1、基本不等式基本不等式222,.ababa bR我們已 經 學 過 重 要 不等式為了方便同學們學習，下面將它以定理的形式給出 并給出證明.,等等號號成成立立時時且且僅僅當當當當那那么么如如果果定定理理baabbaRba 2122 .,成立等號時當且僅當所以時等號成立當且僅因為證明bababaabba 022221?探究你能從幾何的角度解釋定理 嗎:,1釋釋定定理理長長度度那那么么可可以以這這樣樣來來解解作作為為線線段段如如果果把把實實數數ba22,1.12,;,.ABCDCEFGabABCDABaCEFGEFbSSabBCGHJCDI正方形正方形以為例 如圖在正方形中在正方形中那么矩形和矩形的

2、長bbbaaABCDEFGKIJH211 .圖圖.,abSSbaJCDIBCGH2 矩形矩形它們的面積和是寬為均為的公共部分是正和和矩形矩形JCDIBCGH.,相等形其面積與正方等于它的邊長方形CEFGbJCGKbbbaaABCDEFGKIJH211 .圖圖,.,時當且僅當即的面積的和與正方形于正方形它不大影部分的面積陰中圖于等就和上述兩個矩形的面積baabbaCEFGABCDab 2222.,abbaCEFGABCD222 即面積和方形與正等于正方形積陰影部分面兩個正方形,所以兩個矩形成為以以下下的的就就可可以以得得到到作作簡簡單單的的恒恒等等變變形形將將定定理理,1基基本本不不等等式式).

3、(inequalitybasic .,.,等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當那那么么如如果果基基本本不不等等式式定定理理baabbaba 202 bababa 222因為證明.,abbaab 22所以.,等號成立時即當且僅當baba :,不等式可以表述為不等式可以表述為基本基本于是于是的的為為的的為為我們就稱我們就稱都是正數都是正數如果如果meangeometricbaabmeanarithmeticbababa2 算術平均算術平均幾何平均幾何平均.)(它們的幾何平均它們的幾何平均等于等于即大于或即大于或小于小于兩個正數的算術平均不兩個正數的算術平均不.不等式的幾何意義下面我們討論一下基本.

4、,.bBDaADABOCABABCRtCD 上的中線是斜邊上的高中斜邊是中在圖311AODBC311 .圖圖 .baABOC 2121,于是,090 ADCA因為.,BDCAAB 所以090,BDCDCDADDBCRtDCARt 從而于是AODBC311 .圖.abCDbCDCDa 所以即.,abbaCDOCOCDRtba 2所以大于直角邊斜邊中在時當.,abbaCDOCABABCRtba 2所以重合和高上的中線斜邊時當.:,小于斜邊上的高三角形斜邊上的中線不直角是基本不等式的幾何意義綜上所述可知?探究你能給出基本不等式的其他幾何解釋嗎 .,;,:的周長最短的周長最短正方形正方形在所有面相同的

5、矩形中在所有面相同的矩形中的面積最大的面積最大正方形正方形中中在所有周長相同的矩形在所有周長相同的矩形求證求證例例213 :,.,問問題題就就轉轉化化為為這這樣樣面面積積為為為為那那么么該該矩矩形形的的周周長長寬寬為為設設矩矩形形的的長長為為分分析析xyyxyx 2 ?,最大最大有什么關系時有什么關系時那么正數那么正數為定值為定值從而從而如果如果xyyxyxyx 21 ?,最小最小從而從而有什么關系時有什么關系時那么正數那么正數為定值為定值如果如果yxyxyxxy 22,.由于基本不等式恰好涉及兩個正數的和與積之間的數量關系 所以可以利用基本不等式證明.,yx 寬為設矩形的長為解 .,為定值即

6、設矩形周長為定值lyxl 221,xyyx 2根據基本不等式.xyl 4可得,162lxy 矩形的面積于是.,162lxy 取得最大值積面形時即當且僅當矩形是正方等號成立,時當且僅當yx .,Syxyx42值取得最小周長矩形是正方形時即當且僅當等號成立時當且僅當 .,為定值即設矩形面積為定值SxyS 2,xyyx 2根據基本不等式 ,Sxyyx442 矩形的周長;,:,取取得得最最大大值值它它們們的的積積時時則則當當且且僅僅當當是是定定值值如如果果它它們們的的和和對對兩兩個個正正實實數數下下面面結結論論從從基基本本不不等等式式可可以以得得到到一一般般地地PyxSyx .,取取得得最最小小值值它

7、它們們的的和和時時則則當當且且僅僅當當是是定定值值如如果果它它們們的的積積SyxP .利用基本不等式可以解決一些最大 小 值問題ABCDEFGHMNPQ ,1.14200.,4200,(),210,(),80.1,;2ABCDEFGHMNPQSADxSxx某居民小區要建一座八角形的休閑場所它的主體造型平面圖 圖是由兩個相同的矩形和構成的面積為平方米的十字型地域計劃在正方形上建一座花壇 造價為每平方米元 在四個相同的矩形上 圖中陰影部分 鋪花崗巖地坪 造價為每平方米元 再在四個空角 圖中四個三角形 上鋪草坪 造價每平方米元設總造價為 元長為 米 試建立 關于 的函數關系式當 為,.S何值時 最小 并求出這個最小值411 .圖圖411 .圖圖ABCDEFGHMNPQ ,200412 xyxyDQ則米設解.xxy42002 從而于是2228042104200yxyxS 22224200280420042104200 xxxxxx22400000420038000 xx 411 .圖圖ABCDEFGHMNPQ 2240000040002xx 由基