1、求值域方法函數值域的求法方法有好多,主要是題目不同,或者說稍微有一個數字出現問題,對我們來說,解題的思路可能就會出現非常大的區別.這里我主要弄幾個出來,大家一起看一下吧. 函數的值域取決于定義域和對應法則，求函數的值域要注意優先考慮定義域& 常用求值域方法（1）、直接觀察法：利用已有的基本函數的值域觀察直接得出所求函數的值域對于一些比較簡單的函數，如正比例,反比例,一次函數,指數函數,對數函數,等等,其值域可通過觀察直接得到。例1、求函數的值域。（««）例2、 求函數的值域。（««）答案：值域是：【同步練習1】函數的值域. （«

2、1;）解：（2）、配方法：二次函數或可轉化為形如類的函數的值域問題，均可用配方法，而后一情況要注意的范圍；配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。例1、求函數的值域。（««）例2、求函數的值域。（«««）解：將函數配方得： 由二次函數的性質可知：當x=1時，當時，故函數的值域是：4，8例3、求。（««««）（配方法、換元法）解：所以當時，有最小值-2。故所求函數值域為-2，+）。例4、設，求函數的值域解：，當時，函數取得最小值；當時，函數取得最大值，函數的值域為評注：配方法往往需結合函數圖象求值域例5、求

3、函數的值域。（««««）（配方法、換元法）解：=，所以，故所求函數值域為，+。例6、求函數的值域。（«««）（配方法）。【同步練習2】（«««）1、求二次函數（）的值域. （««）2、求函數的值域. （«««）3、求函數的最大值與最小值. （««««）4、求函數的最大值和最小值. （«««）5、已知，求函數的值域. （«««）6、若,試求的最大值。

4、（««««）最大值。（3）、換元法：（三角換元法）有時候為了溝通已知與未知的聯系，我們常常引進一個（幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質，發現解題方向，這就是換元法在求值域時，我們可以通過換元將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域例1、求的值域 解：令，則，所以函數值域為評注：利用引入的新變量，使原函數消去了根號，轉化成了關于的一元二次函數，使問題得以解決用換元法求函數值域時，必須確定新變量的取值范圍，它是新函數的定義域小結：【同步練習3】求函數的值域。解：由，得。令 得，于

5、是，因為，所以。故所求函數值域為-，。例2、求函數的值域。解：設，則。所以，故所求函數值域為。【同步練習4】求函數的值域。解：由，可得故可令當時，當時，故所求函數的值域為：小結：【同步練習5】1、求函數的值域. （««）2、求函數的值域。（««««）解：因即故可令故所求函數的值域為3、已知函數的值域為，求函數的值域. （«««）（4）、函數有界性法（方程法）直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。我們所說的單調性，最常用的就是三角函數的單調性。例1、求函數的值域。解：因為，所

6、以，則由于，所以，解得。故所函數的值域為-2，-。求函數 的值域 例2、求函數的值域。解：因為，所以，即，所以，令，得，由，解得，故所函數的值域為-2，。【同步練習6】求函數，的值域.（5）、數形結合法（函數的圖像）：對于一些函數（如二次函數、分段函數等）的求值域問題，我們可以借助形象直觀的函數圖象來觀察其函數值的變化情況，再有的放矢地通過函數解析式求函數最值，確定函數值域，用數形結合法，使運算過程大大簡化其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例1、 求函數的值域分析：求分段函數的值域可作出它的圖象

7、，則其函數值的整體變化情況就一目了然了，從而可以快速地求出其值域解：作圖象如圖所示，函數的最大值、最小值分別為和，即函數的值域為例2、 求函數的值域.解：原函數可化簡得：上式可以看成數軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數的值域為：例3、求函數的值域.解：原函數可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，故所求函數的值域為例4、求函數的值域.解：將函數變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即：由圖可知：（1）當點P在x軸上

8、且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構成，根據三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數的值域為：注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數式變形，使A、B兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側。如：例17的A，B兩點坐標分別為：（3，2），在x軸的同側；例18的A，B兩點坐標分別為（3，2），在x軸的同側。 【同步練習7】1、求函數的值域. 2、求函數的值域. 3、求函數的值域.4、求函數的最大值. （6）均值不等式法：利用基本關系兩個正數的均值不等式在應用時要注意“一正二定三相等”；利用基本不等

9、式，求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例1、求函數的值域解：原函數可化為 當且僅當時取等號，故值域為例3、 求函數的值域.解：原函數變形為：當且僅當即當時，等號成立故原函數的值域為：（7）、根判別式法：對于形如（，不同時為）的函數常采用此法，就是把函數轉化成關于的一元二次方程（二次項系數不為時），通過方程有實數根，從而根的判別式大于等于零，求得原函數的值域對二次函數或者分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡如:例1、求函數的值域 解：原函數化為關于的一元二次方程

10、（1）當時，解得；（2）當時，而故函數的值域為評注：在解此類題的過程中要注意討論二次項系數是否為零；使用此法須在或僅有個別值（個別值是指使分母為的值，處理方法為將它們代入方程求出相應的值，若在求出的值域中則應除去此值）不能取的情況下，否則不能使用，如求函數，的值域，則不能使用此方法例2、求函數的值域.解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時的函數的定義域由，得由，僅保證關于x的方程：在實數集R有實根，而不能確保其實根在區間0，2上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數的值域為。可以采取如下方法進一步確定原函數的值域。代入方程（1）解得：即當時，原函數的

11、值域為：注：由判別式法來判斷函數的值域時，若原函數的定義域不是實數集時，應綜合函數的定義域，將擴大的部分剔除。 【同步練習8】1、求函數的值域. 2、求函數的值域. 3、函數的定義域為，值域為，求的值.4、設函數 的值域為 ，求a,b . 5、已知函數y=f(x)= 的值域為1,3,求實數b,c的值. （8）、分離常數法：對于分子、分母同次的分式形式的函數求值域問題，因為分子分母都有變量，利用函數單調性確定其值域較困難，因此，我們可以采用湊配分子的方法，把函數分離成一個常數和一個分式和的形式，而此時的分式，只有分母上含有變量，進而可利用函數性質確定其值域例1、求函數的值域解：，函數的

12、值域為求的值域.解：（利用部分分式法）由 ，可得值域小結：已知分式函數，如果在其自然定義域（代數式自身對變量的要求）內，值域為；如果是條件定義域（對自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數化為，用復合函數法來求值域。（8）、倒數法有時，直接看不出函數的值域時，把它倒過來之后，你會發現另一番境況例1、求函數的值域.多種方法綜合運用總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。【例題綜合分析】例1、求下列函數的值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）；

13、 （8）； （9）解：（1）法一：公式法（略）法二：（配方法），的值域為【拓展】求函數，的值域解：（利用函數的單調性）函數在上單調增，當時，原函數有最小值為；當時，原函數有最大值為函數，的值域為（2）求復合函數的值域：設（），則原函數可化為又，故，的值域為（3）（法一）反函數法：的反函數為，其定義域為，原函數的值域為（法二）分離變量法：，函數的值域為（4）換元法（代數換元法）：設，則，原函數可化為，原函數值域為說明：總結型值域，變形：或（5）三角換元法：，設，則，原函數的值域為（6）數形結合法：，函數值域為（7）判別式法：恒成立，函數的定義域為由得： 當即時，即，當即時，時方程恒有實根，且，原

14、函數的值域為（8），當且僅當時，即時等號成立，原函數的值域為（9）（法一）方程法（函數有界性）：原函數可化為：，（其中），原函數的值域為（法二）數形結合法：可看作求點與圓上的點的連線的斜率的范圍，解略例2、若關于的方程有實數根，求實數的取值范圍（綜合）解：原方程可化為，令，則，又在區間上是減函數，即，故實數的取值范圍為：例3、 求函數的值域。（換元法、不等式法）解：令，則（1）當時，當且僅當t=1，即時取等號，所以（2）當t=0時，y=0。綜上所述，函數的值域為：注：先換元，后用不等式法 【拓展練習】（共11題，附答案）一、選擇題1、下列函數中，值域是（0，+）的函數是A B C D

15、2、已知（是常數），在上有最大值3，那么在上的最小值是A B C D 3、已知函數在區間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是A、 1，+） B、0，2 C、（-，2 D、1，24、（04年天津卷.文6理5）若函數在區間上的最大值是最小值的3倍，則a= A. B. C. D. 5、（04年湖北卷.理7）函數上的最大值與最小值之和為a,則a的值為（A） （B） （C）2 （D）46、若，則的最小值是_的最大值是_7、已知函數的值域為R，則實數的取值范圍是_8、下列函數的值域分別為：（1） （2） （3） （4） .（1） （2） （3） （4）9、已知函數的值域為，求實數的值。10、已知

16、二次函數滿足條件：且方程 有等根， 求的解析式； 是否存在實數，使得的定義域為，值域為。11、已知函數（1） 當時，求函數的最小值 ；（2） 若對任意，恒成立，試求實數的取值范圍。答案：同步練習 函數的最值與值域15、DDDAB 6、；7、0,1 8(1)(-1,1) (2) (3)R (4) 9、 10(1) (2) 9(1) (3)1、函數的值域為（分離常數法）2、若函數在上的最大值與最小值之差為2，則（函數單調性法）【拓展練習】（««««）一、選擇題1、函數y=x2+ (x)的值域是( )（函數單調性法）A.(,B.,+C.,+D.(,2、函數y=

17、x+的值域是( )（換元法）（配方法）A.(,1B.(,1D.1,+1、函數f(x)ax+loga(x+1)在0,1上的最大值和最小值之和為a,則a的值為( )（««««）A. B. 2、函數ylog2x+logx(2x)的值域是( ) （««««）A.(-,-1 B.3,+) C.-1,3 D.(-,-13,+)3、已知f(x)是奇函數,且當x0時,f(x)x2+3x+2.若當x1,3時,nf(x)m恒成立,則m-n的最小值為( )A. B.2 C. D.4、把長為12 cm的細鐵絲截成兩段,各自圍成一個正三角形

18、,那么這兩個正三角形面積之和的最小值是( )A. cm2 B.4 cm2 C. cm2 D. cm25、在區間,3上,函數f(x)x2+bx+c與函數同時取到相同的最小值,則函數f(x)在區間,3上的最大值為( ) .6 C 6、若方程x2+ax+b0有不小于2的實根,則a2+b2的最小值為( ) B. C. D.7、函數的最小值為( ) .171 C 8、設a1,函數f(x)logax在區間a,2a上的最大值與最小值之差為,則a等于( )A. B.2 C. 9、設a、bR,a2+2b26,則a+b的最小值是( )A. B. D.10、若動點(x,y)在曲線(b0)上變化,則x2+2y的最大值

19、為( )A. B. C. 11、設a,bR,記maxa,b函數f(x)max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是_.12、規定記號“”表示一種運算,即,a、bR+.若1k3,則函數f(x)kx的值域是_.13、已知函數f(x)2+log3x,x1,9,則函數yf(x)2+f(x2)的值域為_.14、若變量x和y滿足條件則z2x+y的最小值為_;的取值范圍是_.15、求下列函數的值域:（««）(1)yx2-4x+6,x1,5);(2);(3).16、(2009山東煙臺高三模塊檢測,20)設函數(a,bR),在其圖象上一點P(x,y)處的切線的斜率記為f(x).(1)若方程

20、f(x)0有兩個實根分別為-2和4,求f(x)的表達式;(2)若g(x)在區間-1,3上是單調遞減函數,求a2+b2的最小值.【答案】1、解析:f(x)ax+loga(x+1)是單調遞增(減)函數原因是yax與yloga(x+1)單調性相同,且在0,1上的最值分別在兩端點處取得,最值之和為f(0)+f(1)a0+loga1+a+loga2a,loga2+10. 答案:B2、解析:ylog2x+logx(2x).,(-,-13,+).故選D.3、解析:設x0,則-x0,f(x)-f(-x)-(-x)2+3(-x)+2-x2+3x-2.在1,3上,當時f(x)max,當x3時f(x)min-2.m

21、且n-2.故m-n. 答案:A4、解析:設其中一段長為3x,則另一段為12-3x,則所折成的正三角形的邊長分別為x,4-x,它們的面積分別為,則它們的面積之和為,可見當x2時,兩個正三角形面積之和的最小值為 cm2. 答案:D5、解析:,當且僅當x2時,g(x)min3,f(x)(x-2)2+3.在區間,3上,f(x)maxf(3)4.故選D.6、解析:將方程x2+ax+b0看作以(a,b)為動點的直線l:xa+b+x20的方程,則a2+b2的幾何意義為l上的點(a,b)到原點O(0,0)的距離的平方,由點到直線的距離d的最小性知a2+b2d2(x2),令ux2+1,易知(u5)在5,+)上單

22、調遞增,則f(u)f(5),a2+b2的最小值為.故選B.7、解析:f(x)|x-1|+|x-2|+|x-9|+|x-10|+|x-11|+|x-18|+|x-19|,由|a-b|a|+|b|(當且僅當a·b0時取等號),得|x-1|+|x-19|x-1-x+19|18,|x-2|+|x-18|x-2-x+18|16,|x-9|+|x-11|x-9-x+11|2,|x-10|0.上面各式當x10時同時取等號,f(x)最小值為18+16+2+0. 答案:C8、解:由a1知f(x)為增函數,所以loga2a-logaa,即loga2,解得a4.所以選D.9、解析:,故令,.a+b的最小值

23、為-3. 答案:C10、解析:令x2cos,ybsin,則x2+2y4cos2+2bsin-4sin2+2bsin+4-4()2+4+;當1即0b4時,x2+2y取最大值,此時;當即b4時,x2+2y的最大值為2b,此時sin1.故選A.11、解析:如右圖所示,函數ymax|x+1|,|x-2|的圖象為圖中實線部分,max|x+1|,|x-2|的最小值為. 答案:12、解析:由題意,解得k1,.而在0,+)上遞增,f(x)1. 答案:1,+)13、解析:f(x)2+log3x,x1,9,yf(x)2+f(x2)的定義域為解得1x3,即定義域為1,3.0log3x1.又yf(x)2+f(x2)(

24、2+log3x)2+2+log3x2(log3x)2+6log3x+6(log3x+3)2-3,0log3x1,6y13.故函數的值域為6,13. 答案:6,1314、解析:如圖作出可行域,易知將直線DE:2x+y0平移至點A(2,1)時目標函數z2x+y取得最小值,即zmin2×2+15,表示可行域內點與原點連線的斜率,由圖形知,直線從GH繞原點逆時針方向轉動到AB位置,斜率變得越來越大,故-1kGHkAB. 答案:5 (-1,15、解:(1)yx2-4x+6(x-2)2+2,x1,5),由圖象知函數的值域為y|2y11.(2) .0,y.函數的值域為yR|y.(3)令,則xt2+

25、1(t0),y2(t2+1)-t2t2-t+22()2+.t0,y.函數的值域是,+).16、解:(1)根據導數的幾何意義知f(x)g(x)x2+ax-b,由已知-2、4是方程x2+ax-b0的兩個實數,由韋達定理,f(x)x2-2x-8.(2)g(x)在區間-1,3上是單調減函數,在-1,3區間上恒有f(x)g(x)x2+ax-b0,即f(x)x2+ax-b0在-1,3上恒成立,這只需滿足即可,也即而a2+b2可視為平面區域內的點到原點距離的平方,其中點(-2,3)距離原點最近,當時,a2+b2有最小值13.【拓展練習】1、函數的值域是（ ）（«««）A-1，1

26、B-1，1）C（-1，1D（-1，1）2、若函數的定義域和值域都是，則的值為（ ）（««««）A3B4C5D63、已知定義在閉區間0,a上的函數y=x2-2x+3，若y的最大值是3，最小值是2，則a的取值范圍是 . （«««）5、函數y=x2-2x+a在0,3上的最小值是4，則a= ；若最大值是4，則a= .6、已知函數的值域分別是集合P、Q，則（ ）（«««）（根判別法）ApQBP=QCPQD以上答案都不對7、函數的值域是（ ）（«««）（配方法）A0，2B1，2

27、C2，2D，8、若函數的定義域是( )A B C D3,+9、求下列函數的值域： y=|x+5|+|x-6| 10、設函數. （）若定義域限制為0，3，求的值域； （）若定義域限制為時，的值域為，求a的值.11、若函數的值域為2，2，求a的值.一、選擇題1若函數y2x的定義域是P1,2,3，則該函數的值域是()A2,4,6 B2,4,8C1,2，log32 D1,2，log232定義在R上的函數yf(x)的值域為a，b，則yf(x1)的值域為()Aa，b Ba1，b1Ca1，b1 D無法確定3函數y(x>0)的值域是()A(0，) B(0，)C(0， D，)4函數yx22x3在區間0，m

28、上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是()A1，) B0,2C(，2 D1,25若函數yf(x)的值域是，3，則函數F(x)f(x)的值域是()A，3 B2，C， D3，6(2009·海南/寧夏高考)用mina，b，c表示a，b，c三個數中的最小值設f(x)min2x，x2,10x(x0)，則f(x)的最大值為()A4 B5C6 D7二、填空題(每小題5分，共20分)7函數y的值域是y|y0或y4，則此函數的定義域為_8已知f(x)的值域是，g(x)f(x)，則yg(x)的值域是_9函數f(x)2的最小值為_10(2009·泉州質檢)在實數的運算法則中，我們補充定義一種新

29、運算“”如下：當ab時，aba；當a<b時，abb2；則函數f(x)(1x)·x(2x)，(x2,2)的最大值是_【答案】1、解析：由題意得，當x1時，2x2，當x2時，2x4，當x3時，2x8，即函數的值域為2,4,8，故應選B. 答案：B2、解析：函數yf(x1)的圖象是由函數yf(x)的圖象向左平移1個單位得到的，其值域不改變，其值域仍為a，b，故應選A. 答案：A3、解析：由y(x>0)得0<y，因此該函數的值域是(0，選C.4、解析：x1時，y取最小值2；令y3，得x0或x2.故1m2. 答案：D5、解析：令tf(x)，則t，3，F(t)t，根據其圖象可知

30、：當t1時，F(x)minF(t)minF(1)2；當t3時，F(x)maxF(t)maxF(3)，故其值域為2， 答案：B6、解析：令2xx2x1<0(舍)或x22，令2x10x即2xx10，則2<x<3.則可知f(x)的大致圖象如圖2所示故f(x)6，即選C.答案：C7、解析：y2，即2或2，由2x<3，由23<x. 答案：，3)(3，8、解析：f(x)，則2f(x)，12f(x)，令t，則f(x)，g(x)t，即g(x)，對稱軸t1，g(x)在t，上單調遞增，g(x)，答案：，9、解析：由x4或x0.又x4，)時，f(x)單調遞增f(x)f(4)12；而x(，0時，f(x)單調遞減f(x)f(0)044.故最小值為12. 答案：1210、解析： 【拓展練習】一、選擇題1.函數yx22x的定義域為0,1,2,3，那么其值域為 ()A.1,0,3 B.0,1,2,3C.y|1y3 D.y|0y32.若函數f(x)(a22a3)x2(a3)x1的定義域和值域都為R，則a的取值范圍是(