1、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八章第八章習(xí)題課習(xí)題課一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類三、關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)，全微分計(jì)算題三、關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)，全微分計(jì)算題類類四、關(guān)于多元函數(shù)極四、關(guān)于多元函數(shù)極(最最)值的題類值的題類一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類【例【例1】【解】【解】2200limxyxyxy 求求故所求極限不存在故所求極限不存在.220limxy kxxyxy 21kk 極限與極限與k有關(guān)有關(guān),22220limxkxxk

2、x 2201lim(1) 1 xxxyxyaex 【例【例2】求下列極限求下列極限2221(2)lim(1)xxyxyax 2244(3) limxyxyxy 2210ln()limyxyxexy ( (1 1) )2222223 200sinlim()xyxyxyxy (4) (4) 連續(xù)性代入法連續(xù)性代入法22224422221 110022xyxyxyx yxy 坐標(biāo)變換或放縮坐標(biāo)變換或放縮根式換元或坐標(biāo)變換，化為一根式換元或坐標(biāo)變換，化為一元函數(shù)的極限，用洛必達(dá)法則元函數(shù)的極限，用洛必達(dá)法則ln2 【說明】自變量分先后次序變，稱二次極限【說明】自變量分先后次序變，稱二次極限,這種極限是

3、這種極限是兩個(gè)極限過程；而二重極限是一個(gè)極限過程兩個(gè)極限過程；而二重極限是一個(gè)極限過程.兩者不同兩者不同.例如兩個(gè)二次極限例如兩個(gè)二次極限0limlimlimlim22002200 yxxyyxxyxyyx存在存在而二重極限不存在而二重極限不存在.又如又如 0, 00,1sin1sin),(yyxyyxyxf則重極限則重極限0),(lim00 yxfyx而兩個(gè)二次極限均不存在而兩個(gè)二次極限均不存在.【強(qiáng)調(diào)】本課程討論的極限均為重極限【強(qiáng)調(diào)】本課程討論的極限均為重極限.二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類分段函數(shù)在分界點(diǎn)的上述分段函數(shù)在分界點(diǎn)的

4、上述“性態(tài)性態(tài)就是要用各自的定義就是要用各自的定義判斷判斷.連連 續(xù)續(xù)),(),(lim0000yxfyxfyyxx 可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0000000 可可 微微0),(),(lim),( 0000000 yyxfxyxfzyxyx可可微微點(diǎn)點(diǎn)220000)()(, ),(),( yxyxfyyxxfz 其其中中內(nèi)含三條，缺一不可內(nèi)含三條，缺一不可【例【例3】【解】【解】 , 0, 00,),(2222222 yxyxyxyxyxf設(shè)設(shè) )0 , 0(),(？處是否連續(xù)處是否連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)問問yxf2220000lim),(limyxyxyxfyxyx

5、 )0 , 0(0),(lim00fyxfyx . )0 , 0(),(處處是是連連續(xù)續(xù)的的在在點(diǎn)點(diǎn)所所以以yxf3220cossinlim 0 cossinxy 【例【例4】設(shè)】設(shè)【解】【解】 , 0, 00,1sin)(),(22222222 yxyxyxyxyxf ) ( )0 , 0(),(處處在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)yxfA. 偏導(dǎo)不存在偏導(dǎo)不存在B. 偏導(dǎo)存在但偏導(dǎo)存在但 f 不連續(xù)不連續(xù) C. 可微可微 D. 不可微不可微)0 , 0(0),(lim00fyxfyx 所以所以f 在在(0,0)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù),故否故否B . 0)1sin(lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(2

6、200 xxxxfxffxxx0)1sin(lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(2200 yyyyfyffyyy偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在, 否否A .220000)0 , 0(),(limyxyxfyxfyx 01sin)(lim22222200 yxyxyxyx所以所以f (x,y)在在(0,0)點(diǎn)可微點(diǎn)可微. 綜上所述，應(yīng)選綜上所述，應(yīng)選C.【例【例5】 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)【解】【解】( , ) | ( , ) , f x yxyx y )0 , 0(),(的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，問問在在點(diǎn)點(diǎn)其其中中yx (0,0) , (0,0) xyff若若均均存存在在，(0,0)=( ) xf

7、xffxx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0( 0 由由0|0|( ,0)0lim xxxx 存存在在0|( ,0) lim(0,0) xxxx 有有0|( ,0)lim(0,0) xxxx )0 , 0()0 , 0( 0)0 , 0( 同理同理,由由fy(0,0)存在也可推出存在也可推出 0)0 , 0( 作業(yè)思考題作業(yè)思考題【例【例6】【解】【解】 ., 0, 0,求一階偏導(dǎo)求一階偏導(dǎo)設(shè)設(shè) yxxuzy ;1 zyzxyxu );)(ln1 zyzyxxyuz)(ln)(lnyyxxzuzyz 【注意】【注意】 )( zyyzzyxxx 具體復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)具體復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)三、關(guān)于復(fù)

8、合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)，全微分計(jì)算題類三、關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)，全微分計(jì)算題類() zzyyxx 【例【例7 7】【解】【解】，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)) (),(3fxyxyfxz )1(213xfxfxyz ,2214fxfx xyzyxz 22 2)(4221211413 xfxyfyfxfx)(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 2,.zzyx y 求求)(222212xyfyfx 抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)34114 fx fxx 2222fxfxx 【例【例8 8】【解【解】 公式法公式法.),(22yzfyzyfzx 可

9、微，求可微，求其中其中設(shè)設(shè)),(),( 22yzyfzxzyxF 令令),()(yzfyzyzfFy ),(2yzfzFz 則則.)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfFFyzzy 抽象函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)抽象函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)【例【例8 8】.),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中設(shè)設(shè)抽象函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)抽象函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo),)()(22yzyyzyzf yyzfyzz .)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfyz 解得解得【解【解】（求導(dǎo)直接法）】（求導(dǎo)直接法）z是是x,y的函數(shù)的函數(shù)兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)y求導(dǎo)求導(dǎo) ,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 設(shè)設(shè)

10、【例【例9 9】【解】【解】,dxdzzfdxdyyfxfdxdu cos ,dyxdx 2(, )0sinyxezyx ,02321 dxdzdxdyexy 可得可得),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故., 0) ,(dxduzf求求且且，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) x兩兩邊邊對(duì)對(duì)求求導(dǎo)導(dǎo) 0),(),(0),(ytxftyxGtyxF )()(xttxyy .xttxttyf Ff FdydxFf F 解解得得方程組確定隱函數(shù)推導(dǎo)法方程組確定隱函數(shù)推導(dǎo)法【解】【解】兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo) 00

11、dxdydxdtffdxdtFdxdyFFtxtyx【例【例10】. ,0),(),(dxdyFfyxtyxFttxfy試試求求具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，、函函數(shù)數(shù)，其其中中的的所所確確定定的的是是由由而而設(shè)設(shè) 之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz【例【例1111】【解】【解】.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)【分析】【分析】最最小小即即且且使使?jié)M滿足足，使使得得本本題題變變?yōu)闉榍笄笠灰稽c(diǎn)點(diǎn))22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP四、關(guān)于多元函數(shù)極四、關(guān)于多元函數(shù)極(最最)值值),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(312