1、天津市南開中學(xué)2015屆高考數(shù)學(xué)概率、隨機(jī)變量分布列練習(xí)(含解析)一、互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率1.甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知前2局中，甲、乙各勝1局.(1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率.解記A表示事件：第i局甲獲勝，i=3,4,5,B表示事彳第j局乙獲勝，j=3,4.(1)記A表示事件：再賽2局結(jié)束比賽.A=AA+B3B.由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A)=P(AA+BB)=P(AA)+P(B)=P(AORA)+P(B3)RR

2、)=0.6X0.6+0.4X0.4=0.52.(2)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利.因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B=A,A+R,At,A+A?。B4,A,由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(B)=P(AA)+RR)+*RA5)=P(A?)RA)+P(B3)P(A)RA)+P(A?)P(B)RA)=0.6X0.6+0.4X0.6X0.6+0.6X0.4X0.6=0.648.2.某銀行柜臺設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間/分12345頻率0

3、.10.40.30.10.1從第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí).(1)估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘；第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘.所以P(A)=P(

4、Y=1)RY=3)+P(Y=3)RY=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1x0.3+0.3X0.1+0.4X0.4=0.22.(2)法一X所有可能的取值為0,1,2.X=0對應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過2分鐘，所以F(X=0)=RY2)=0.5;X=1對應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過1分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為2分鐘，所以RX=1)=RY=1)RY1)+P(Y=2)=0.1X0.9+0.4=0.49;X=2對應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘，所以RX=2)=RY=1)RY=1)=0.1X0.1=0.01；所以X的分布列為X01

5、2P0.50.490.01E(X)=0X0.5+1X0.49+2X0.01=0.51.法二X的所有可能取值為0,1,2.X=0對應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過2分鐘,所以RX=0)=RY2)=0.5;X=2對應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘，所以RX=2)=RY=1)RY=1)=0.1X0.1=0.01；P(X=1)=1RX=0)RX=2)=0.49;所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)=0X0.5+1X0.49+2X0.01=0.51.、超幾何分布:1 .袋中裝有4個(gè)白棋子，3個(gè)黑棋子，從袋中隨機(jī)地取出棋子，若取到一個(gè)白棋子得2分,取到一個(gè)黑棋子得1分，現(xiàn)從袋中

6、任取4個(gè)棋子.(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6的概率.解：(1)袋中共7個(gè)棋子，以取到白棋子為標(biāo)準(zhǔn)，則取到白棋子的個(gè)數(shù)為1,2,3,4,對應(yīng)的得分X為5,6,7,8.由題意知，取到的白棋子數(shù)服從參數(shù)為N=7,M=4,n=4的超幾何分布，故得分也服從該超幾何分布P(X=5)=等C7噎P)二等35C78.351P(X=7)=C74=H；P(X=8)咯35C7135所以X的分布列為P(X6)=P(X=7)P(X12=8)=35351335X567848121P35353535(2)根據(jù)的分布列，可得到得分大于6的概率為2 .甲、乙兩人參加某選拔考試，本次選拔考試采用現(xiàn)場答題的方式來進(jìn)行，已

7、知在備選的10道題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才能入選.(1)求甲答對試題數(shù)的概率分布；(2)求甲、乙兩人至少一人入選的概率解：(1)甲答對試題數(shù)之的可能取值為0,1,2,3,則P(=0)=5尸(用戶皆C1030C1010._返_1Pzt_3_c6_1P(-2)-3-,P(3)-3-C102C106其分布列為：01231311P301026(2)法一：設(shè)甲、乙、兩人考試合格的事件分別為A,B則P(A)二*道i，p(b):C；0C13015因?yàn)槭录嗀,B相互獨(dú)立，所以甲、乙兩人考試不合格的概率為214P(AB)=P(A

8、)P(B)=(1-/-行)145所以甲、乙兩人至少有一人合格的概率為1P=1-P(AB)=1454445法二：甲、乙兩人至少有一人合格的概率為P=P(AB)P(AB)P(AB)21114214=315315315三、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布44451.設(shè)不等式x2+y2E4確定的平面區(qū)域?yàn)閁,|x|+|y|E1確定的平面區(qū)域?yàn)閂.(1)定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”,在區(qū)域U內(nèi)任取3個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)的概率;(2)在區(qū)域U內(nèi)任取3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)依題可知平面區(qū)域p的整點(diǎn)為(02)式0,1(0：2),(土LOM

9、NOML1)共有13個(gè),C2C14口平面區(qū)域V的整點(diǎn)為(O,O)?(O,1)T(L0)共有5個(gè)，尸=蕓1=143(II)依題可得：平面區(qū)域匚的面積為大2：=47，平面區(qū)域，的面積為：2x2=2,在區(qū)域內(nèi)任取1個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)在區(qū)域爐內(nèi)的概率為一=易知：X的可能取值為且尸=1)=qi(2/1-3(2*1)一23(21)8，的數(shù)學(xué)期望：=_rJ-+2x-iz-+Sxr=(或者：1,故EY=wp=Jx=)-2乃2尸2.現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2

10、的人去參加乙游戲.(1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X,Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記E=|X-Y|.求隨機(jī)變量E的分布列與數(shù)學(xué)期望日E).解依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為1,去參加乙游戲的概率為2.設(shè)33“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A(i=0,1,2,3,4)827p(a)=c4S仔T(1)這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率p(a2)=c21j(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則B=A19.UA.由于A與A互斥，故P(B)=

11、P(A3)+P(A4)=C31ji|J+C：所以，這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為(3)工的所有可能取值為0,2,4.,一一一8由于A與A?互斥，A與A互斥，故RE=0)=RA)=虧,4017P(E=2)=RA)+P(A3)=87,抬=4)=巳與+巳人)=而所以E的分布列是024P82740811781一的期望E(E)=0X卷+2X40+4X17=148.2(O1O1O1四、基本訓(xùn)練:1.已知的分布列如下:1234P11114364并且”=2上+3,則方差D。=()179143c299A.B.C.D36367222772179122解:由于E+1月+2/輸心+4乂三4

12、3641229-1293工+*x4)124121291291貝“D右；父（二）“石乂（2-石）/乂4123120又由刀二2彳中3,Dti=2勺1179179故方差Dti=4F=912，36故答案為二A2.一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字0,兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字1,一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字3,將這個(gè)小正方體拋擲兩次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是（）A.B.C.736D.2536解：一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)5兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)3，,每次靦向上的數(shù)為口的概率為;，向上的數(shù)為1的概率為J，向上的藪為3的概率為，O出題意知兩次向上的數(shù)之租己的可能取值為0,I，3,9,(=3

13、)(c=S)=1-(1-1)(111二一X-=一,33911111三一X1一十一M一三一于36639111=-X二，6636311125”尹。宇1夕3宇9市故選：D.3.現(xiàn)有甲、乙、丙三人參加某電視臺應(yīng)聘節(jié)目非你莫屬1,若甲應(yīng)聘成功的概率為一2乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為工(0t0,P代=2)-P伐=0)2_-t4t-2八0，42t-t2P(t=2)P(C=3)=0,又因?yàn)?ct2,所以解得t的取值范圍為1t0)萬元，投資B項(xiàng)目資金為y(y0)萬元，調(diào)研結(jié)果是：未來一年內(nèi)，位于一類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利30%的可能性為0.6,虧損20%的可能性為0.4;位于二類風(fēng)區(qū)的B項(xiàng)目獲利35%的可能性為0.6,虧損10%的可能性是0.1,不賠不賺的可能性是0.3.(1)記投資AB項(xiàng)目的利潤分別為片和“，試寫出隨機(jī)變量已與。的分布列和期望E：,E”;(2)某公司計(jì)劃用不超過100萬元的資金投資于A,B項(xiàng)目，且公司要求對A項(xiàng)目的投資不得低于B項(xiàng)目，根據(jù)(1)的條件和市場調(diào)研，試估計(jì)一年后兩個(gè)項(xiàng)目的平均利潤之和z=E+E刈的最大值