1、返回 上頁 下頁 結(jié)束 3.4 隨機(jī)向量函數(shù)的分布隨機(jī)向量函數(shù)的分布一.隨機(jī)變量二.和的分布三.幾個分布的再生性1max( , )ZX Y和和2min(, )ZX Y的分布返回 上頁 下頁 結(jié)束 一一. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量問題問題. X和Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為( )XFx與( ),YF y求1max(, )ZX Y和和2min(, )ZX Y的分布1max(, )ZX Y與2min(, )ZX Y的分布函數(shù).對于任意實數(shù)z, 1max(, )ZX Y的分布函數(shù)為max( )Fz1P Zzmax(, )PX Yz,P Xz Yz( , )F z z由X和Y的獨立性可知ma

2、x( )( )( ).XYFzFz F z返回 上頁 下頁 結(jié)束 同理,2min(, )ZX Y的分布函數(shù)為min( )Fz2P Zzmin(, )PX Yz1min(, )PX Yz 1,P Xz Yz 即有min( )11( ) 1( ) .XYFzFzF z 1 P Xz P Yz 11 1P XzP Yz 返回 上頁 下頁 結(jié)束 例1 離散型隨機(jī)向量(X,Y )的概率分布律為YX 0 1 22/91/92/9 1/92/91/901(1) 求 的分布函數(shù)與分布律;max(, )UX Y(2) 求 的分布函數(shù)與分布律.min(, )VX Y(P72, 例19)返回 上頁 下頁 結(jié)束 例2

3、. 設(shè)系統(tǒng)L是由兩個獨立工作的電子元件 和1L2L聯(lián)接而成, 1L和2L的壽命分別為X和Y, 它們的概率密度分別為11,0,( )0,0;xXexfxx22,0,( )0,0;xYeyfyy其中120,0,分別就串聯(lián)與并聯(lián)方式求系統(tǒng)的壽命Z的概率密度. (P73, 例20)返回 上頁 下頁 結(jié)束 11,0,( )0,0;xXexFxx (1)串聯(lián)方式, 21,0,( )0,0;yYeyF yy 于是min(, )ZX Y的分布函數(shù)為系統(tǒng)壽命為隨機(jī)變量X和Y的分布函數(shù)分別為min(, )ZX Ymin(, )ZX Y的概率密度函數(shù)為12()min(, )1,0,( )11( ) 1( )0,0.

4、zX YXYezFzFzF zz 12()12min(, )(),0,( )0,0.zX Yezfzz返回 上頁 下頁 結(jié)束 (2)并聯(lián)方式, max(, )ZX Y的分布函數(shù)為系統(tǒng)壽命為max(, )ZX Ymax(, )ZX Y的概率密度函數(shù)為12max(, )11,0,( )( )( )0,0.zzX YXYeezFzFz F zz1212()1212max(, )(),0,( )0,0.zzzX Yeeezfzz返回 上頁 下頁 結(jié)束 二二. . 和的分布和的分布問題問題. 設(shè)相互獨立的連續(xù)型隨機(jī)變量X和Y的概率密度函數(shù)分別為( )Xfx與( ),Yfy求ZXY的概率密度函數(shù).由X和Y

5、的獨立性可知: 連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為( )( ).XYfx fy對于任意的實數(shù)z, 由分布函數(shù)的定義知( )ZF zP ZzP XYz( )( )d d .XYX Y zfx fyx y 返回 上頁 下頁 結(jié)束 將二重積分化為累次積分得( )( )( )ddz xZXYF zfxfyyx( )()d ,XYfx F zxx上式兩端關(guān)于z求導(dǎo)得( )( )()d ,ZXYfzfx fzxx由X和Y的對稱性可得( )()( )d .ZXYfzfzy fyy(1)(2)(1),(2)兩個公式稱為卷積公式, 可記為( )*( ),XYfxfy即( )*( )()( )d( )()d

6、 .XYXYXYfxfyfzy fyyfx fzx x返回 上頁 下頁 結(jié)束 例3. 設(shè)系統(tǒng)L是由兩個獨立工作的電子元件 和1L2L聯(lián)接而成(如下圖), 1L和2L的壽命分別為X和Y,它們的概率密度分別為11,0,( )0,0;xXexfxx22,0,( )0,0;xYeyfyy其中120,0,求系統(tǒng)的壽命Z的概率密度.1L2L(P73, 例22)返回 上頁 下頁 結(jié)束 解 系統(tǒng)壽命為,ZXY利用卷積公式, Z的概率密度函數(shù)為( )()( )d .ZXYfzfzy fyy當(dāng)且僅當(dāng) 和y0,0zy即y0時, 上述積分的被積函數(shù)不為零.因此, 當(dāng) 時,0z ( )0;Zfz 當(dāng) 時,0z 00(

7、)()( )d()( )d()( )dzZXYXYXYzfzfzy fyyfzy fyyfzy fyy返回 上頁 下頁 結(jié)束 00( )()( )d()( )d()( )dzZXYXYXYzfzfzy fyyfzy fyyfzy fyy12()120( )dzz yyZfzeey211 212.zzee綜上所述, 隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)為211 212,0,( )0,0.zzZeezf zz返回 上頁 下頁 結(jié)束 例4 設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布為YX 0 1 21/61/61/61/6 1/6 01/6 0 0012求 的分布律與分布函數(shù).ZXY(P77, 例24)返回 上頁 下

8、頁 結(jié)束 三三. . 幾個分布的再生性幾個分布的再生性例4 設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量,它們都服從N(0,1)分布, 求ZXY的概率密度.解 由假設(shè)知, 隨機(jī)變量X和Y的密度函數(shù)分別為221( )(R),2xXfxex221( )(R),2yYfyey于是,由卷積公式有( )( )()dZXYfzfx fzxx22()221d2xz xeex22241d2zzxeex返回 上頁 下頁 結(jié)束 22241d2zzxeex2ztx2241d2zteet2412ze241,2ze即(0,2).ZN二元正態(tài)隨機(jī)變量具有下面性質(zhì), 設(shè)(1) 22111222(,),(,),XNXN (2) 1X和2X相互獨立,則對于任意的實數(shù)a和b(至少有一個不為零), 有2222121212(,).aXbXN abab正態(tài)分布的再生性返回 上頁 下頁 結(jié)束 泊松分布的再生性設(shè)1122(),(),XX