1、微分方程及其應用微分方程及其應用6.1 常微分方程的基本概念與分常微分方程的基本概念與分離變量法離變量法 6.2 一階線性微分方程一階線性微分方程 6.3 二階常系數線性微分方二階常系數線性微分方程程 6.4 常微分在經濟中應用常微分在經濟中應用 6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法常微分方程的基本概念與分離變量法 6.1.1 6.1.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念1. 1. 微分方程微分方程 含有未知函數的導數或微分的方程稱為微分含有未知函數的導數或微分的方程稱為微分方程。方程。 注：在微分方程中，如果未知函數是一元函數，注：在微分方程中，如果未知函數是一元函數，則方程稱為常則

2、方程稱為常 微分方程，簡稱微分方程。微分方程，簡稱微分方程。2. 2. 微分方程的階微分方程的階 微分方程中所出現的未知函數導數的最高階微分方程中所出現的未知函數導數的最高階數稱為微分方程的階數稱為微分方程的階. .22(1)dyx ydx如一階 5(2)cos40yyx五階(3)4130yyy二階2(4)20 xyyyx一階一般地，n 階微分方程的一般形式為： ,0nFx yyy， ， ，3. 微分方程的解、通解 （1若某函數代入微分方程后，能使該方程兩端恒等，則這個函 數為該微分方程的解。 如 y = x2 + 2是方程1的解, 顯然 y = x2 + C 也是方程1的解. （2如果微分方

3、程的解中所含獨立常數的個數等于微分方程的階 數，這樣的解稱為微分方程的通解. 如 y = x2 + C 是方程1的通解. 4微分方程的初始條件和特解 （1確定通解中任意常數值的附加條件叫做初始條件； 一般地 一階微分方程的初始條件為： 二階微分方程的初始條件為： 00 x xyy00001(x xyyxyy， ， 為給定值)01x xyy（2由初始條件確定了通解中任意常數后所得到的解，稱為微 分方程的特解。 如 y = x2 + 2是方程1的特解.211210?,2?yCxxyy 例函數是方程的解嗎 若是解 是通解 還是特解2122yxyCx解將及代入所給方程左端得22221221221 10

4、2CxCxCxCx 21.2yCx是所給方程的解212yCx又中含有一個任意常數C，而所給方程又是一階微分方程， 212yCx是所給方程的通解. 120021011xxxyC xC ex yxyyyy 例驗證是微分方程的通解,并求出滿足初始條件及的特解.12122,:xxxyC xC eyCC eyC e解將及代入所給方程左端得 2121210 xxxx C ex CC eC xC e1210 xyC xC ex yxyy是微分方程的解12xyC xC e又中含有兩個任意常數，而所給方程又是二階的， 12xyC xC e是所給方程的通解.2011;xyC 將代入通解中得12121011,2,x

5、xyyCC eCCC將代入中得,則2.xyxe于是所求特解為6.1.2 6.1.2 分離變量法分離變量法 1 1定義定義 形如形如 (1)dyf x g ydx的方程稱為可分離變量的方程. 特點 - 等式右端可以分解成兩個函數之積，其中一個只是x 的函數，另一個只是y的函數 ygxfdxdy2解法 設 10dyf x dxg yg y分離變量得當g(y)0時，兩端積分得通解 1dyfx dxg y 11220.Mx Ny dxMx Ny dy(2)方程也是變量可分離的方程注 (1)當g(y)=0時，設其根為y =，則y =也是原方程的解； 2112120,0NyMxdydxNyMxNyMx 事

6、實上3dyxdxy 例求微分方程的通解.解 分離變量，得 ydy = -xdx , 2211122yxC 兩邊積分得2212.xyCCC即為所給方程的通解212141.1xxydyydxyx 例求方程滿足初始條件的特解2211yxdydxyx 解分離變量,得22111,ln 1ln 1ln222yxC 兩端積分 得2211xyC即原方程的通解為11,4,xyC由得22,114.xy因此 滿足初始條件的特解為 說明：在解微分方程時，如果得到一個含對數的等式，為了利用對數的性質將結果進一步化簡，可將任意常數寫成klnC的形式，k的值可根據實際情況來確定，如例2中取k=1/2. 例5 設降落傘從跳傘

7、臺下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘 離開塔頂(t = 0)時的速度為零。求降落傘下落速度與時間的函 數關系.解 設 降落傘下落速度為v(t)時傘所受空氣阻力為-k （負號表示阻力與運動方向相反k為常數） 傘在下降過程中還受重力P = mg作用， 由牛頓第二定律得 00tdvmmgkvvdt且于是所給問題歸結為求解初值問題 00tdvmmgkvdtvdvdtmgkvm分離變量得,dvdtmgkvm兩邊積分得11lntmgkvCkm11,ktkCmmgvCeCekk整理得00,mgmgCeCkk由初始條件得,即1ktmmgvek故所求特解為 由此可見，隨著t的增大，速度趨于常數mg/k，但不

8、會超過mg/k，這說明跳傘后，開始階段是加速運動，以后逐漸趨于勻速運動. 6.2 一階線性微分方程一階線性微分方程6.2.1 6.2.1 一階線性微分方程一階線性微分方程 1 1定義：定義： 形如形如 (1)dyP x yQ xdx 的方程，稱為一階線性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的連續函數, Q(x)稱為自由項特點： 方程中的未知函數y及導數 dydx都是一次的 2分類假設 Q(x)= 0, 即 0(2)dyP x ydx 稱為一階線性齊次微分方程若Q(x)0, 則方程(1)稱為一階線性非齊次微分方程yxyx如是非齊次方程，201dyxydxx是齊次方程，sinxyyx是非齊次方程

9、.3一階線性齊次方程的解法 0dyP x ydx 類型： 可分離變量的微分方程 1dyP x dxy 分離變量得 lnlnyP x dxC 兩邊積分得 3P x dxyCe即（ ）其中 C 為任意常數. 4一階線性非齊次方程的解法 用常數變易法 1dyP x yQ xdx設（） 在方程1所對應的齊次方程的通解的基礎上進行變易,假設方程1有如下形式的解： P x dxyC x e其中 Cx為待定函數 1P x dxP x dxC x eP xC x eQ x代入方程（）得 P x dxP x dxP x dxCx C x eC x eP xP xC x eQ x P x dxCxQ x e即 P

10、 x dxC xQ x eC于是方程(1)的通解為： 4P x dxP x dxyeQ x edxC（ ）（4式稱為一階線性非齊次方程1的通解公式上述求解方法稱為常數變易法 用常數變易法求一階線性非齊次方程的通解的一般步驟為：(1)先求出非齊次線性方程所對應的齊次方程的通解；(2)根據所求出的齊次方程的通解設出非齊次線性方程的解將所求 出的齊次方程的通解中的任意常數C改為待定函數C(x)即可；(3)將所設解帶入非齊次線性方程，解出C(x)，并寫出非齊次線性 方程的通解 ln1yxxyx 例求方程的通解.1lnyyxx解原方程可變形為 式對應的齊次方程為 10yyx 將方程分離變量得 dydxy

11、x兩邊積分得 lnlnlnyxC即 lnlnyCx所以齊次方程的通解為： yCx 將上述通解中的任意常數C換成待定函數C(x)，將其待入方程得 lnlnxxCxxCxx，則， 2ln1lnlnln2xC xdxx dxxCx將C(x)代入式 得原方程的通解： 2ln2xyxCx3221.1yyxx例求方程的通解 3211P xQ xxx 解，223111dxdxxxyexedxC由公式可得2321111xxdxCx221112xxC421112xC x例3在串聯電路中，設有電阻R，電感L和交流電動勢E = E0sint， 在時刻t = 0時接通電路，求電流i與時間t的關系E0,為常 數）解設任

12、一時刻t的電流為i 我們知道，電流在電阻R上產生一個電壓降uR = Ri， LdiuLdt由回路電壓定律知道，閉合電路中電動勢等于電壓降之和，即在電感L上產生的電壓降是 RLuuE0sindiRiLEwtdt亦即0sinEdiRiwtdtLL整理為 0sinERP tQ twtLL，式為一階非齊次線性方程的標準形式，其中 利用一階非齊次線性方程之求解公式得通解： 000222sinsinsincosRRdttLLRRttLLRtLEi teewtdtCLEeewtdtCLECeRwtwLwtRw L022200twLEiCRw L由初始條件得， 0222sincosRtLEi twLeRwtw

13、LwtRw L于是 1.nyf x型6.2.2 6.2.2 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 特點：方程y(n) = f(x)的右端僅含有自變量解法：將兩端分別積分一次，得到一個n-1階微分方程;再積分 一次，得到n-2階微分方程，連續積分n次，便可得到該 方程的通解 24.xyex 例求微分方程的通解解 將所給方程連續積分三次，得 2221,22xxxyex dxeC 23222112246xxxxyeC dxeCxC 3222421231146118242xxxyeCxCdxCexC xC xCC 2.yf xy，型特點：方程右端不含未知函數y解法：令y = t，則y= t，于是原

14、方程可化為以 t 為未知函 數的一階微分方程t= f(x ,t) 250.1yyx例求方程的通解解 令y= t，則y= t， 代入原方程得 21ttx 分離變量得 121dtdxtx兩邊積分得 2lnln1lntxC21tC x即21yC x 再積分得 32113yC xC3121113yCxCCC即例6 如圖，位于坐標原點的我艦向位于x軸上B(1,0)點處的敵艦發 射制導魚雷，魚雷始終對準敵艦設敵艦以常速v0沿平行于 y 軸的直線行駛，又設魚雷的速率為2v0，求魚雷的航行曲線方程 解 設魚雷的航行曲線方程為 y = y(x)， 在時刻，魚雷的坐標為P(x,y)，敵艦 的坐標為Q(1, v0t

15、) 因為魚雷始終對準敵艦，所以 01v tyyx 01v tyxy即20012xOPy dxv t又的長度為令y= p，方程可化為 21112x pp 00,00yy這是不顯含y的可降階微分方程,根據題意，初始條件為 分離變量可解得 211211xCpp從上面兩式消去v0t得： 201112xyxyy dx兩邊關于x求導得: 21112yxyyy即21112x yy211211xCyy即 1001yC將代入，得，12211yyx所以12221111yyxyy而1122111122yxx 所以132221113yxxC 積分得以 y(0)= 0代入，得 223C ，所以魚雷的航行曲線方程為： 1

16、322121133yxx 3. yfyy，型特點： 方程右端不含變量x yP y 解法： 令dPdP dydPyPdxdy dxdy 則從而將原方程化為一階微分方程： dPPfyPdy，240.yyy例求方程的通解 yP y 解令dPyPdy 則代入原方程得 20dPyPPdy當y0，P0時，分離變量得： dPdyPy兩端積分得： 1lnlnlnPyC12C xyC e當P 0時，則y = CC為任意常數）， 顯然，它已含在解 1210C xyC eC中 （）所以原方程的通解為： 12C xyC e6.3 二階常系數線性微分方程二階常系數線性微分方程 (1)ypyqyf x定義 形如 的方程，

17、稱為二階常系數線性微分方程其中p,q為常數 .0(2)ypyqy注 當f(x)0時，方程(1)稱為二階常系數非齊次線性微分方程； 當f(x)=0時，即 方程(2)稱為二階常系數齊次線性微分方程 6.3.1 二階常系數線性微分方程解的性質二階常系數線性微分方程解的性質1齊次線性方程解的結構齊次線性方程解的結構 定義：設y1 = y1(x)與y2 = y2(x)是定義在區間(a,b)內的函數，假如存在兩個不全為零的常數 k1 , k2，使得對于 (a,b) 內的任一x恒有k1 y1 + k2 y2 = 0成立，則稱y1與y2在 (a,b)內線性相關，否則稱為線性無關由定義知： y1與y2線性相關的

18、充分必要條件是 21,yxkxa byx21yy若不恒為常數，則y1與y2線性無關 22xxxxxeeeee如與線性無關；12.22xxxxeeee與線性相關定理1 （齊次線性方程解的疊加原理） 若y1與y2是齊次線性方程(2)的兩個解，則y = C1 y1+C2 y2也是(2)的解，且當與線性無關時，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解證 將y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得 1122112211221111222212000C yC yp C yC yq C yC yCypyqyCypyqyCC所以 y = C1 y1+C2 y2是方程(2)的解,又

19、 y1 與 y2線性無關， C1和C2是兩個獨立的任意常數, 即 y = C1 y1+C2 y2中所含獨立的任意常數的個數與方程(2)的階數一樣 , 所以 它又是方程(2)的通解.2非齊次線性方程解的結構 定理2 （非齊次線性方程解的結構） 若yp為非齊次線性方程(1)的某個特解，yc為方程(1)所對應的齊次線性方程(2)的通解，那么 y = yp+ yc為非齊次線性方程 (1)之通解證 將y = yp+ yc代入方程(1)的左端有 所以 yp+ yc 確為方程(1)的解 又 yc 中含有兩個獨立的任意常數， 所以 y = yp+ yc 中也含有兩獨立的任意常數， 故 y = yp+ yc 為

20、方程(1)的通解 (1)ypyqyfx設 0pcpcpcpppcccyyp yyq yyypyqyypyqyf xf x 1,ypyqyfx的解定理3 若y1為方程 y2為方程 2,ypyqyfx的解那么 y = y1 + y2 為方程 12(3)ypyqyfxfx的解.證： 將y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 121212yyp yyq yy 111222ypyqyypyqy 12fxfx 右端6.3.2 二階常系數齊次線性微分方程的求解方法二階常系數齊次線性微分方程的求解方法0(2)ypyqy設其中 p, q 為常數.令方程(2)的解為 rxye（r為待定常數） 代入方程(2)

21、得 20rxrxrxr epreqe0rxe 02qprr (4) 由此可見，只要r滿足方程(4)，函數 rxye就是方程(2)的解 定義 稱方程(4)為微分方程(2)的特征方程，方程(4)的兩個根 r1 , r2 稱為特征根 由于特征方程(4)的兩個根 2422, 1qppr只能有三種 不同情形，相應地，齊次方程(2)的通解也有三種不同的形式 當= p2 - 4q 0時，特征方程(4)有兩個不相等的實根r1 r2 由上面的討論知道 1212r xr xyeye與是方程(1)的兩個解 又y1與y2線性無關，因此方程(2)的通解為 :1212r xr xyC eC e 當= p2 - 4q =

22、0時，特征方程(4)有兩個相等實根 r = r1 = r2 我們只能得到方程(1)的一個解 rxey 1 221,rxyu xyu x yu x e設即對y2求導得 2222rxrxrxrxyu eureuru eyurur u e222,yyy將代入方程(2)，得022 quruupururuerx0rxe220urp urprq u又 r是特征方程的二重根， 220,0rprprq所以0 u因為u(x)不是常數，不妨取u(x)= x， 這樣得到方程2的另一個解 2,rxyxe從而方程2的通解為 1212rxrxrxyC eC xeCC x e 如果= p2 - 4q 0，即特征方程(4)有

23、一對共軛復根 12,0riri12(2).ixixyeye則和是方程的兩個復數形式的解為了求出方程(2)的兩個實數形式的解，利用歐拉公式 cossiniei將y1與y2分別改寫為 12cossincossinxixxxixxye eexixye eexix由定理1知， 1211221cos21sin2xxyyyexyyyexi仍是方程(2)的解，這時 21sintancosxxyexxexy不是常數， 1212(2).yC yC y所以是方程的通解1212cossincossinxxxyC exC exeCxCx即綜上，求二階常系數齊次線性微分方程通解的步驟如下： 第一步 寫出方程的特征方程2

24、0;rprq第二步 求出特征方程的兩個根r1及r2 ;第三步 根據特征根的不同情況，寫出微分方程的通解 具體如下： 21,rr21rr xrxreCeCy2121rrr21rxexCCy21ir2, 1通解形式xCxCeyxsincos21特征方程的根120.yyy例求微分方程的通解解 特征方程為 220rr特征根 121,2rr 因而，方程的通解為 212.xxyC eC e240.yyy例求微分方程的通解解 特征方程為 24410rr 特征根 1212rr 因而，方程的通解為 1212xyCC x e3480yyy例求微分方程的通解.解 特征方程為 2480rr特征根為 122222rir

25、i于是方程的通解為 212cos2sin2xye CxCx 00412901,1xxyyyyy例求方程滿足初始條件的特解.解 特征方程為 241290rr特征根 1232rr因此方程的通解為 3212xyCC x e01xy1由條件得,C =1,01,xy21由條件得, C =-2故所求特解為 3211.2xyx e三、二階常系數非齊次線性微分方程的求解方法 (1)ypyqyfx設其中p,q為常數，f(x)0 它對應的齊次方程為： 0(2)ypyqy 1.xmf xPx e型 (5)xmypyqyPx e其中為常數，Pm(x)為x的m次多項式，即 110mmmmmPxa xaxa設想方程(5)

26、有形如 ,xpyQ x e的解其中Q(x)是一 個待定多項式 xpyQ x e將代入方程(5)，整理后得到： 22mQxp Qxpq Q xpx (6) 當2+p+q 0時，設 1011mmmmmQ xb xb xbxbQx(7) 其中b0,b1,bm 為m+1個待定系數 將式(7)代入式(6)，比較等式兩邊同次冪的系數，得到以b0,b1,bm為未知數的m+1個線性方程的聯立方程組，從而求出b0,b1,bm，即確定Q(x)，于是可得方程(5)的一個特解為 xpyQ x e 當2+p+q=0且2+ p 0 時，(即為特征方程的單根) 那么式(6)成為 2mQp QPx由此可見，Q與Pm(x)同次

27、冪，故應設 mQ xxQx其中Q m(x)為m次待定多項式 將Q m(x)代入式(6) 確定Q m(x)的m+1個系數，從而得到方程(5)的一個特解： xpmyxQx e 當 2+p+q = 0 且2+ p =0 時，(即為特征方程的重根) 那么式(6)成為 mQPx 故應設 2mQ xx Qx將它代入式(6)， 確定Q m(x)的系數所以方程(5)的一個特解為 2xpmyx Qx e綜上所述，我們有如下結論：二階常系數非齊次線性微分方程 xmypyqyPx e (5) 具有形如 kxpmyx Qx e的特解，其中Q m(x)為m 次多項式，k的確定如下： 012k，不是特征根，是特征單根，是特征重根 2.cossinxlnf xeP xxPxx型根據歐拉公式及前面分析的結果可以推出下面的結論討論過程從略）： cossinxlnf xeP xxPxx如果 :ypyqyf x則微分方程有如下形式的特解 cossinkxpmmyx eQxxRxx 其中 Q m(x)與R m(x) 均為m次多項式(m = maxl，n)，其系數待定，而01iki，當不是特征根，當是特征根5.yy例求微分方程的一個特解解 原方程對應的齊次方程的特征方程為 20rr其特征根為 1201rr 00 xf xxe02xpyAxB xeAxBx令2,2ppyAxByA則代入原方程得 22AAxBx即22AxAB