1、1 10. 3-4 畢奧畢奧薩伐爾定律薩伐爾定律安培環路定理安培環路定理2問題：問題：電流產生磁場電流產生磁場如何計算？如何計算？基礎：基礎：1. 1. 電流微元產生的磁場電流微元產生的磁場lId表述：電流元表述：電流元 在空間在空間 點產生的磁場點產生的磁場 為：為：PBd304rrlIdBdlId電流元電流元 ：Idl方向：方向：線元上通過的電流的方向。線元上通過的電流的方向。大小：大小：lIdPr3)/(1041272ANcoo304rrlIdBd真空中的磁導率真空中的磁導率r的方向：從電流元所在位置指向場點的方向：從電流元所在位置指向場點P。LoLrrlIdBdB242. 一段載流導線

2、產生的磁場：一段載流導線產生的磁場：Bd 的方向垂直于的方向垂直于 和和 所形所形成的平面。成的平面。lIdr 的方向。的方向。rlId大小：大小：20sin4rIdldB方向：方向：lIdr rlIdPrBd為為 與與 之間的夾角。之間的夾角。lIdrBd說明：說明：430 4rrlIdBd4.求求 B B 的分量的分量 Bx 、By 、Bz ; ;222zyxBBBB求總場。求總場。5.由由3. 確定電流元的磁場確定電流元的磁場2.分割電流元分割電流元;1.建立坐標系建立坐標系;計算一段載流導體的磁場計算一段載流導體的磁場2.2.應用畢薩定律解題的方法應用畢薩定律解題的方法,xxdBB,y

3、ydBBzzdBB,kBjBiBBzyx222zyxBBBB直角坐標系：直角坐標系：LoLrrlIdBdB245例例1:一段有限長載流直導線一段有限長載流直導線,通有電流通有電流 I , ,求距求距 a 處處 P 點的磁感應強度。點的磁感應強度。解解:20sin4rIdldB)ctg( alr rBdaxolllIdP21ctgadadl2csccscar2220cscsincsc 4adIadBdaIsin4 0dBBdaIsin4021210coscos4 aI分割電流元分割電流元sinar6210coscos4aIB討論討論:1.無限長無限長載流直導線的磁場載流直導線的磁場： , 01;

4、 2aIB 20 2.半無限長載流直導線的磁場半無限長載流直導線的磁場：,21aIB40IaP; 2r rBdaxolllIdP21IaP,1;2) 1(cos40aIB3.半無限長載流直導線的磁場半無限長載流直導線的磁場：7例例2：一正方形載流線圈邊長為一正方形載流線圈邊長為 b,通有電流為通有電流為 I，求正，求正方形中心的磁感應強度方形中心的磁感應強度 B B。Iob解：解：o 點的點的 B B 是由四條載流邊分別是由四條載流邊分別產生的，它們大小、方向相同，產生的，它們大小、方向相同，B= B1+ B2+ B3+ B4= 4B1B B21 ,41 43243cos4cos2/440bI

5、BbI0224.載流導線延長線上任一點的磁場載流導線延長線上任一點的磁場0BIaP,/ rlId0rlId8I 分割電流元為無限多寬為分割電流元為無限多寬為 dx的無限長載流直導線；的無限長載流直導線；解：解：以以 P 點為坐標原點，向右為坐點為坐標原點，向右為坐標正向；標正向；電流元電流電流元電流aPbdxoxxdxaIdIdI例例3：一寬為一寬為 a 無限長載流平面，通無限長載流平面，通有電流有電流 I , 求距平面左側為求距平面左側為 b 與電流與電流共面的共面的 P 點磁感應強度點磁感應強度 B 的大小。的大小。xdIdB20axIdx20dBBbabaxIdx20bbaaIln209

6、例例4：一載流圓環半徑為一載流圓環半徑為R 通有電流為通有電流為 I，求圓環軸線，求圓環軸線上一點的磁感應強度上一點的磁感應強度 B。解：解：將圓環分割為無限將圓環分割為無限多個電流元；多個電流元； 電流元在軸線上產生電流元在軸線上產生的磁感應強度的磁感應強度 dB 為：為：rIoxRxPBd,4sin20rIdldB2在在 x 軸下方找出軸下方找出 dl 關于關于 x 軸對稱的一個電流元軸對稱的一個電流元 Idl， 由對稱性可知，由對稱性可知，dl 和和 dl 在在 P 點產生的點產生的 dB 在在 x 方方向大小相等方向相同，向大小相等方向相同，垂直于垂直于x x方向大小相等方向相方向大小

7、相等方向相反，相互抵消。反，相互抵消。dBxdBdBxdBBdlId , 0B22BBBxxBlId10PrlIdI Bd Bd/Bdxyz ORz11dlrRrIR20204rRsinRdlrIR20304xdBBRrIR24303202rIR2/322202RxIR2/322202RxIRBxdBBsindB討論討論:（1）載流圓環）載流圓環環心環心處處x = = 0：02oIBR IoRB BrIoxRxPBddBxdBdBxdBBdlId lId12（3 3）半圓半圓圓心處：圓心處：RIB40（4 4）圓的一部分（弧長）圓的一部分（弧長l）中心處：）中心處：RlRIB220練習：練習：

8、（2）載流圓環載流圓環環心處環心處RIBo20rIoxRxPBddBxdBdBxdBBdlId lId2/322202RxIRB歸納：歸納：（1）載流圓環載流圓環軸線上軸線上13 232220)(2lRIndlRdBB 2222222222222cotcscsincscsinlRdlRdRlrRrRRlR )cos(cos2)sin2(120021 nIdnIB . . . . . . I B. pldlR1 2 Bd1A2Ar例例5：求半徑為求半徑為 ，總長度，總長度 ，單位長度上的匝數為，單位長度上的匝數為 的螺線管在其軸線上一點的磁場？的螺線管在其軸線上一點的磁場？（ P. 16 P.

9、16 圖圖10-19 10-19 ）RLn203/2222IRBxR14討論：討論：1、若、若 即即無限長無限長的螺線管，的螺線管， LR 0,21 則有則有nIB0 2、對、對長直螺線管的端點長直螺線管的端點（上圖中（上圖中A1、A2點點）0,221 則有則有A1、A2點磁感應強度點磁感應強度nIB021 關于螺繞環，見關于螺繞環，見P. 24-25P. 24-25 . . . . . . I B. pldlR1 2 Bd1A2A021(coscos)2BnI15 考慮一段導體，其截面積考慮一段導體，其截面積為為S，其中自由電荷的密度，其中自由電荷的密度為為n，載流子帶正電，載流子帶正電q，

10、以，以同一平均速度同一平均速度 運動。運動。vvvIS+InqvS 電流元產生的磁場相當于電流電流元產生的磁場相當于電流元內元內 dN 個運動電荷產生的磁場。個運動電荷產生的磁場。30 4rrl dIBddN = ndV體= nSdlSdNlId在該導體上選取一個電流元在該導體上選取一個電流元 ，lIdPrBd而電荷元內電荷的數目為：而電荷元內電荷的數目為：它產生的磁場為：它產生的磁場為：閱讀：閱讀：P. 1314P. 131416一個運動電荷產生的磁場為：一個運動電荷產生的磁場為：dNBdBdN = ndV = nSdlSdNlIdPrBd而電而電流流元內電荷的數目為：元內電荷的數目為：30

11、 4rdlrvdlq30 4rdNrl dI30 4rdlnSrl dvSnq30 4rrvq30 4rrvqB運動電荷的磁場公式：運動電荷的磁場公式： 電流元產生的磁場相當于電流電流元產生的磁場相當于電流元內元內 dN 個運動電荷產生的磁場。個運動電荷產生的磁場。30 4rrl dIBdInqvS17例例6：氫原子中的電子，以速率氫原子中的電子，以速率v v在半徑為在半徑為r r的圓周軌道的圓周軌道上作勻速率運動。求電子在軌道中心產生的磁感應強上作勻速率運動。求電子在軌道中心產生的磁感應強度。度。解：解：BrOev應用運動電荷的磁場公式：應用運動電荷的磁場公式：30 4rrvqB可得：可得：

12、20 e4rvB方向如圖所示。方向如圖所示。 本題亦可應用圓電流在中心產生的磁場公式本題亦可應用圓電流在中心產生的磁場公式 求解。求解。rIB20TqI Te rev2 rIB20revr22020 e4rv方向如圖所示。方向如圖所示。2 rTv18Ro例例7 7 （P. 19P. 19，例題，例題10-510-5） 在半徑為在半徑為 R 的半的半球型木制骨架上密繞球型木制骨架上密繞 N 匝線圈，線圈內通匝線圈，線圈內通有電流有電流 I，求：球心，求：球心 o 點處的磁感應強度點處的磁感應強度 B 。19OR xxr 可將半球面上的電流分割可將半球面上的電流分割成許多載流圓環，利用載流圓環成許

13、多載流圓環，利用載流圓環在軸線上的磁感應強度公式：在軸線上的磁感應強度公式：2/322202RxIRB則電流元的磁場：則電流元的磁場： 2/322202rxdIrdB解：解：由于線圈密繞，電流對由于線圈密繞，電流對o點張角點張角 均勻分布。均勻分布。20dNIdI2/其中其中sinRr32022)sin(RNIdRRdNI20sindOR xxr2/322202rxdIrdBcosxR21各電流元在各電流元在 o 點產生的磁感應強度的方向點產生的磁感應強度的方向都向左，則都向左，則 o 點的磁感應強度為點的磁感應強度為：2/0dBB2/020sindRNI40RNIRdNI202/0sinRN

14、I40dOR xxr221.1.定理表述定理表述 磁感應強度沿閉合回路的線積分等于環路所包圍磁感應強度沿閉合回路的線積分等于環路所包圍的電流代數和乘以的電流代數和乘以 0。數學表達式：數學表達式：LIl dB023安培環路定理安培環路定理說明：說明：電流取正時與環路成右旋關系電流取正時與環路成右旋關系如圖如圖 iIldB0 )(320II 4I1Il3I2I 在真空中的穩恒電流磁場中，磁感應強度在真空中的穩恒電流磁場中，磁感應強度 沿任沿任意閉合曲線的線積分（也稱意閉合曲線的線積分（也稱 的環流），等于穿過該的環流），等于穿過該閉合曲線的所有電流強度（即穿過以閉合曲線為邊界閉合曲線的所有電流強

15、度（即穿過以閉合曲線為邊界的任意曲面的電流強度）的代數和的的任意曲面的電流強度）的代數和的 倍。即：倍。即：B iIl dB0 B0 24)(3200IIIldBi 環路所包圍的電流環路所包圍的電流4I1Il3I2I由由環路內、外環路內、外電流產生電流產生由由環路內環路內電流決定電流決定25(1)電流正負規定：電流正負規定：電流方向與環路方向滿足右手定電流方向與環路方向滿足右手定則時電流則時電流 I 取正；反之取負。取正；反之取負。LIl dB02.2.明確幾點明確幾點(2) 為環路上一點的磁感應強度，不是任意點的，為環路上一點的磁感應強度，不是任意點的，它與環路內它與環路內、外電流都有關。外

16、電流都有關。B(3)安培環路定理說明磁場性質安培環路定理說明磁場性質 磁場是有旋場。磁場是有旋場。安培環路定理安培環路定理定理證明：定理證明：P. 2123P. 212326 長直導線周圍的長直導線周圍的B B 線為一系列的同心圓，選取線為一系列的同心圓，選取路徑方向與磁路徑方向與磁感應強度方向感應強度方向相同；相同；左邊左邊=LBdlcos由于環路上各點的磁感應強由于環路上各點的磁感應強度大小相等；且度大小相等；且1cos , 0Ll dB左邊左邊=rrIdlBL220I0右邊右邊=II00推廣到任意路徑都成立。推廣到任意路徑都成立。左邊左邊=右邊右邊 （與定理一致）（與定理一致）特例：特例

17、：以無限長載流直導線為例。以無限長載流直導線為例。l dB/B BLLIl dB0273.3.選取環路原則選取環路原則目的是將目的是將:或或(1)環路要經過所研究的場點。環路要經過所研究的場點。 利用高安培環路定理求磁感應強度的關健：根據利用高安培環路定理求磁感應強度的關健：根據磁場分布的對稱性，磁場分布的對稱性，選取合適的閉合環路選取合適的閉合環路。 安培環路定理為我們提供了安培環路定理為我們提供了求磁感應強度的另一種求磁感應強度的另一種方法方法。但利用安培環路定理求磁感應強度要求。但利用安培環路定理求磁感應強度要求磁場具有磁場具有高度的對稱性高度的對稱性 。(2)環路的長度便于計算；環路的

18、長度便于計算；(3)要求環路上各點要求環路上各點 大小相等，大小相等， 的方向與環路方向一致，的方向與環路方向一致，BB的方向與環路方向垂直，的方向與環路方向垂直，BLIl dB0寫成寫成dlIB0 0cos , l dBLl dB028 LIl dB0 0 SdB穩恒磁場性質（兩個基本定理）穩恒磁場性質（兩個基本定理）1. 1. 磁場高斯定理磁場高斯定理2. 2. 磁場安培環路定理磁場安培環路定理無源無源有旋有旋29例例1：密繞載流長直螺線管通有電流為密繞載流長直螺線管通有電流為 I，線圈密度線圈密度為為 n，求管內一點的，求管內一點的磁感應強度磁感應強度 。.+解：解：理想密繞理想密繞長直

19、長直螺線管，管內螺線管，管內磁場均勻，管外磁場為磁場均勻，管外磁場為 0 ；作閉合環路作閉合環路 abcda, ,環路內的環路內的電流代數和為：電流代數和為：abdc0外BIabnIaddccbbal dBl dBl dBl dBl dB0dcl dB螺線管外：螺線管外：bal dBl dBnIB0abBIabn0I0, 0adcbl dBl dB , ldB 0cos0,外BBLIl dB03022rRIIcosBdlldBRIIRr22環路內電流代數和為：環路內電流代數和為：Lr（r R）區域，在圓柱體外作一環路，區域，在圓柱體外作一環路，RILrLr200022222IIrBrrrRR

20、同理：同理：rIB20r1rBdlB2I0l dBIRr220I0rBdlB2l dB分布曲線：分布曲線：rBrB1RBorRI20（r R）LIl dB032例題例題3：空心長圓柱形導體，內、外半徑分別為空心長圓柱形導體，內、外半徑分別為a和和b，均勻流過電流，均勻流過電流I。求導體內部與軸線相距。求導體內部與軸線相距r 的各的各點（點（arb）的磁感強度）的磁感強度解：導體內的電流密度解：導體內的電流密度22()Iba由于電流和磁場分布的對稱性，磁感由于電流和磁場分布的對稱性，磁感應應線是以軸為線是以軸為中心的一些同心圓，取半徑為中心的一些同心圓，取半徑為r的一條磁感應線為環的一條磁感應線

21、為環路，由安培環路定理得：路，由安培環路定理得：222200222()()raBrraIba rabarIB)(2)(22220LIl dB033例題例題4： 一根長直圓柱形銅導體載有電流一根長直圓柱形銅導體載有電流I，均勻，均勻分布于截面上。在導體內部，通過圓柱中心軸線作分布于截面上。在導體內部，通過圓柱中心軸線作一平面一平面S。試計算通過每米長導線內。試計算通過每米長導線內S平面的磁通量。平面的磁通量。Sdx1mR202RIxB通過通過dS的磁通量為的磁通量為xRIxSBmd2dd20通過通過S的磁通量為的磁通量為4d2d0200IxRIxRmm解：在距離導線中心軸解：在距離導線中心軸線為

22、線為x與與x+dx處，作一處，作一個單位長窄條，其面積個單位長窄條，其面積為為dS 。 dS=1dx窄條處的磁感應強度窄條處的磁感應強度34ddddIRRIlRII例題例題5： 在一半徑在一半徑R=1.0cm的無限長半圓形金屬薄的無限長半圓形金屬薄片中，自上而下有電流片中，自上而下有電流I=5.0A均勻通過，如圖所示。均勻通過，如圖所示。求半圓片軸線上求半圓片軸線上O點的磁感強度。點的磁感強度。它在它在O點產生的磁感應強度點產生的磁感應強度d22dd00IRRIB解：如圖所示，無限長圓柱形載流金屬薄片可看作解：如圖所示，無限長圓柱形載流金屬薄片可看作許多平行的無限長直導線所組成，對應于寬為許多

23、平行的無限長直導線所組成，對應于寬為dl的的窄條無限長直導線中的電流為：窄條無限長直導線中的電流為：35 0dyB所以所以O點產生的磁感應強度點產生的磁感應強度RIRIBBX20020dsin2d代入數據代入數據T1037. 65B方向沿方向沿x軸的負方向軸的負方向dBX =- -dBsin ， dBy =dBcos 由對稱性可知：由對稱性可知：36解解 (1) 導體中的電流密度為導體中的電流密度為22I(ab )半徑為半徑為a的實心圓柱體在的實心圓柱體在M點產生的磁感應強度為點產生的磁感應強度為B1，半徑為半徑為b的實心圓柱體在的實心圓柱體在M點產生的磁感點產生的磁感應應強度為強度為B2，其

24、上通過的電流方向相反，其上通過的電流方向相反，電流密度相同。電流密度相同。例題：例題： 半徑為半徑為a的無限長金屬圓柱體內挖去一半的無限長金屬圓柱體內挖去一半徑為徑為b(ba)的無限長柱體，兩柱體軸線平行，軸間的無限長柱體，兩柱體軸線平行，軸間距距d ( d ( R2 R1) 時時nrN2為沿軸向線圈密度；為沿軸向線圈密度；nIB0與長直螺線管的結論一致。與長直螺線管的結論一致。（ P.25, P.25, 圖圖10-30 10-30 ）43例：例：用安培環路定理計算無限大均勻載流用安培環路定理計算無限大均勻載流平面外的磁感應強度。設電流均勻流過平平面外的磁感應強度。設電流均勻流過平面，單位寬度

25、上的電流強度即面電流密度面，單位寬度上的電流強度即面電流密度i 已知。已知。 （P. 26P. 26，例題，例題10-710-7）解：解：如圖分析，無限大載流平如圖分析，無限大載流平面兩側的面兩側的B的方向分別平行于的方向分別平行于平面，指向下和上，故選取安平面，指向下和上，故選取安培環路培環路abcd如圖所示，如圖所示，.abcddBdB2dB1jdBLIl dB044addccbbaLl dBl dBl dBl dBl dB.abcddBdB2dB1jdBbclBl 2ilIL內iB20 由安培環路定理，可得由安培環路定理，可得LIl dB045例例：計算組合載流導體在計算組合載流導體在

26、o 點的磁感應強度。點的磁感應強度。解：解：o 點點 B 由三段載流導體產生。由三段載流導體產生。cdbcaboBBBB規定向里為正向，規定向里為正向，bcaboBBBRIRI44001140RIRabcd46例例：一根無限長導線通有電流一根無限長導線通有電流I I，中部彎成圓弧形，中部彎成圓弧形，如圖所示。求圓心如圖所示。求圓心o o點的磁感應強度點的磁感應強度B B。RoIIabcd0120解：直線段解：直線段abab在在o o點產生點產生的磁場：的磁場：030)30cos0(cos30sin400001RIB)231 (20RI向里向里cdcd 段：段：)180cos150(cos30sin400003RIB)231 (20RIRIRIBcb6312002產生的磁場圓弧向里向里321BBBBRIRI6)231 (0047例：