1、論文4事級數在近似計算中的應用謝文清江權霞(指導老師：陳引蘭)數學與統計學院1001班qQ摘要：形如Zan(xXo)n=a+ai(xXo)+a2(xx0f+an僅X0F+的函數n=0項級數稱為幕級數，幕級數可以看成是一個“無限次多項式”，它無論在理論上還是實踐上都是一個有力的工具.本文主要運用幕級數的展開式，對無理數n,e,ln2等，利用計算機相關軟件，進行近似計算.關鍵詞：幕級數、近似計算1 .理論依據以某個幕級數展開式為基礎，然后把所需要求的量表達成級數的和，并依據要求，選取部分和作這個量的近似值，誤差用余項rn(x)估計.我們先給出一些基本初等函數的幕級數展開式及它們對應的余項x/x=1

2、x2!3!n2xnx+十n!rn=-(n1)!(n2)!cdarctanxn4n12n_J(-1)xrnn2n用(-1)x2n12n-1n12n：；3(-1)x35n12nJxx(-1)x3!5!2n-1QOarcsinx=x+vn=12n3(2n-1)!2n1x2n1(2n1)!rn二(2n)!x2n1*3(2n3)!2n3x+(2n2)!2n3(2n4)!nJn2ln(1+x)=(-1)x=x-2n53x+.+n4n23nn1n1n2(-1)x(-1)xn1n2n1n(-1)x1-In2 .n的近似計算本節利用兩個函數的幕級數展開式來近似計算n,在相同的誤差條件下,取不同的x,若取級數的前

3、n項和作為冗的近似值，對應的n值不一樣，這就為n-12n-1八xn12n-1幕級數在近似計算中的應用提供了很大的空間由函數y=arctanx的幕級數展開式知arctanx若取x=1時,二11一二1一(-1)n-2n-1(D2n1rn4,2n+1為了保證誤差不超過10-,就要取級數（1）的前20000項進行計算，計算量之大可以想象.它的收斂速度很慢.對于arctanx展開式而言，當|x越小收斂越快，恰恰在端點x=1收斂最慢.以下取的求和的級數相應它的收斂速度要稍快現若取x=帶入展開式得311,1-一一(=6、,33.3)31/15n11/12n-(T(-1)(T5、32n-1、311111/八n

4、1(T)353732n-1若取級數的前n項和作為n的近似值，其誤差為rn111111,(、nJ1=2.3(1(-1)_33532733;2W一(2n+1)3n2n-13n卜面實現（2）式的計算，若要求誤差小于104（計算冗的程序見附錄1）當n=8時,23工=9:101939真二2,3(1-131111111II*+I+35327331537)=3.14167現取,顯見0口,t己=三，而4411tanP=tan(a)=所以P=arctan一433二11=arctan一arctan一1111113213=4(一r一二23252n-1等式的右端是一個交錯級數且是收斂的，實際計算時，我們只能使用有限項

5、。如果取級數前n項之和作為n的近似值11c即二4(1+(-1)35525mu13313卜面實現（3）的計算，若要求誤差小于10”（計算冗的程序見附錄2）當n=7時,11111二=4(-t5-2323525111111n111335.(-1)-13)=3.141561323333535133對于y=arctanx,誤差一樣（如要求誤差小于1Q-）,取不同的x,對應部分和的項數n與近似計算的n值如下表x1機312n2QQQQ873.141673.141561對于arcsinx的展開式而百，取x=-二1(2n-1)!1二一十匚62n3(2n)!2n17!TZ798!92=1：二1。622!3234!

6、525!57=3.1411556!727卜面實現（4）的計算，若要求誤差小于1Q*（計算兀的程序見附錄3）綜上，知當誤差確定時，對相同的幕級數展開式，x的取值不同，所取部分和的項數不同，近似計算n的值也不同，對不同的幕級數展開式結果亦然.當然,當誤差改變時，我們同樣可以利用幕級數展開式估算出n的值，其精確度更高.3 .數e的近似計算以ex的幕級數展開式為基礎進行討論n23nex=1xn=Qn!2!3!n!-r,11當x=1時，e=1+1+2!n!11rn=e-(1-1.)2!n!111=+,，(n1)!(n2)!(n3)!(n2)(n3),)11)一(1(n1)!(n2)1011、1:(1-2

7、)(n1)!n1(n1)n!n一一.一111所以取11作為近似值，則誤差為.2!n!n!n111例如：精確到、，則需要rn1=n=10(見附錄4)10n!n10111.e=112.7182818.2!3!10!擴廣：利用幕級數推導e是無理數.1xn11xnI0：e-(11-)qe=-=11pn-!-n=n!n(111二11-2!)kq2!n!n!nq2!n!等式左邊是一個整數，右端第一項是整數，而k是小數；即右端不是整數，矛盾.故e是無理數.4 .對數的計算利用對數的幕級數展開式，作對數的近似計算。根據對數的特征，只要計算出正整數的特征，那么由對數的運算，其它有理數的對數也就知道了以ln(1+

8、x)的麥克勞林級數作為出發點qQln(1+x)=n1n1n(-1)x3n_1nx(-1)x3n.1111當x=1時，ln2=1+,.+(1)-+234n當取前n項作為其近似值，其誤差Rn=ln2-(1-1.11.(-1)nxn1):.234nn1如要精確到10”就要截取一萬項來計算，另外上面的展開式的收斂域為-1x1,這就不能直接用它來計算其它整數的對數卜面用一個收斂較快的幕級數來計算ln21，x一.一.利用ln二的幕級數展開式1-x23xxln(1-x)=-x-231x.ln=ln(1x)一ln(1一x)=2(x1-x2n-1_1xI_1.令=2,即x=-市入(5),有1-x3111ln2=

9、2(3733335351.)(2n-1)32n，估計余項如下11=2(+)，(2n+1)32n+1(2n+3)32n+3一21,11/c八c2n+1(1+c2+c2+)=”小八fn-1(2n+1)3234(2n+1)3如要精確到10;即使rn1e-4s=(-1)A(n-1)*2*3A(1/2)/(2*n-1)*3A(n-1)+s;n=n+1;ends,n程序所得結果為s=3.14167431n=8即為使計算結果精確到小數后第四位，只需求對應級數前7項的和利用Matlab軟件算得7(-1)nT2、32-n=1加一13n一1symsksymsum(-1)A(k-1)*xA(2*k-1)/(2*k-

10、1),k,1,8)ans=x-1/3*xA3+1/5*xA5-1/7*xA7+1/9*xA9-1/11*xA11+1/13*xA13-1/15*xA15,1一，當x=一產時J3symskf=6*(-1)A(k-1)*(1/sqrt(3)A(2*k-1)/(2*k-1)symsum(f,k,1,7)結果為ans=3.141674312. s=0;n=1;ps=pi;whileabs(s-ps)1e-4s=4*(-1)A(n-1)/(2*n-1)*1/2A(2*n-1)+1/3A(2*n-1)+s;n=n+1;ends,n計算結果為s=3.14156158n=73. s=3;n=1;ps=pi;whileabs(s-ps)1e-4s=(2*n-1)!/(2*n)!*(2*n+1)*2A(2*n+1)+s;n=n+1;ends,n計算結果為s=3.14115n=44. ff=sym(n*n!=10A7);solve(ff,n)ans=10101先算、1k=1k!symsknsymsum(1/sym(k!),k,1,10)ans=1.7182818101則e=1+x=2.7182818k=1k!5.ff=sym(4*(2*n+1)*3A(2*n-1)=10A4);solve(ff,n)ans=s