1、第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則要求：熟練地計(jì)算復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)計(jì)算抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算 重點(diǎn)：各種類型復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與計(jì)算。難點(diǎn)：抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算。作業(yè)：習(xí)題 8 4(P36)2,4,6,82)3),10,1 12),122)3)4),13一.多個(gè)中間變量，一個(gè)自變量情況定理1如果函數(shù)u 及v (t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)，且函數(shù)z f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z f (t), (t)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)公式為dz二曳二dv(全導(dǎo)數(shù))dt u dt v dt證明 設(shè)t有增量t,相應(yīng)函數(shù)u (t)及v的增量為u, v ,此時(shí)函數(shù)zf (u,v)相應(yīng)獲得的增量為z.又由于

2、函數(shù)zf(u,v)在點(diǎn)(u,v)處可微，于是由上節(jié)定理3證明有這里，當(dāng)u 0, v 0時(shí)，10, 20,上式除以t得當(dāng)所以zfuftutvt 0時(shí)，u0,vdzzfdulimdtt 0 tudtdz f du f dvv u v12t1 t2 t0 u du v't dt , tf dv,即v dtz du z dvdv dtdt u dt v dt u dt v dt此時(shí)，dz 二曲 Cdv從形式上看是全微分 dt u dt v dtdzzdu ©dv兩端除以dt得到 u v的，常將dz稱為全導(dǎo)數(shù).dt推論若 z f(u,v,w), u (t) , v(t) , w w(t

3、)復(fù)合而的復(fù)合函數(shù)z f (t), (t),w(t)滿足定理?xiàng)l件，則有全導(dǎo)數(shù)公式例1 .設(shè)函數(shù)u xy ,而x et , y sint ,求全導(dǎo)數(shù)- dtdu u dx u dy y 1 t 八t tsint用牛 yx e x ln xcost e (sin t tcost).dt x dt y dt二.多個(gè)中間變量，多個(gè)自變量情況定理2若u (x,y)及v (x, y)在點(diǎn)(x, y)具有偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)z f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z f (x, y), (x, y)在點(diǎn)(x, y)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有公式例2.設(shè)函數(shù)z3x22zy , v 4x 2y,求xz

4、v vuv x16xuv ln u 4一- 一 22y(4x 2y)(3x2、4x 2y 122、4x 2y2y ) y 2(3x y ) y ln(3x注意 為了幫助記憶，我們按各變量間的復(fù)合關(guān)系畫出復(fù)合關(guān)系圖如下:首先從自變量z向中間變量u,v回兩個(gè)分枝，然后再分別從 u,v向自變量x,y回分枝，并在每個(gè)分枝旁邊寫上對(duì)其的偏導(dǎo)數(shù).求 -x(-)時(shí)，我們只要把從z到 yx (y)的每條路徑上的各偏導(dǎo)數(shù)相乘后，再將這些積相加即可得到z z u z v一,x u x v x y u y v y推論1.設(shè)函數(shù)u (x, y) , v (x,y) , w w(x, y)在點(diǎn)(x, y)有偏導(dǎo)數(shù)，而函

5、數(shù)z f(u,v,w)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v,w)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)zf (x, y), (x, y),w(x, y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有公式zzuz vzwzzuzv-;xuxv xwxyuyvy推論2.設(shè)函數(shù)u (x,y)具有偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)zf(u,x, y)可微，則復(fù)合函數(shù)z f (x, y), x, y在點(diǎn)(x, y)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有公式L;x注意二與f區(qū)別：x x-z是把函數(shù)f (x, y),x, y中的y看成常數(shù)，對(duì)x求偏導(dǎo),x-f是把f (u,x, y)中u, y看常數(shù)，對(duì)x求偏導(dǎo). x前者是復(fù)合后對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，后者是復(fù)合前對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).例3.設(shè)函數(shù)u f (x,

6、 y, z)ex2 y求和.x22xe2 _2 y zx2 y22ze y2xsin y2(y4x2 y2 xx sin ycosy)esin2 y例4.設(shè)函數(shù)uvsint ,v cost求全導(dǎo)數(shù). dt解dz二名 dt u dtvetz dv v dtu( sint)costet(costsin t) cost .例5.設(shè)抽象函數(shù)zf(x22 xy y，e ),其中f偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求其中flz uu x f(u,v)z，其中u x2 v xf z f(u,v) f 2v vxyv e ,.復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù) z f (u, v) , u (x,y) , v(x,y)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則復(fù)

7、合函數(shù)z f (x,y), (x, y)存在二階偏導(dǎo)數(shù).2t 己萬(wàn) f112 , f12u2z，f21u vf22例6.設(shè)復(fù)合函數(shù)z f(2x其中f (u,v)對(duì)u,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),2求一x y2 f1 f2y2(儲(chǔ)3fl2(1_xf2 -(f2 3 f22(4)yy6fii與22 y3y 2x /2 f12 y練習(xí)題設(shè)函數(shù)z其中f(u,v)對(duì)u,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),2x3yfnWf22 xyfi21 _f2 2xG)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)步驟：(1)搞清復(fù)合關(guān)系一一畫出復(fù)合關(guān)系圖；(2)分清每步對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，固定了哪些變量;(3)對(duì)某個(gè)自變量求導(dǎo),應(yīng)注意要經(jīng)過(guò)一切與該自變量有關(guān)的中間變量

8、而最例7.設(shè)復(fù)合函數(shù)w f (x后歸結(jié)到該自變量.y z, xyz),且f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求, xyzf2fiixy2zf22(xy yz) f21yf2 .例8.設(shè)函數(shù)f (x,y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形(1)(上)2 x2u2x2u2 y解 (1)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系x r cos , y r sin這里u f(x, y)看作由函數(shù)uF(r,)及x2y2 ，,y arctan, x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，得u cosx ru sin)其中r cosrcos2 y -2 x2y2ysin r同理其中u-sin ru cos，ryx2yrsin上邊

9、兩式平方后相加,同理sinx2 y2 xcos， r(-)2xu)2 y(-)2r(上)2. r2(2) -u yu、 r上邊兩式相加得四.全微分形式不變形設(shè)函數(shù)z f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則全微分dz -zdu -zdv,若函數(shù)u(x, y) , v (x, y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)f( (x, y),(x, y)的全微分為可見(jiàn)無(wú)論z是自變量x,y的函數(shù)或中間變量u,v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫全微分形式不變性例9.利用全微分形式不變性求微分dz d(eusinv),其中 u xy, v x y.解 因?yàn)?dz d(eu sin v) eu sin vdu eu cosvdv又因?yàn)?du d(xy) ydx xdy , dv d(x y) dx dy,