1、2022-5-31隨機過程的功率譜密度隨機過程的功率譜密度引言 在許多領域的理論與實際應用中，廣泛應用到傅立葉變換這一工具。一方面由于確定性信號的頻譜、線性系統的頻率響應等具有鮮明的物理意義。另一方面，在時域上計算確定性信號通過線性系統必須采用大量的卷積運算，轉換到頻域上分析時，可以變換成簡單的乘積運算，從而使運算量大為減少，因而傅立葉變換是確定性信號分析的重要工具。 在隨機信號分析領域能否應用傅立葉變換，隨機信號是否存在某種譜特征？回答是可以，不過在隨機信號情況下，必須進行某種處理以后，才能應用傅立葉分析這一工具。因為一般隨機信號的樣本函數不滿足傅立葉變換的絕對可積條件，即( )x t dt

2、 通常用信號在其定義域內的總量來表示信號的大小，稱為信號的規范量。 一階規范量，若模可積，即滿足則一階規范量定義為否則定義為6.1確定信號的大小、能量和功率確定信號的大小、能量和功率( )x t dt 1( )( )x tx t dt11( )lim( )2TTTx tx t dtT確定信號的大小、能量和功率確定信號的大小、能量和功率 二階規范量，若模可積定義為否則定義為22( )( )x tx tdt221( )lim( )2TTTx tx tdtT向量范數向量范數定義1., xRnn中任意一個向量維向量空間對于對應，且滿足與若存在唯一一個實數xRx ;00,0)()1(xxRxxn且正定性

3、;,)()2(RRxxxn，齊次性.,)()3(nRyxyxyx，三角不等式.的范數為向量則稱xxTnnnxxxxCR),(,)(21設中在向量空間的范數有常用的向量 x2x2122221)(nxxx范數21xnxxx21范數1xinix1max范數pxppnppxxx121)(1,pp范數2x和1x顯然時的特例和在是21ppxp 設信號s(t)為非周期實函數，且滿足： 1) ，即s(t)絕對可積； 2) s(t)在內只有有限個第一類間斷點和極值點。 那么，s(t)的傅立葉變換存在，為 又稱為頻譜密度，也簡稱為頻譜。 信號s(t)可以用頻譜表示為確定信號的頻譜和能量譜確定信號的頻譜和能量譜(

4、)s t dt ( )( )j tSs t edt1( )( )2j ts tSed 信號s(t)的總能量為 根據帕塞瓦爾定理：對能量有限信號，時域內信號的能量等于頻域內信號的能量。即 其中 稱為s(t)的能量譜密度（能譜密度）。 有限能量信號： 是能量譜密度存在的條件221( )( )2Est dtSd2( )Es t dt2( )S2( )s t dt 樣本函數x(t)不滿足絕對可積的條件，但功率是有限的因此，可以研究隨機過程的功率譜。 樣本函數x(t)的截取函數21lim( )2TTTPx tdtT ( ) ( )0 Tx ttTx t其他隨機信號的功率截取函數的傅立葉變換截取函數應滿足

5、帕塞瓦定理兩邊同除以2T可得1( ,)( ) ( )( ,)2j tj tXTTXXTx t edtx tXTed221( )( ,)2TXTx tdtXTd2211( )( ,)22 *2TXTx t dtXTdTT取集合平均可得隨機過程的平均功率功率譜密度2211( )( ,)22 *2TXTEx t dtEXTdTT22( ,)11lim( )lim222TXTTTEXTE xtdtdTT211lim( )( )22TXTTPE x tdtSdT21( )lim( ) 2XTTSE XT兩個結論1、隨機過程的平均功率可以通過對過程的均方值求時間平均得到。若隨機過程廣義平穩2、若隨機過程廣

6、義平穩2( )PA E x t22( )( )PA E x tE x t1( )2XPSd21( )( )2XE x tSd 1、功率譜密度為非負的，即2、功率譜密度是的實函數。3、對于實隨機過程來說，功率譜密度是的偶函數，即( )0XS( )()XXSS2( ,)( )lim2XXTEXTST功率譜密度的性質截取函數 為t的實函數，根據傅立葉變換的性質于是4、功率譜密度可積，即( )Tx t*( ,)( ,)XXXTXT2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT( )XSd 2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT功率譜密度的表達式為其中功率譜密度可表示為2( ,)( )lim2X

7、XTEXTST( ,)( ) j tXTXTxt edt2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT1212121lim( ) ( )2TTj tj tTTTE x t x teedt dtT 1211221lim( )( )2TTj tj tTTTEx t edtx t edtT( )XS功率譜密度與自相關函數由得121212( )( )( ,) , ,XE X t X tRt tTt tT21()12121( )lim( ,)2TTjttXXTTTSRt t edt dtT 1( )lim( ,)2T tTjXXT tTTSRt tdt edT 1( )lim( ,)2( ,)TjXXT

8、TjXSRt tdt edTA Rt ted對于廣義平穩隨機過程則 維納辛欽定理1( ,)( )2jXXA Rt tSed( ,)( )( ,)( )( )XXXXXRt tRA Rt tA RR( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSed雙邊帶功率譜密度：雙邊帶功率譜密度：功率譜密度分布在整個頻率軸上，稱為雙邊帶功率譜密度。單邊帶功率譜密度：單邊帶功率譜密度：功率譜密度只定義在零和正的頻率軸上，成為單邊帶功率譜密度。單邊帶功率譜密度與雙邊帶功率譜密度之間的關系為：在以后，如不加說明，都指雙邊帶功率譜密度。0 00 )(2S)(GXX平穩隨機過程的自相關函數和功率譜密度的對應關系：

9、) t (XXR ( )(SXdt) t (dXtd) t (Xdnntj0e ) t (X22)(dRdXnXnndRd22)() 1(0jX)e(R)(taX)(2XRa)(2XS)(2XnS)(0S)(2XSa例例 已知零均值平穩過程已知零均值平穩過程X(t)的的 2426( ),( ).54XXXSRD t求與222242222222221466()54(1)(4)1466624|2,|84313XSABAB 解：| |2| |X222|0|2|0|28( ),R ( )214()(0)= 2 0=1 XXXXSeeD tRmee22| |2aaeta互譜密度互譜密度 定義兩個截取函數

10、 為 二者滿足絕對可積的條件，則( ) , ( )TTx tyt( ) ( )0 Tx ttTx t其他( ) ( )0 Ty ttTyt其他( ) ( ,)( ) ( ,)TXTYx tXTytXT聯合平穩隨機過程的互譜密度 定義兩隨機過程的互功率為 應用帕塞瓦定理1( )( )( )2TXYTTTPTxt yt dtT1( ) ( )2TTx t y t dtT1( )( ) ( )2TXYTPTx t y t dtT*( ,)( ,)122XYXTXTdT 下面求平均功率 ，得平均功率互功率譜密度定義為*( ,)( ,)1( )( )22XYXYXYE XTXTA PTE PTdTT *

11、( ,)( ,)1lim( )lim22XYXYXYTTE XTXTPA PTdT*1lim( ,)( ,)2XYXYTSE XTXTT（ ）1、對于實隨機過程X(t)、Y(t)有 2、若X(t),Y(t)聯合平穩，有 ( ,)jXYXYSA Rt ted-（ ）=互譜密度與互相關函數( )XYXYSR（ ） 性質1： 性質2：互譜密度的實部是偶函數，虛部是奇函數。 互功率譜密度性質互功率譜密度性質*( )()( )()XYYXYXXYSSSSRe( )Re()Re( )Re()Im( )Im()Im( )Im()XYYXYXXYXYYXYXXYSSSSSSSS 互譜密度的性質性質3：若X(t

12、),Y(t)互相正交，互譜密度為零 性質4：若X(t),Y(t)是互不相關的兩個隨機過程，且數學期望不為零，則有性質5：互功率譜密度性質互功率譜密度性質( )( )2( )XYYXXYSSm m 2( )( )( )XYXYSSS互譜密度的性質周期圖法 本質是從各態歷經過程功率譜定義得到的估計量，對于長度為N的隨機序列X(n) 式中式中 是X(n)的N點DFT。 6.6 功率譜估值功率譜估值21( )( )XNSXN( )NX功率譜估值Blackman-Tukey 本質是基于維納辛欽定理對于有限數據，譜密度估值為( )( )sj kTXXkSRk e( )( )sNj kTXXkNSRk e功

13、率譜估值算法改進 無論周期圖法還是BT法，均為漸進無偏，但不是一致估計量即真實譜越大的地方，也就是通常我們感興即真實譜越大的地方，也就是通常我們感興趣的地方，譜估計量方差越大，越不可靠。趣的地方，譜估計量方差越大，越不可靠。 改進算法有改進算法有平均法、平滑法等平均法、平滑法等2lim Var( )( )XXNSS功率譜估值 類似相關函數，在時域的高階統計量稱為高階累量(Cumultants)，類似于功率譜密度，在頻域高階統計量稱為高階譜(Polyspectra)。 對于零均值實隨機變量X1 X2 X3 X4，其對應的二階、三階和四階累量為 若均值不為零，則用 替換 。121212312312

14、341234123413241423Cum(,)Cum(,)Cum(,) XXE X XXXXE X X XXXXXE X X X XE X XE X XE X XE X XE X XE X XiiiXXXmiX高階統計量與高階譜 目前高階統計量用得最多的是三、四階累量。三階累積量在概率密度函數對稱的情況下為零。由于高斯變量有以下重要公式： 可知高斯過程的四階累量為零，它提供了研究隨機過程與高斯過程差異的一個度量。1234123413241423 E X X X XE X XE X XE X XE X XE X XE X X 高斯過程定義：如果對于任意時刻，隨機過程的任意n維隨機變量服從高斯分

15、布，則X(t)就是高斯過程。高斯過程的n維概率密度函數為： 式中m,x為n維向量 C為協方差矩陣 6.7高斯過程與白噪聲高斯過程與白噪聲1()()212121 221(,; ,)(2 )Tx mCx mnnnf x xx t tteC1n1n( )( )TTmm tm txxx1111( , )( ,)( , )( ,)XXnXnXnnCt tCt tCCt tCt t高斯過程與白噪聲高斯過程與白噪聲 廣義平穩正態過程定義：若正態隨機過程X(t)的均值和方差都是與時間無關的常數，而自相關函數只取決于時間間隔，則稱此正態過程為廣義平穩正態過程。 性質1：寬平穩高斯過程一定是嚴平穩過程。 性質2：

16、若平穩高斯過程在任意兩個不同時刻是不相關的，那么也一定是互相獨立的 性質3：平穩高斯過程與確定時間信號之和仍是高斯過程。 高斯過程性質高斯過程性質 性質4：若正態隨機過程在T上是均方可積的，則也是正態過程。 性質5：若正態隨機過程在T上是均方可微的，則其導數也是正態過程。高斯過程性質高斯過程性質( )( )( ,)( )( ) ( , )( ,)tabaY tXda tTY tXht da tT（1）從噪聲與電子系統的關系來看：v內部噪聲：系統本身的元器件及電路產生的。v外部噪聲：包括電子系統之外的所有噪聲。（2）根據噪聲的分布：v高斯噪聲：具有高斯分布的噪聲。v均勻噪聲：具有均勻分布的噪聲。

17、（3）從功率譜的角度來看：v白噪聲：如果一個隨機過程的功率譜為常數，無論是什么分布，都稱它為白噪聲。v色噪聲：功率譜中各種頻率分量的大小不同。噪聲的分類 噪聲的分類 一個均值為零，功率譜密度在整個頻率軸上為非零常數，即 的平穩過程N(t)，稱為白噪聲過程，簡稱為白噪聲。理想白噪聲 0( )2NNS 白噪聲過程白噪聲過程 利用傅立葉反變換可求得白噪聲的自相關函數為：白噪聲的相關系數 若平穩過程N(t)在有限頻帶上的功率譜密度為常數，在頻帶之外為零，則稱N(t)為理想帶限白噪聲。理想白噪聲 0( )( )2NNR 020( )1(0)( )2( )0(0)(0)2NNNNCrN 帶限白噪聲帶限白噪聲 若白噪聲的功率譜在 內不為零，而在其外為零，且分布均勻，其表達式為 稱這類白噪聲為低通白噪聲。 自