1、)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數線性微分方程的標準形式階常系數線性微分方程的標準形式二階常系數線性方程的標準形式二階常系數線性方程的標準形式)(xfqyypy 常系數線性常微分方程解的結構常系數線性常微分方程解的結構12211212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bkyxky xy xyxy xyx ：設設為為定定義義在在內內的的兩兩個個函函數數，如如果果存存在在非非零零常常數數, ,使使得得, ,則則稱稱線線性性相相關關，否否稱稱定定則則線線性性無無關關義義12)0(,( )ypyy xqyxy 設設是是方方程程的的兩兩

2、個個線線性性無無定定理理1 1關關的的解解，則則1122( )( )( )y xC y xC yx12,.CC是方程的通解，其中為任意常數是方程的通解，其中為任意常數二階常系數齊次線性方程解法02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(1) (1) 有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根1r2r,11xrey ,22xrey 兩個線性無關的特解兩個線性無關的特解齊次方程的通解為齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy 2(40)pq 特征根為特征根為 ，(2) (2) 有兩個相等的實根有兩個相等的實根2(40)pq 所以齊次方程的通解為所以齊次方程的通解

3、為;)(121xrexCCy ,11xrey ,221prr 一特解為一特解為特征根為特征根為另一特解另一特解;2xrxey (3) (3) 有一對共軛復根有一對共軛復根,1 jr ,2 jr 2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx方程的通解為方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復根復根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx )(xfqyypy 二階常系數非齊次線性方程，

4、二階常系數非齊次線性方程，對應齊次方程對應齊次方程, 0 qyypy通解結構通解結構*( )( )( ),y xY xyx 二階常系數非齊次線性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如如果果是是方方程程的的一一個個特特解解，是是方方程程對對應應的的齊齊次次方方程程的的通通解解，則則非非齊齊次次方方程程的的通通解解為為12( )( )y xyx定理定理如果與分別為方程如果與分別為方程12( ),( )ypyqyfxypyqyfx 和和Y的特解，是方程的特解，是方程, 0 qyypy的通解，則的通解，則*12( )( )( )( )y xY xyxyx 12( )( ).ypyqyfx

5、fx 是是方方程程的的通通解解常見類型常見類型( ),nP x( ),xnP x e 12(cossin)xeAxAx 難點難點：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數法待定系數法.1.( )nypyqyP x 設非齊方程特解為設非齊方程特解為*( )yQ x為多項式，為多項式，代入方程代入方程( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x1011( )0nnnnQ xa xaqxaxa 當當時時，( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x01,.naaa其中為待定系數其中為待定系數0 ,0qp當當時時， 可可設設12011( )nnnnQ xa xa xaxa x 0 ,

6、0qp當當時時， 方方程程通通解解可可由由( )nyP x .直接積分得到直接積分得到設非齊方程特解為設非齊方程特解為*( )xyQ x e 代入原方程代入原方程2( )(2)( )() ( )( )nQxp Q xpq Q xP x不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ( )( ),nQ xQx 可可設設是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ( )( ),nQ xxQx 可設可設*( );xnyQx e *( );xnyxQx e (2.)xnypyqyP x e 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp

7、 , 02 p 2( )( ),nQ xx Qx 可可設設綜上討論綜上討論*( ) ,kxnyx e Qx 設設 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k*2( ).xnyx Qx e 特別地特別地xAeqyypy 2*2,22xxxAepqAyxepAx e 不是特征方程的根不是特征方程的根是特征方程的單根是特征方程的單根是特征方程的重根是特征方程的重根.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對應齊次方程通解對應齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設設代入方程代入方程,

8、得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 設設,)(1ximkeQxy 利用歐拉公式利用歐拉公式,)()(xiexPqyypy 設設,)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(

9、xxRxxRexmmxk 次次多多項項式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是單根是單根不是根不是根 iik.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4ixeyy ,是單根是單根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例2 2.2cos的通解的通解求方程求方程

10、xxyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 設設代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取實部）（取實部）注意注意xAexAexx

11、sin,cos.)(的實部和虛部的實部和虛部分別是分別是xiAe .tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 用常數變易法求非齊方程通解用常數變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設設令令例例4 41212 ( )cos ( )sin( )sin( )cos ,ycxxcxxc xxc xx12 ( )cos ( )sin01cxxcxx（）12( )sin( )cos ,yc xxc xx 則于是,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxcy和y代入原方程得1212 ( )sin ( )co

12、s( )cos( )sin ,ycxxcxxc xxc xx 于是，原方程通解為于是，原方程通解為.tanseclncossincos21xxxxCxCy 12 ( )sin ( )costan(2)cxxcxxx由 （ 1） 和 （ 2） 得三、小結可可以以是是復復數數） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系數法待定系數法)只含上式一項解法只含上式一項解法：作輔助方程作輔助方程,求特解求特解, 取取特解的實部或虛部特解的實部或虛部, 得原非齊方程特解得原非齊方程特解.思考題思考題寫出微分