1、得分評卷人2018年1月一、單項選擇題（每小題3分，共15分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。B.D.1.某人打靶3發，事件Ai表示A=A1UA2UA3表示（A.全部擊中.C.必然擊中“擊中i發"，i=0,1,2,3.那么事件）。至少有一發擊中.擊中3發2.對于任意兩個隨機變量.A.X和Y獨立。C.D（X+Y）=D（X）+D（Y）3.4.P2A.C.5.A.f(x)=|2(1-|x|)|x|<1=0其它1eC.f(x)-二'2：設隨機變量XN（,B.0.5f(x)=，0|x|<2其它(x_-)22。2

2、x:0D.x0其它=PY之N+5,則有(42),YN(口,對于任意的，P1=P2只對個別的N,才有P1=P2設X為隨機變量,其方差存在,52),P1=PX<-4,B.對于任意的口，P1<P2D.對于任意的N,P1>P2c為任意非零常數，則下列等式中X和丫,若E(XY)=E(X)E(Y)，則有(B.X和Y不獨立。ID.D(XY)=D(X)D(Y)卜列各函數中可以作為某個隨機變量的概率密度函數的是（正確的是（A.D(X+c)=D(X).C.D(X-c)=D(X)-cB.D(X+c)=D(X)+c.D.D(cX)=cD(X)工程數學試題得分評卷人、填空題（每空3分，共15分）6.設

3、3階矩陣A的特征值為-1,|A*+3A-2E|=。，07.&A=-1-1iy(-20011 0，1.2, 它的伴隨矩陣記為A*,0、0,x=0b8.設有3個元件并聯，已知每個元件正常工作的概率為P,則該系統正常工作的概率為。9.設隨機變量X的概率密度函數為f（x）=）2x0：x：A»甘，則概率0其它1P(X-萬)=10.設二維連續型隨機變量（X,Y）的聯合概率密度函數為f(x,y)=<ke43x*y)當x00,y0,則系數k=其它得分評卷人三、計算題（每小題10分，共50分）11 .求函數f（t）=e*t的傅氏變換（這里P>0）,并由此證明:工程數學試題12 .發

4、報臺分別以概率0.6和0.4發出信號“1”和“0”。由于通訊系統受到干擾，當發出信號“1”時，收報臺未必收到信號“1”，而是分別以概率0.8和0.2收到信號“1”和“0”；同時，當發出信號“0”時,收報臺分別以概率0.9和0.1收到信號“0”和“1”。求(1)收報臺收到信號“1”的概率；(2)當收報臺收到信號“1”時，發報臺確是發出信號“1”的概率。13 .設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率函數是f(x,v)=<?x4y)CD0x0,y0其它求：(1)常數c；(2)概率P(X>Y);(3)X與Y相互獨立嗎？請說工程數學試題出理由14 .將n個球隨機的放入N個盒子中去，設每個球放入各

5、個盒子是等可能的，求有球盒子數X的數學期望。15 .設一口袋中依此標有1,2,2,2,3,3數字的六個球。從中任取一球，記隨機變量X為取得的球上標有的數字，求(1)X的概率分布律和分布函數。(2)EX工程數學試題得分評卷人四、證明題(共10分)16 .設a=(ai,a2,an)T,a1w0,其長度為IaI,又A=aaT,(1)證明A2=IaI2A；證明a是A的一個特征向量，而0是A的n-1重特征值;(3)A能相似于對角陣A嗎？若能，寫出對角陣A.工程數學試題得分評卷人五、應用題（共10分）17.設在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量X是隨機變量,它在2000,4000（單位：噸）上服從均

6、勻分布，又設每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需保養費1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。工程數學試題參考答案及評分標準1、 選擇題(每小題3分，共15分)1 .B2.C3.D4.A5.A2、 填空題(每小題3分，共15分)6.97.18.1-(1-P)39.3/410.12三、計算題(每題10分，共50分)11.解答：函數f(t)的付氏變換為：F(w)=e't1:e-:|t|etdt=e"j)tdte“)tdt00112:=(2.-1'：I；.j,：,-：,：由付氏積分公式有j1二一(3分)分）分）所以1二2：

7、1二2一：(costjsint)dcostd(2分)JI2:ef(1分)12 .解答：設A1="發出信號1"，A0="發出信號0"，A="收至IJ信號1(1)由全概率公式有P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)=0.8X0.6+0.1x0.4=0.52(2)由貝葉斯公式有P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/P(A)=0.8x0.6/0.52=12/1313 .解答：（2分）（1分）（2分）（1分）（1分）（2分）（1分）工程數學試題第7頁共6頁f(t)=6F(w)=F()ejtd(2(1)由聯合概率密度的性質有-be

8、-bedxf(x,y)dy=1q3"feeHdo即dxce,2x4y)dy=100從而c=8二x2(2)P(X_Y)=f(x,y)dxdy=dx8e2x4y)dy=-x_y003QOQO當x>0時，fx(x)=ff(x,y)dy=f8e42x44y)dy=2ex二二0當x<=0時，fx(x)=0同理有fY(y)4y4ey0其它(2分)(2分)(2分)(2分)(1分)因f(x,y)-fx(x)fY(y)-x,y故x與丫相互獨立14.解答：(1分)Xi10第i個盒子有球否則=1,2,，N(2分)(1(N-1)n、P(Xi=0)=A-六(2分)Nn(N-1)nP(Xi-1)-1

9、-P(Xi-0)-1十(2分)N因而EXi=0P(Xi=0)1P(Xj=1)=1(N-1)nNn工程數學試題所以(2分)N1、n、EX八EXi=N(1-(1)n)N15.解答：(1)隨機變量X的取值為1,2,3。(1分)132.依題思有：PX=1=;PX=2=;P(X=3)=(3分)666X的分布函數F(x)=PXEx(1分)由條件知：當x<1時，F(x)=0;(1分)1當1Mx<2時，F(x)=P(X=1)=；(1分)62當2Wx<3時，F(x)=P(X=1)+P(X=2)=-；(1分)3當x23時，F(x)=1；(1分)(2)EX=1x1/6+2x3/6+3x2/6=13

10、/6(1分)四、證明題（共10分）（1）A2=aaT-aaT=aTa-aaT=a2A（2分）（2）因Aa=aaT-a=aTa-a=|a|2a（2分）故a是A的一個特征向量。又A對稱，故A必相似于對角陣（1分）設Asdiag（入1,入2,，入n）=B,其中入1,入2,，入n是A的特征值（1分）因rank（A）=1,所以rank（B）=1（1分）從而入1,入2,，入n中必有n-1個為0,即0是A的n-1重特征值（1分）A對稱，故A必相似于對角陣A,A=diag（a2,0,。）（2分）五、應用題（共10分）解答:2000與4000之間，用Z（1分）設y為預備出口的該商品的數量，這個數量可只介于表示國家的收益（萬元），則有因XZ=g(X)=3y3X-(y-X)所以服從R(