1、常見不等式恒成立問題的幾種求解策略作者:日期:常見不等式恒成立問題的幾種求解策略不等式包成立問題是近幾年高考以及各種考試中經常出現，它綜合考查函數、方程和不等式的主要內容，并且與函數的最值、方程的解和參數的取值范圍緊密相連，本文結合解題教學實踐舉例說明幾種常見不等式包成立問題的求解策略，以拋磚引玉。1變量轉換策略例1已知對于任意的aC-1,1,函數f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0恒成立，求x的取值范圍.解析本題按常規思路是分a=0時f(x)是一次函數，aw。 時是二次函數兩種情況討論， 不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a看成常參數，我們可以通過變量轉換，把a

2、看成變量，x看成常參數，這就轉化一次函數問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在aC-1,1時，g。恒成立，則g：;一,得3汨x3而.點評對于含有兩個參數，且已知一參數的取值范圍，可以通過變量轉換，構造以該參數為自變量的函數，利用函數圖象求另一參數的取值范圍。2零點分布策略ax3a,若乂2,2,f(x)0恒成立，求a的取值范圍.f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區間的左側、零點在區間00a2a2的右側三種情況，即A0放2或2，即a的取值范圍為-7,2.f(2)0f(2)0f(2)0f(2)0點評對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于零的問題，

3、可以考慮函數的零點分布情況，要求對應閉區間上函數圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.3函數最值策略例3已知f(x)x2ax3a,若乂2,2,f(x)2恒成立，求a的取值范圍.解析本題可以化歸為求函數f(x)在閉區間上的最值問題，只要對于任意x2,2,f(x)min2.若例2已知f(x)x2解析本題可以考慮-22f(x)minf(2)73a2對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于或小于等于常數問題，可以求函數最值的方法，4變量分離策略值范圍.ymax2,k的取值范圍是k2.當45,即x1時ymax2，_,max_t4516點評本題通過變量分離，將不等式包成立問題轉化為求函數的最值問題，本題構造

4、的函數求最值對學生來說有些難度， 但通過換元后巧妙地轉化為對勾函數”， 從而求得最值.變式題中構造的函數通過換元后轉化為上次函數型”，從而求得最值.本題也可以用零點分布策略和函數最值策略求解5數形結合策略x2,2,f(x)2恒成立2,2,f(x)mn2a或2f(x)minf(a)3a2-g2或222f(x)minf(2),即a的取值范圍為5,2216.例5設函數f(x)axx24x,g(x)axa,若恒有f(x)g(x)成立試求實數a的取值范圍.Xx24xax2a,令yixx24x，y2ax2a(2可化為(x2)2yi24(0 x4,yi0),它表示以(2,0)為圓心，2為半徑的上半圓；表示經

5、過定點(-2,0),以a為斜率的直線，要使f(x)g(x)包成立，只需所表示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如圖所示).當直線與半圓相切時就有,由圖可知，要使f(x)g(x)包成立，實數a的3取值范圍是a點評本題通過對已知不等式變形處理后， 挖掘不等式兩邊式子的幾何意義，通過構造函數，運用數形結合的思想來求參數的取值范圍，不僅能使問題變得直觀，同時也起到了化繁為簡的效果.6消元轉化策略例6已知f(x)是定義在卜1,1上的奇函數，且f(1)=1，若m,n1,1,mn0時m)f0,若mnf(x)t22at1對于所有的x1,1,a1,1恒成立，求實數t的取值范圍.解析本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數， 故f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1， 則f(x)t22at1對于所有的x1,1,a1,1恒成立1t22at1對于所有的a1,1恒成立，即2tat20對于所有的a1,1恒成立，令g(a)2tat2,只要g(0t2或t2或t0.g(1)0點評對于含有兩個以上變量的不等式包成立問題，可以根據題意依次進行消元轉化，從而轉化為只含有兩變量的不等式問題，使問題得到解決.以上介紹的幾種常見不等式包成立問題的求解策略，只是分別從某個側面