1、等差數列與等比數列的有關知識比較一覽表等差數列等比數列定義一般地,如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列.這個常數叫公差.一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫等比數列.這個常數叫公比.遞推關系)an1ana2al(aniandan1ananan1(n2,nN*)nN*)(nN*)()包2包ana1)q0,nN*)n2,nN*)(nN*)-an-1qanan1ananan1通項公式(anai(n1)dnN)anpnqp,q為吊數,nN)()anaqn1)anpqnp,q是常數,q0,p0,n(nN

2、*)N*)word.2Snn(aian)求積公式n2ai(aan)ni1nN*)Snna1n(n1)d2Sn(*、nN)naqAAqn,q2SnAn2Bn(A,B是常數，nN)若，p、q、s、，則對任意數列.anian1若an數列，則0)若,p、q、apaq%.001,Can為等比2an,nN,n2.bn分別為兩等差anbn為等差數列.數列名為等差數列.n若bn列，則Sn，S2n為正項等差自然數鳧n為等差數列.Sn，S3nS2n，為等差word.na1,q1a1(1qn).d，q11qs、，則對任意c>01,若恒大于0,則logcan為等差數列.anian1an,nN7n2bn為兩等比數

3、列,則anbn為等比數列.若恒大于0,則數列為等比數列.若bn則abnSn,S2數列.nai1,i1為正項等差自然數列,為等比數列.Sn，S3nS2n,為等比質數列. Sn_SnmSm,n>2mi,m、nn2m_*nn. SmnSm&mnd.若SmSn，mn,則Smn0.nnmnlain2ma,n>2mmi1fim1_*_*nN,ap0,pN.SmnSmq&qM.若a1a2ama1a2an,mn,mn貝Uai1.1 1此外，還要了解一些等差數列與等比數列中的重要結論，這些結論之間不具有對偶關系：等差數列等比數列重若apq,aqp,p、qN*,要且pq,SmnSm(1

4、qmq2mq(n1)m)結則apq0.論若Spq,Sqp,且pq,則=Sn(1qnq2nq(m1)n).c/、一*Spq(pq),p、qN.若<1,則limSnS-a-.n1q求數列通項公式的方法word.1.an1anf(n)型累加法：an=(anan1)+(an1an2)+(a2ai)+aif(n1)f(n2)f(1)a1例1.已知數列an滿足a1=1,an1an2n(ne),求an.解an=an-an1+an1-an2+a2-a1+a12n12n221112nn2n112-n.，一、,*an=2-1(nG)3.an1an型(p、q為常數)方法：(1)an1qp(an),p1p1再根

5、據等比數列的相關知識求an.an1-an=p(anan1)再用累加法求an.(3)an1,且n,先用累加法求n1nn1ppp粵再求an.p例3.已知an的首項a1(a為常數)，an=2an1+1(ne,n>2)，求an.解設an-入=2(an1一人)，貝U入=-1;an+1=2(an1+1)an1為公比為2的等比數列.一1,an+1=(1)02n1,.an=(1)212.同工g(n)型an累乘法：an=-an-亙曳-a1an1an2a1一一，一一an1例2.已知數列an滿足上2n(ne),a1=1,求anan.anan1a2斛an='-a1an1an2a1=(n1)-(n2)1-

6、1=(n1)!：an=(n1)!(nG)4.an1anf(n)型(p為常數)方法：變形得an1anf(n)n1nn1>ppp則之可用累加法求出，由此求an.pn例4.已知an滿足a1=2,1十an1=2an+2.求an.解34包12n12na-:一;為等差數列.為nHn1n2n2an,2word.5. an2=pan1+qan型(aq為常數)特征根法：x2pxq(1)XiX2時，an=Ci-Xin+C2x2(2)x1x2時，an=(C1+C2n)x1n例5.數列an中，a=2,a2=3,且2ananiani(ne,n>2),求an.解ani=2ananix22xixix2i-an=

7、(Ci+C2-n)-inCiC2-n.CiC22CiiCi2c23C2ianni(nN)7.“已知Sn,求an”型方法：an=SnSni(注意物是否符合)一、一一3例6.設Sn為an的前n項和，Sn=-(Hn2i),求an(n)一.一3,斛Sn=(ani)(ne)2;當i時，a1=?(a一i)2-ai=3當n>2時，an=Sn-Sni3,-3一=(a”一i)(anii)22-an=3ani:an=3(ne)6.ani=迫一B型(A、RC、D為常數)CanDAxR特征根法：x=-CxDHanxianixi(Dxix2時，-anx2anix2ii-(2)x1x2時，=Canxianixi2a

8、n例6.已知ai=i,an=(ne),求an.an2解x=xx20x2,iianani2i-ai=i,a2=，代入，胃一32為首項為i,D的等差數列.an2ini.2一=-an=(ne)an2ni8.“已知an，ani,Sn的關系，求An”型方法：構造與轉化的方法.例8.已知an的前n項和為Sn,且an+2Sn(Sni-ani-an)=。(n)2),i*ai=,求an.2解依題意，得SnSni+2Sn-Sn=01 i0=2SnSni.icc,c=2+2(n1)=2nSn.-i-i,Sn=，Sni=2n2(ni)anSnSnii、/i2n2(ni)i-=(n2)2n(in)T(ni)a=2ani

9、!(nN,n2)2n(in)練一練word.1. 是首項ai=1,公差為d=3的等差數列，如果=2005,則序號n等于（）.A.667B.668C.669D.6702 .在各項都為正數的等比數列中，首項ai=3,前三項和為21,則a3+su+a5=（）.A.33B.72C.84D.1893 .如果asa2,，a8為各項都大于零的等差數列，公差d*0,則（）.A.aa8>a4a5B.aa8Va4a5C.a+a8va4+a5D.a1a8=a4a54 .已知方程（x22x+n）（x22x+n）=0的四個根組成一個首項為1的等差數列，則4Im-n|等于（）A.1B.9C.1D.另4285 .等比

10、數列中，a2=9,a5=243,則的前4項和為（）.A.81B.120C.168D.192a2003a26 .若數列是等差數列，首項a1>0,a2003+a2oo4>0,word.004<0,則使前n項和>0成立的最大自然數門是()A.4005B.4006C.4007D.40087 .已知等差數列的公差為2,若ai,as,a4成等比數列，則a2=()A.-4B.-6C.-8D.108 .設是等差數列的前n項和，若竺=9,則包=().839，S5、，A.1B.-1C.2D.129 .已知數列-1,ai,&,4成等差數列，一1,bi,bz,bs,4成等比數列，則J的

11、值是().b21. C解析：由題設，代入通項公式=a+(n1)d,即2005=1+3(n-1),.n=699.2. C解析：本題考查等比數列的相關概念，及其有關計算能力.設等比數列的公比為q(q>0),由題意得81+82+83=21,即a1(1+q+q)=21,又a1=3,.1+q+q=7.解得q=2或q=3(不合題意，舍去)，83+84+85=80(1+q+q)=3x2X7=84.3. B.解析：由81+88=84+85,排除C.word.2.又aias=ai(ai+7d)=ai+7a1d,.aas=(ai+3d)(ai+4d)=a：+7aid+12d2>aias.4. C解析：

12、解法i：設&=I，a2=1+d,a3=l+2d,a4=1+3d,而4444方程x22x+m=0中兩根之和為2,x22x+n=0中兩根之和也為2,ai+a2+a?+a4=i+6d=4,.d=i,ai=L,a4=7是一個方程的兩個根，ai=3,a3=-24444是另一個方程的兩個根.二二，蛆分別為m或n,i6i6Im-n|=i,故選C.2解法2：設方程的四個根為xi,x2,x3,x4,且xi+x2=x3+x4=2,xi-x2=m,x3-x4=n.由等差數列的性質：若+s=p+q,則a+=+,若設xi為第一項，x2必為第四項，則x2=7,于是可得等差數列為。，孔4445744.m=,n=,i

13、6i6.Im-n|=i.25. B解析：a2=9,a5=243,曳=q3=243=27,a29.q=3,a1q=9,ai=3,word.5.$=上3_=啊=120.1-326. B解析：解法1：由a2003+a2004>0,+003，02004V0,知02003和32004兩項中有一正數一負數，又ai>0,則公差為負數，否則各項總為正數，故3200332004)即32003>0,32004<0.C4006(3,+3)4006(3+3)-.3006=一L一%"=6(2003一位>0,225007=4007,(31+34007)=4007,232004<022故4006為>0的最大自然數.選B.解法2：由31>0,32003+32004>0,3200332004V0,同解法1的分析得32003>0,32004V0, S2003為中的最大值. 是關于n的二次函數，如草圖所示， .2003到對稱軸的距離比2004到對稱軸的距離小， 包在對稱軸的右側.2根據已知條件及圖象的對稱性可得4006在圖象中右側零點B的左側，4007,4008都在其右側，>0的最大自然數是4006.7.