列的應(yīng)用分期付款其他掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項公式

2、、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項公式(1)觀察法。(2)由遞推公式求通項。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan(d,q為常數(shù))例1、已知an滿足an+1=an+2,而且a1=1。求an。例1、解:an+1-an=2為常數(shù)，an是首項為1,公差為2的等差數(shù)列-an=1+2(n-1)即an=2n-11 .例2、已知an滿足an1-an，而ai2,求an=?2解:3=三是常數(shù)an2是以2為首項，公比為9的等

3、比數(shù)列1(2)遞推式為an+i=an+f(n)1 1例3、已知an中a1,an1an2，求an.2 4n1一，一一1111解：由已知可知an1an-()(2n1)(2n1)22n12n1令n=1,2,，(n-1),代入得(n-1)個等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)I/二產(chǎn)11=(1j+c2l335._L_電兩5(2n-12n-1ana1萬(11)4n4n2是可求的，就可以由an+1=an+f(n)以n=1,2,說明只要和f(1)+f(2)+f(n-1)(n-1)代入，可得n-1個等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pan+q(p,q為常數(shù))例4、an中，a1

4、1,對于n>1(nN)有an3an12,求an解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3(an-an-1)因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項為a2-a1=(3X1+2)-1=41.an+1-an=4-3n-1an+1=3an+23an+2-an=4.3n-1即an=2-3n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=43,a4-a3=4-32,an-an-1=4-3n-2,把n-1個等式累加得:=4(1+3+至十+空白)an=23n-1-1(4)遞推式為an+1=pan+

5、qn(p,q為常數(shù))1例5已知中，與二產(chǎn),C叫求廿略解在4-=?口十(£)I的兩邊乘以及+】得22/1%1=(2"+1,令5=2"%2則%包=5%+1，于是可得22b11nbn1bn-(bnbn1)由上題的解法，得：bn32(一)n.-。b3()n2(-)n332n23說明對于遞推式苴=P%+產(chǎn)，可兩邊除以屋十】，得駕=q親引輔助數(shù)列0出)得鼠+1=1后用(5)遞推式為an2pan1qan思路：設(shè)an2pan1qan,可以變形為：an2an1(an1an),f口十B二p就是叫+=(a+日)w口3%則可從(解得a,P,0P=-qan是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面

6、的類型。例6已知數(shù)列%中1=1.的=2,分析:廣一二Ma+P=1121、解在耳9=-置加+三1兩邊減士覆.1an+n一小41)=2(。+】一%，a十1-%)是公比為-；，首項為切-amt26ait+l+Q%*十3力求an。，得力=1的等比數(shù)列。+(-"+十二,%二1+-(-夕T(6)遞推式為S與an的關(guān)系式此類型可利用V8鼻，.1<n>2；、11例7設(shè)f%)前0項的和邑=4-%-產(chǎn)。)求與解由"二日_/_產(chǎn)得Sm+14次欣/1.Sn1Sn(a1an1anan12n1上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2nan是公差為2的A.1-2nan=2+

7、(n-1)-2=2n.2i+l與曰n的關(guān)系；(2)試用n表小ai_xInan1)(2n22n1)11,an12an2n眨1數(shù)列。數(shù)列求和的常用方法:1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯項相減法：適用于差比數(shù)列(如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比數(shù)列)即把每一項都乘以bn的公比q,向后錯一項，再對應(yīng)同次項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和?？汕蠛?。3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負(fù)兩項，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項,適用于數(shù)列anan1二(其中an1等差)可裂項為:anan1一(Jan1an)d等差數(shù)列前n項和的最值問題:1、若等差數(shù)列an的首項a10

8、,公差d0,則前n項和Sn有最大值。(i)若已知通項an,則Sn最大anan1(ii)若已知Snn取最靠近-q-的非零自然數(shù)時Sn最大;2p2、若等差數(shù)列an的首項a10,公差d0,則前n項和Sn有最小值(i)若已知通項an,則Sn最小anan1(ii)若已知&2一，pnqn,則當(dāng)n取最靠近q，-的非零自然數(shù)時Sn最小;2p數(shù)列通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。已知Sn(即a1a2Lanf(n)求an,用作差法：anS,(n1)SnSn1，(n2)已知為中23ganf(1),(nf(n)求an,用作商法：anf(n)f(n1)'1)(n2)°已知

9、條件中既有Sn還有an,有時先求Sn，再求為；若an1anf(n)求an用累加法：ana(n2)。a“已知f(n)求an,用累乘法：anan(ananan1an1)an1an2有時也可直接求(an1an2)anoL(a2a1)a2La1(na12)。已知遞推關(guān)系求an,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)特別地，(1)形如ankan1b、ank%1bn(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an;形如ankan1kn的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個等差數(shù)列后，再求an。(2)形如anan1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。kan1b(3)形如an1ank的遞推數(shù)列都

10、可以用對數(shù)法求通項。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。(8)當(dāng)遇到an1an1d或曳q時，分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結(jié)果可能是分段形式an1數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(4)錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式

11、的推導(dǎo)方法).(5)裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有:1(1，)；1111k2(k1)kk1kn(n1)nn1n(nk)k'nnk，氏111/11、111萬-(),k2k212k1k1kk1(k1)kn(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2);(n1)!11n!(n1)!2(./.n)1、n22(、n.n1).nn1、解題方法:求數(shù)列通項公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n1時，a1S1，n2時，anSnSn1)3、求差(商)法111如：an倆足一a1-a2-an2n512222n1.解：n

12、1時，一a1215,a1142n2時，1al222a22ian12n15112得：牙為22nan14(n1)2n1(n2)練習(xí)14,求a。數(shù)列an滿足SnSn15an1,a13（注意到an1Sn1Sn代入彳導(dǎo):SA4又S14,Sn是等比數(shù)列，Sn4nn2時，anSnSn13-4n14、疊乘法例如：數(shù)列an中，a13,求anann1解:a2a1a3a2紅32an123n1.an1,-na1n又213,一an5、等差型遞推公式由anan1f(n)，a1a0,求an,用迭加法n2時，a2a1a3a2f(2)f(3)兩邊相加，得:anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)-'-anao

13、f(2)f(3)f(n)練習(xí)1數(shù)列an,a11,an3n1an1n2,求an(an13n1)266、等比型遞推公式ancanidc、d為常數(shù),0,c1,d0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)ancan1xancan1令(c1)xd,xan-d是首項為a1c1c為公比的等比數(shù)列a1cn1c1a1數(shù)列an滿足a19,3an1an4,求ann1,一4八(an81)37、倒數(shù)法例如：a11,an12一，求anan2由已知得:1an2an12an1_12an-1為等差數(shù)列，工1,公差為-ana121 .11.1n1一一n1an222 .數(shù)列求和問題的方法(1)、應(yīng)用公式法n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有

14、益的。等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前._+1)1+2+5+=n22+2+十十ii=-1+3+5+(2n-1)=n613+23+?3+療=£1fj-I【例8】求數(shù)歹U1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n項的和。1解本題頭際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的刖n項中，共有1+2+-+n=n(n1)個奇數(shù),2，最后一個奇數(shù)為：1+n(n+1)-1x2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n項的和為(2)、分解轉(zhuǎn)化法對通項進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。【例9求和S=1(n2-1)+2(n2-22)+3-(n2-32)+n(n2-n2)解S=n2(1+

15、2+3+n)-(13+23+33+n3)=n2*n(n+1)一;口。(n+1),n2n十1)Cn-1)4=9U)(3)、倒序相加法采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列,和。例10、求和：Sn3C：6c2L3nCn例10、解Sn0?C03C；6C：L3nC：+3（n-1）C丫】十+0C"相加，且運用u二圖“可得2%=3n（C：+C；+吠）=3U2北Sn=3n-2n-1(4)、錯位相減法如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和.例11、求數(shù)列1,3x,5x

16、2，,(2n-1)xn-1前n項的和.解設(shè)Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.當(dāng)葉l+(2n-1)2(1)三天=1叼，=*n=n.(2)x=0時，Sn=1.(3)當(dāng)xw0且xw1時，在式兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn,-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn.,1陵(1-姆4)由公式知Sn=-口+-(2力-1)F1-X1-5C14X-(2n+l)an+(2&-1)+1二八不'(5)裂項法：把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：1111n(n+k)kan+k_21J11例12、求

17、和例31111?53?75?911求和十173*7n(n+1)(口+2)2xin1n+2(2n1)(2n3)11十+-+59(2nT)(2n4司1n"(2n-l)(2n+3)=-十+-'*"!十1d537$92n-32n72n-12n+3lrH111n一!4l3Zn+12n十5n(4n+5)=貨22+1)(2n-3)注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負(fù)項一樣多。在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想運用數(shù)列中的通項公式的特點把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。【例13】等差數(shù)列a

18、n的首項a1>0,前n項的和為Sn,若S=Sk(lwk)問n為何值時S最大?解依題意，設(shè)f(Q三也如+“"2"&-f(a)+(%g)a此函數(shù)以n為自變量的二次可吐.,ai>0Si=&(lwk),，d<0故此二次函數(shù)的圖像開口向下1f(l)=f(k)J當(dāng)八二時fG)最大,f(n)口,nEN*J1+k，當(dāng)1+k為偶數(shù)時，n=空-時£最大口當(dāng)14k為奇數(shù)時，口=警¥時當(dāng)最大。2 .方程思想一【例14】設(shè)等比數(shù)列但口前門項和為Sn,若S3+&=2&,求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及推理能力。解:依

19、題意可知qwl。;如果q=1,則S3=3ai,S6=6ai,So=9ai。由此應(yīng)推出ai=0與等比數(shù)列不符。-qwI(1-q3)支(1-2a(1-q)9)+=-q1-q-q整理得q3(2q6-q3-i)=0q0,-2q6-q3-1=0qj=啥，q；-1u此題還可以作如下思考：S6=S3+q3S=(i+q3)&°S9=S3+q3S6=S(i+q3+q6),由S3+S6=2S9可彳22+q3=2(i+q3+q6),2q6+q3=03 1道q=石q=F3.換元思想【例I5已知a,b,c是不為i的正數(shù)，x,y,zCR+,且育g*=b7=c，和"!二一5求證：a,b,c順次成

20、等比數(shù)列。''證明依題意令ax=by=cz=k-x=1ogak,y=logbk,z=logck.112112.4-=$-+=Xzy1暇k1叫k10gbk故M+整二警即3+kIgkIgkb2=ac.a,b,c成等比數(shù)列(a,b,c均不為0)10數(shù)學(xué)5（必修）第二章：數(shù)列提高訓(xùn)練C組一、選擇題數(shù)列an的通項公式an,則該數(shù)列的前（）項之和等于A.98B.99C.96D.972.在等差數(shù)列an中,若S41,S84,則a17a18a19a2。的值為（A.12C.16D.173.在等比數(shù)列an中,a26,JeLa52a4a312A.1)n2C.62n,/、n2n2(1)或624.在等差數(shù)

21、列an中,aa2a50200,a51a52a1002700,則a1為（）A.22.5B.21.5C.20.5D205.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若m1,且am10,S2m138,則mA.等于38)B.206.等差數(shù)列an,bn的前n項和分別為C.10D.9Tn,若務(wù)Tn2-，則電3n1bn2n1Sn,amam12A.3二、填空題2n13n2n1D3n13n4已知數(shù)列中,a12.已知數(shù)列的Sn3.三個不同的實數(shù)4.在等差數(shù)列an5.若等差數(shù)列an6.an1anan1an,則數(shù)列通項an1貝ua8a9a10ana12二a,b,c成等差數(shù)列，且a,Gb成等比數(shù)列，則a:b:c中，公差中,a3

22、一個等比數(shù)列各項均為正數(shù),三、解答題d;前100項的和S10045,則切a3a5a7a108,a11a44,則§3且它的任何一項都等于它的后面兩項的和，則公比1.已知數(shù)列an的前n項和Sn32、求an11q為2.一個有窮等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)為偶數(shù)，如果其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,求此數(shù)列的公比和項數(shù)。3.數(shù)列l(wèi)g1000,lg(1000cos60°),lg(1000cos260°),.lg(1000n10cos60工的前多少項和為最大?4,已知數(shù)列an的前n項和Sn15913.(1)n1(4n3),求S15S22S31的值。5.已知數(shù)列an的前n項

23、和為Sn,滿足Sn=2an-2n(nCN)(1)求數(shù)列an的通項公式an;b1(2)若數(shù)列bn滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列一的前n項和，求證Tn>-;an2212選擇題參考答案（數(shù)學(xué)5必修）第二章提高訓(xùn)練C組1.Ban1-=n1、.n,Sn.n、-n1,2、.彳3.2.，門,n2.AS43.D4.C5.C6.BSn彷19,nl1,S8S43,而S4,S8S4S210,n99S8,§6Si2,S20Sb成等差數(shù)列即1,3,5,7,9,a17a18a19a20S20S169a52a4a3a32a2或q227001時,2時,200222/2/、c,22a20,a5a32

24、a42a2,a3(q1)2a2(q10,q2,1或1,當(dāng)q1時，an6；a16,an6(n1a13,an3250d50,d1,S50a1a508,2al49d8,2為1)amS2manbn二、填空題1.1.1003.4:1:(amam0,am(am2m11z(&a2m1)1)n1641,a12)0,am2,(1)na50)20.5(2m1)a2m38,2m200,192an2bnan2n122n12(a1a2ni)(b1b2n1)S2n1T2n12(2n1)3(2n1)12n13n1an11,1an1an公差的等差數(shù)列,a8a9a10a11a122)ac2b,c2bS12a,abab,a4b,c2b(nS71口,1,ZE以an1I為首項,a11)(122(2b1)12a)213n,an1(721)1002_.2,a5ab4b4.10S100100(a1a100)45,aa。0.