1、對角線取值范圍問題（同三角形第三邊中線取值范圍）平行四邊形一邊長為10,一條對角線長為6,則它的另一條對角線長a的取值范圍為（）A.4<a<16B,14<a<26C,12<a<20D,8<a<32平行四邊形的判定：1:定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形2:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形3:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形4:對角線相互平分的四邊形是平行四邊形14 .平行四邊形的判定（一）定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形例題1:如圖，四邊形ABC比平行四邊形，連接AC.過點A作AHBC于點E;過點C作CF/AE交A

2、D于點F;求證：四邊形AECF為平行四邊形練習：1、已知：如圖，ABC是等邊三角形，DE分別是BA、CA的延長線上的點，且AD=AE連接ED并延長至ijF,使彳#EF=EC,連接AF、CF、BE.（1）求證：四邊形BCFD是平行四邊形；證明：（1）VABC為等邊三角形，且AE=AD,由題可知/AED=/ADE=ZEAD=60°EF/BC,又=EC=EF,.ECF為等邊三角形，即/EFC=/EDB=60°,CF/BD一四邊形BCFD為平行四邊形.2、如圖：平行四邊形ABCLfr,MN分別是ABCD的中點，AN與DM®交于點P,BN與CMf交于點Q試說明PQ與MNS相

3、平分。3、如圖，在四邊形ABCD中，AH、CGBE、FD分別是/A、/C、/B、/D的角平分線，且BE/FD,AH/CG證明四邊形ABCD為平行四邊形.15 .平行四邊形的判定（二）：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形例題1:如圖，在ABCM,延長CD到E,使D&CD連接BE交AD于點F,交AC于點Go求證：AF=DF【答案】解：（1）證明：如圖1,連接BDAE, 四邊形ABCD平行四邊形， .AB/CDAB=CD> .DE=CDAB/DEAB=DE，四邊形ABD既平行四邊形。，AF=DF。練習：1、如圖，已知平行四邊形ABCD過A作AMLBC于M,交BD于E,過C作CNLA

4、D于N,交BD于F,連結AF、CE（1） 求證：四邊形AECF為平行四邊形；【答案】（1）證明二四邊形ABC比平行四邊形（已知），BC/AD（平行四邊形的對邊相互平行）。又AM，BC（已知）,.AMLAD.CNLAD（已知）,，AM/CN.AE/CE又由平行得/ADEMCBD又AD=BC（平行四邊形的對邊相等）。在4ADE和4CBF中，/DAEWBCF=90,AD=CB/ADEWFBC.AD且ACBICASA,，AE=CF（全等三角形的對應邊相等）。四邊形AECF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）2、如圖：在口ABC葉，E,G,F,H分別是四條邊上的點，且AECF,BGDH試說

5、明：EF與GH相互平分.例題2:如圖，ABCffiADEtB是等邊三角形，點D在BC邊上，AB邊上有一點F,且BF=DC連接EF、EB.(1)求證：AB草AACD(2)求證：四邊形EFC北平行四邊形練習：1、如圖1,在4OAB中，/OAB=90,/AOB=30,OB=8.以OB為一邊，在OA陟卜作等邊三角形OBC,DOB的中點，連接AD并延長交OC于E.求點B的坐標.求證：四邊形ABCE1平行四邊形.如圖2,將圖1中的四邊形ABCOff疊，使點C與點A重合，折痕為FG,求OG勺長.【解析】(1)vZAOB=30,OB=8,AB=4,OA=43,B(小區4).(2);OB久等邊三角形,.OC=O

6、B=8.VD點為OB的中點,；OD=4.又;AD是RtOAB斗邊的中線， .AD=OB=OD, ./ODA=180-2X30°=120°,./EDO=60.又/EOD=60,.OEM等邊三角形，OE=4JE(0,4),CE=4,CE=ABRvCE/AB, 四邊形abceW四邊形.(3)ga=gc；.gA=gC.即oG+oAoc-ogIqe+K'Jp-og)2,.og=i.16.平行四邊形的判定(三)：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形例題1:如圖，點A是直線l外一點，在l上取兩點RC,分另1J以AC為圓心，BGAB長為半徑畫弧，兩弧交于點D,分別連接ARARCD,

7、則四邊形ABCDH定是1】A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形練習：1、如圖，點AB、C是坐標平面內不在同一直線上的三點，畫出以A、B、C三點為頂點的平行四邊形.例題2:如圖所示，試證明：四邊形PONMH平行四邊形.練習：1、在YABCM，分別以AD,BC為邊向內作等邊ADEffi等邊ABCF連接BE,DF.求證：四邊形BED笈平行四邊形.2、四邊形的四條邊長分別是a、b、c、d,其中a、c為對邊，且滿足，則這個四邊形一定是()A.平行四邊形B.兩組對角分別相等的四邊形C.對角線互相垂直的四邊形D.對角線相等的四邊形3、等邊八ABC中，點D在BC上，點E在AB上，且CD=BE以AD為邊作等邊

8、ADF,如圖.求證：四邊形CDFE是平行四邊形.4、如圖所示，以ABC的三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形ABRBCEACF,猜想：四邊形ADEF是什么四邊形，試證明你的結論.證明：四邊形ADEF是平行四邊形.連接EDEF,ABD.ABCBACF分別是等邊三角形，AB=BDBC=BE/DBA土EBC=60°.丁./DBE=/ABC.ABCADBE.同理可證ABCFEC,AB=EF,AC=DEvAB=ADAC=AF,AD=EEDE=AF.四邊形ADEF是平行四邊形17 .平行四邊形的判定(四)：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形例題1:已知A(2,3)B(-2,5),A、B點關于

9、原點的對稱點分別為C、D,依次連接A、B、C、D點，則四邊形ABC此什么四邊形？例題2、如圖，在平行四邊形ABCM,連接對角線BD,過AC兩點分別作AEBD于E點，CFBD于F點，求證：四邊形AEC皿平行四邊形練習:1、如圖是某市一公園的路面示意圖，其中，ABC虛平行四邊形，BEAC,DFAC,E、F是垂足，GH分別是BGAD的中點，連接EGGF、FH,HE為公園中小路，問小明從B地經E地，H地到F地，與小強從D地經F地，G地到E地，誰的路程遠？2、如圖所示，在YABCD43,E、F是對角線AC上兩點，且AF=CE,求證：四邊形BEDF是平行四邊形.3、如圖，在YABCD43,點MN是對角線A

10、C上的點，且AM=CN,DE=BF,求證：四邊形MFNE平行四邊形18 .坐標平行四邊形知識點總結：若A、RC為已知點，則求一點D與他們構成平行四邊形，則有三個點D1、D2、D3,則有D1=A+B-CD2=A+C-BD3=B+C-A(按照中點坐標公式和對角線相互平分性質)例題1、已知點A(-1,0),B(2,-1),D(0,1).請在直角坐標系中找一點C與A、BCD四點構成平行四邊形，則點C的坐標為-練習：1、若以A(,0),B(2,0),C(0,1)三點為頂點要畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在【】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、已知點D與點A(8,0),B(0,6),C

11、(a,-a)是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為.例題2、如圖，在平面直角坐標系中，已知RtAOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x軸上，并且OAOB的長分別是方程x27x120的兩根(OA<0B),動點P從點A開始在線段AO上以每秒l個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設點P、Q運動的時間為t秒.(1)求A、B兩點的坐標。(2)當t=2時，在坐標平面內，是否存在點M,使以A、P、QM為頂點的四邊形是平行四邊形*存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由練習:1、如圖BCx軸于C點，BA例于人點，B(3,4),

12、四邊形ABC加直線EF折疊，點A落在BC邊上的G處，E、F分別在ADAB上，且AF=2.(1)求G點坐標；(2)求直線EF解析式；(3)點N在x軸上，直線EF上是否存在點M使以MN、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由19 .動點平行四邊形例題1:在四邊形ABCD中，AD/BC且AD>BC,BC=6cmP、Q分別從A、C同時出發，P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C出發向B運動，幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形？練習：1、如圖，在ABC中，AB=AC,射線AM/BC,點P從點A出發沿射線AM運動，同時點Q從點B出發沿射

13、線BC運動，設運動時間為t(s).(1)連接PQAQPC,當PQ經過AC的中點D時，求證：四邊形AQCP是平行四邊形；|一(2)若BC=6cm,點P速度為1cm/s，點Q的速度為4cm/s,填空：當t為s時，以A、Q、GP為頂點的四邊形是平行四邊形；(1)證明：:D為AC中點，AD=CDvAM/BC,丁./PAC=/ACB,在ADP和CDQ中，/PAD=/DCQAD=CD/ADP=/CDQ.ADPzXCDQ(ASA),PD=DQ又=AD=CD一四邊形AQCP是平行四邊形；(2)當Q在線段BC上，AP=QC時，以A、QC、P為頂點的四邊形是平行四邊形，|由題意得：t=6-4t,解得：t=,當Q在

14、C的右邊時，AP=QC時，以A、。C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，由題意得：t=4t-6,解得：t=2,故答案為：或2;2、如圖，/ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點(不與點B重合)，連接AD,彳BEXAD),垂足為E,連接CE,過點E作EFLCE,交BD于F.(1)求證：BF=FD;(2)點D在運動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能，請說明理由；如能，求出此時/A的度數.解：(1)在RtAEB中，.AC=BC-1二CE=AB2CB=CE丁./CEB=/CBEvZCEF=/CBF=90°,丁./BEF=/EBF,EF=BF.vZBEF+ZF

15、ED=90°,/EBD+ZEDB=90°,丁./FED=/EDF,vEF=FD.BF=FD.(2)能.理由如下：若四邊形ACFE為平行四邊形，貝UAC/EF,AC=EF,BC=BE.BA=BD/A=45°.當ZA=450時四邊形ACFE為平行四邊形.3、將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺(ABC的長直角邊與含450角的三角尺(ACI)的斜邊恰好重合.已知A五2<3,P是AC上的一個動點.(1)當點P運動到/ABC的平分線上時，連接DP求DP的長；(2)當點P在運動過程中出現PD=BC時，求此時/PDA勺度數；(3)當點P運動到什么位置時，以D

16、,P,B,Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上？求出此時UDPBQ勺面積.34、直線y-x6與坐標軸分別父與點A、B兩點，點P、Q同時從O點出發，4同時到達A點，運動停止。點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿O-B-A運動。(1)直接寫出A、B兩點的坐標；(2)設點Q的運動時間為t秒，OPQ勺面積為S,求出S與t之間的函數關系式。(3)當S翌時，求出點P的坐標，并直接寫出以點QP、Q為頂點的平行四邊形5的第四個頂點M的坐標。20.性質和判定綜合例題1、如圖E、F是四邊形ABCM對角線AC上的兩點，AF=CEDF=BEDF/BE求證：(1)/AF陰/CEB",(2)

17、四邊形ABC虛平行四邊形.解：(1)因為DF/BE,所以/AFD=/CEB又因為AF=CEDF=BE,所以AF陰/CEB(2)由(1)AAFtDCEB知AD=BC/DAF=/BCE,所以AD/BC,所以四邊形ABCD平行四邊形.例題2:如圖，在ABC中，ZACB=90°,D是BC的中點，DHBGC由DBF為鄰邊作平行四邊形BDEF又APBE（點P、E在直線AB的同側），如果BD1AB,那4么APBC的面積與ABC面積之比為【】A.1B.3C.1D.-4554【答案】a【考點】平行四邊形的判定和性質。【分析】過點P作PH/BC交AB于H,連接CHPF,PE .APBE:四邊形APE配平

18、行四邊形。.PEAB, 四邊形BDEF平行四邊形，.EFBD .EF/ARaP,E,F共線。設BD=a1.八-BD-AB,二PE=AB=4aPF=PE-EF=3a4vPH/BGHB(=SPBCo.PF/AB,二四邊形BFPH平行四邊形。.BH=PF=3a,/SahbcSaabc=BHAB=3a4a=3:4,Sapbc:Saabc=3:4。故選D。練習：1、如圖，ABC是等邊三角形，P是三角形內任一點，PDAB,PEBC,PF/AC,若ABC周長為12,求PD+PE+P的化來源：學綱綱Z&X&XaK2、圖3是某城EC±BGBA/DE,BD/AE,EF=FC甲、乙兩人同時從B站乘車到F站，甲乘1市部分街道示意圖，圖中AF/BC,路車，路線是B-A一E一F,乙乘2路車，路線是B-AC-F.假設兩車速度相同，途中耽誤時間相同，那么誰先到達F點，？請說明理由.來源:Z§xx§E3、已知：如圖，四邊形ABC北平行四邊形，DEY(1)求證：乙AEMCFN21世紀教育網(2)求證：四邊形BMDN!平行四邊形.【答案】證明：(1)二.四邊形ABCD是平行四邊形,.AB/DC,AD/BG/E=/F,/DAB=BCD/EAM=FCNXvAE=CFaAAEIWACFN(ASA。(