1、分類計數原理與分步計數原理 從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路，問：從甲地到丁地有多少種走法？要回答這個問題，就要用到計數的兩個根本原理分類計數原理與分步計數原理導入新課甲地乙地丙地丁地 問題一：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有2班那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 由于一天中乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：325種 10.1分類計數原理與分步計數原理分類計數原理與分步計數原理1、分類計數原理、分類計數原理定義：假設計數的對象可以分成假設

2、干類，使得每兩類沒有公共定義：假設計數的對象可以分成假設干類，使得每兩類沒有公共元素，那么分別對每一類里的元素計數，然后把各類的元素數目元素，那么分別對每一類里的元素計數，然后把各類的元素數目相加，便得出所要計數的對象的總數。相加，便得出所要計數的對象的總數。加法原理即：做一件事情，完成它可以有即：做一件事情，完成它可以有n類方法類方法,在第一類方法中有在第一類方法中有m1種種不同的方法不同的方法,在第二類方法中有在第二類方法中有m2種不同的方法，種不同的方法，在第在第n類方法中有類方法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有種不同的方法。那么完成這件事共有 N=m1+m2+mn種不同的方法。

3、種不同的方法。解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個球一類是從裝白球的袋子里取一個球60個個40個個例例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球，個紅球，60個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求法？從中任取一個球，有多少種求法？例例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球，個紅球，60個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求法？從中任取一個球，有多少種求法？解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個球一類是從裝白球的袋子里取一個球60個個40個個例例1：兩個袋子里

4、分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球，個紅球，60個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求法？從中任取一個球，有多少種求法？解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個白球一類是從裝白球的袋子里取一個白球60個個40個個有有40種取法；種取法；另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球例例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球，個紅球，60個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求法？從中任取一個球，有多少種求法？解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個白

5、球一類是從裝白球的袋子里取一個白球40個個60個個有有40種取法；種取法；另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球有有60種取法。種取法。因此取法種數共有因此取法種數共有40+60=100種種例例1：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球，個紅球，60個白球，個白球，從中任取一個球，有多少種求法？從中任取一個球，有多少種求法？解：取一個球的方法可以分成兩類：解：取一個球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個白球一類是從裝白球的袋子里取一個白球有有40種取法；種取法；另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球另一類是從裝紅球的袋子里取一個紅球40個個60個個

6、 問題2：如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南 解： 從A村經 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3種方法, 第二步, 由B村去C村有3種方法, 所以 從A村經 B村去C村共有 3 2 = 6 種不同的方法。2、分步計數原理、分步計數原理定義：假設計數的對象可以分成假設干步驟來完成，并且對于定義：假設計數的對象可以分成假設干步驟來完成，并且對于 前面幾步的每一種完成方式，下一步有一樣數目的做法，前面幾步的每一種完成方式，下一步有一樣數目的做法，那么依次計算第一步的做法數目，第二步的做法數目，那么依次

7、計算第一步的做法數目，第二步的做法數目，,最后一步的做法數目，然后把各步的做法數目相乘，便最后一步的做法數目，然后把各步的做法數目相乘，便得出所要計數的對象的總數。得出所要計數的對象的總數。即：做一件事情，完成它需求分成即：做一件事情，完成它需求分成n個步驟，做第一步有個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，種不同的方法，做第，做第n步有步有mn種不同的方法，那么完成這件事有種不同的方法，那么完成這件事有 N=m1m2mn種不同的方法。種不同的方法。乘法原理乘法原理例例2： 兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球與個紅球與60個白球，個白

8、球，從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？60個個40個個解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步來完成：來完成：第一步從裝白球的袋子里取一個白球，第一步從裝白球的袋子里取一個白球，例例2： 兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有40個紅球與個紅球與60個白球，個白球，從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？從中取一個白球和一個紅球，有多少種取法？60個個40個個解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步解：取一個白球和一個紅球可以分成兩步來完成：來完成：第一步從裝白球的袋子里取一個白球，第一步從裝白球的袋子里取一個白球，有有6

9、0種取法；種取法；對于這每一種取法，第二步從裝紅球的對于這每一種取法，第二步從裝紅球的袋子里取一個紅球，都有袋子里取一個紅球，都有40種取法。種取法。因此取一個白球和一個紅球的方法共有因此取一個白球和一個紅球的方法共有60 40=2400種種思索：分類計數原理與分步計數原理的區別與聯絡？思索：分類計數原理與分步計數原理的區別與聯絡？聯絡：分類計數原理與分步計數原理都是涉及完成一件事的不聯絡：分類計數原理與分步計數原理都是涉及完成一件事的不 同方法的種數的問題同方法的種數的問題 。區別：分類計數原理與區別：分類計數原理與“分類有關，各種方法相互獨立，用分類有關，各種方法相互獨立，用 其中任何一種

10、方法都可以完成這件事；分步計數原理其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計數原理 與與“分步有關，分步有關， 各個步驟相互依存，只需各個步驟都各個步驟相互依存，只需各個步驟都 完成了，這件事才算完成完成了，這件事才算完成 。例例3： 某班級有男三好學生某班級有男三好學生5人人,女三好學生女三好學生4人。人。 (1)從中任選一人去領獎從中任選一人去領獎, 有多少種不同有多少種不同的選法？的選法？ (2) 從中任選男、女三好學生各一人去從中任選男、女三好學生各一人去參與座談會參與座談會,有多少種不同的選法？有多少種不同的選法？解解: (1) 完成從三好學生中任選一人去領獎這件事完成從三好學生中任選

11、一人去領獎這件事,共有共有2類方法類方法, 第一類方法第一類方法, 從男三好學生中任選一人從男三好學生中任選一人, 共有共有 m1 = 5 種種 不同的方法不同的方法; 第二類方法第二類方法, 從女三好學生中任選一人從女三好學生中任選一人, 共有共有 m2 = 4 種種不不 同的方法同的方法; 所以所以, 根據加法原理根據加法原理, 得到不同選法種數共有得到不同選法種數共有 N = 5 + 4 = 9 種。種。例例3： 某班級有男三好學生某班級有男三好學生5人人,女三好學生女三好學生4人。人。 (1)從中任選一人去領獎從中任選一人去領獎, 有多少種不同有多少種不同的選法？的選法？ (2) 從中

12、任選男、女三好學生各一人去從中任選男、女三好學生各一人去參與座談會參與座談會,有多少種不同的選法？有多少種不同的選法？解解: (2) 完成從三好學生中任選男、女各一人去參與座談完成從三好學生中任選男、女各一人去參與座談會這件事會這件事, 需分需分2步完成步完成, 第一步第一步, 選一名男三好學生選一名男三好學生,有有 m1 = 5 種方法種方法; 第二步第二步, 選一名女三好學生選一名女三好學生,有有 m2 = 4 種方法種方法; 所以所以, 不同選法種數共有不同選法種數共有 N = 5 4 = 20 種。種。點評點評: 解題的關鍵是從總體上看這件事情是解題的關鍵是從總體上看這件事情是“分類完

13、成分類完成,還是還是“分步完成，分步完成，“分類完成用分類完成用“加法原理，加法原理，“分分步完成用步完成用“乘法原理。乘法原理。 1 1、書架的第、書架的第1 1層放有層放有4 4本不同的計算機書，第本不同的計算機書，第2 2層放有層放有3 3本不同本不同 的文藝書，第的文藝書，第3 3層放有層放有2 2本不同的體育書本不同的體育書1 1從書架上任取從書架上任取1 1本書，有多少種不同的取法？本書，有多少種不同的取法？2 2從書架的第從書架的第1 1、2 2、3 3層各取層各取1 1本書，有多少種不同的取法？本書，有多少種不同的取法？ 4+3+2=9種種4 3 2=24種種2、由數字、由數字

14、1，2，3，4，5，6可以組成多少個四位數？可以組成多少個四位數？ 各位上的數字允許反復各位上的數字允許反復6 5 4 3=360個個3、一種號碼鎖有、一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從個撥號盤，每個撥號盤上有從0到到9共共10個個 數字，數字， 這這4個撥號盤可以組成多少個四位數字的號碼？個撥號盤可以組成多少個四位數字的號碼？ 10 10 10 10=104練習1 有些較復雜的問題往往不是單純的有些較復雜的問題往往不是單純的“分類分類“分步分步可以處理的，而要將可以處理的，而要將“分類分類“分步結合起來運分步結合起來運用普通是先用普通是先“分類，然后再在每一類中分類，然后再在每一類中“

15、分步，分步， 綜合運用分類計數原理和分步計數原理請看下面的綜合運用分類計數原理和分步計數原理請看下面的例題：例題： 留意留意例例4： 某城市號碼由某城市號碼由8位組成，其中從左邊算起的第位組成，其中從左邊算起的第1位只用位只用6或或8，其他，其他7位可以從前位可以從前10個自然數個自然數0，1，2，,9中恣意中恣意選取，允許數字反復。試問：該城市最多可裝多少門？選取，允許數字反復。試問：該城市最多可裝多少門？1 2 3 4 5 6 7 8第第1類類6解：裝一門需求指定一個解：裝一門需求指定一個號碼，由題意號碼可以號碼，由題意號碼可以分成兩類：分成兩類：第第1類號碼第類號碼第1位用位用6，確定其

16、他確定其他7位號碼可以分位號碼可以分7步完成。步完成。10 10 10 10 10 10 10因此第一類號碼共有因此第一類號碼共有10 10 10 10 10 10 10=1071 2 3 4 5 6 7 8第第2類類8同理，第同理，第2類號碼也有類號碼也有10 個，個，7因此，該城市所用的號碼共有因此，該城市所用的號碼共有10 +10 =2 10 個個從而最多可裝從而最多可裝2 10 門，即兩千萬門。門，即兩千萬門。7777 某中學的一幢某中學的一幢5層教學樓共有層教學樓共有3處樓梯，問從處樓梯，問從1樓到樓到 5樓樓共有多少共有多少 種不同的走法？種不同的走法？ 3 3 3 3=81種種練

17、習2 從甲地到乙地有從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有條路，從乙地到丁地有2條路；條路；從甲地到丙地有從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有條路，從丙地到丁地有4條路，條路，問：從甲地到丁地有多少種走法？問：從甲地到丁地有多少種走法？甲地乙地丙地丁地解：要完成從甲地到丁地這件事情有解：要完成從甲地到丁地這件事情有兩種道路可以走，即可以分為兩類：兩種道路可以走，即可以分為兩類：甲地甲地 乙地乙地 丁地丁地甲地甲地 丙地丙地 丁地丁地第一類又可以分為兩步，第一步有第一類又可以分為兩步，第一步有3種種方法，第二步有方法，第二步有2種方法，因此第一類種方法，因此第一類走法有走法有3 2=6種種同理第二類走法有同理第二類走法有3 4=12種種所以，從甲地到丁地有所以，從甲地到丁地有6+12=18種走法。種走法。小結請同窗們回答下面的問題請同窗們回答下面的問題 :1. 本節課學習了那些主要內容？本節課學習了那些主要內容？ 答答: 分類計數原理和分步計數原理。分類計數原理和分步計數原理。 2. 分類計數原理和分步計數原理的共同點是什么？不同點什么？分類計數原理和分步計數原理的共同點是什么？不同點什么？ 答答: 共同點是共同點是,