1、第5講古典概型T教材回顧，夯實基礎1課札開墳追恨棗燭一/知識毓理1. 基本事件的特點(1) 任何兩個基本事件都是互斥的.(2) 任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件).2. 古典概型(1) 特點： 試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，即有限T 每個基本事件發生的可能性相等，即等可能性.(2) 概率公式：A包含的基本事件的個數P(A)=基本事件的總數.做一做1. (2014高考廣東卷)從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母，則取到字母a的概率為.解析：總的取法有：ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de共10種，其中含有a42的有ab,ac,ad,ae共4種，

2、故所求概率為帀=丁2答案：252. (2014高考浙江卷)在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是.解析：記“兩人都中獎”為事件A,設中一、二等獎及不中獎分別記為1,2,0,那么甲、乙抽獎結果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2)，共6種.其中甲、乙都2 1中獎有(1,2),(2,1),2種，所以P(A)=6=3.1答案：1婆點整合1. 辨明兩個易誤點(1) 在計算古典概型中基本事件數和事件發生數時，易忽視他們是否是等可能的.概率的一般加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)P(AAB)中，易忽視只有當AnB=?,即

3、A,B互斥時，P(AUB)=P(A)+P(B)，此時P(AnB)=0.2. 古典概型中基本事件的求法(1) 枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的.(2) 樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x,y)可以看成是有序的，女口(1,2)與(2,1)不同.有時也可以看成是無序的，女口(1,2),(2,1)相同.（3）排列、組合法：在求一些較復雜的基本事件的個數時，可利用排列或組合的知識.做一做3集合A=2,3,的概率是（）B=1,2,3,從A,B中各任意取一個數，則這兩數之和等于42込B-2C.1解析：選C.從A，B中各任取一個數有（2，1），（2，2

4、），（2，3），（3，1），（3，2），（3，2 13）6個基本事件，滿足兩數之和等于4的有（2,2）,（3,1）2個基本事件，所以P=石=亍nn4.在集合x|x=才，n=1,2,3，10中任取一個元素，則所取元素恰好滿足方程1COSx=1的概率是.解析：基本事件總數為10,滿足方程cosx=1的基本事件數為2,故所求概率為P=2 10=5.1答案：15歹畫祈看皆莢破汕導也恥溉選.%考點一簡單古典概型的求法aSD（2014高考天津卷）某校夏令營有3名男同學A,B,C和3名女同學X,Y,乙其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學ABC女同學XYZ現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽（每人被

5、選到的可能性相同）.（1）用表中字母列舉出所有可能的結果；（2）設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發生的概率.掃一掃進入91導學網（）古典概型的概率解（1）從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結果為A,B,A,C,A,X,A,Y,A,Z,B,C,B,X,B,Y,B,Z,C,X,C,Y,C,Z,X,Y,X,Z,Y,Z，共15種.選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結果為A,Y,A,Z,B,X,B,Z,C,X,C,Y，共6種.62因此，事件M發生的概率P(M)=15=5.規律方法求古典概型概率的基本步驟：(1) 算出所有基本

6、事件的個數n.(2) 求出事件A包含的所有基本事件數m.(3) 代入公式P(A)=m,求出P(A).畑摯踏1.(2015唐山市第一次模擬)甲、乙、丙三個車床加工的零件分別為350個、700個、1050個，現用分層抽樣的方法隨機抽取6個零件進行檢驗.(1) 求從甲、乙、丙三個車床中抽取的零件的件數；(2) 從抽取的6個零件中任意取出2個，已知這2個零件都不是甲車床加工的，求其中至少有一個是乙車床加工的概率.解：(1)由抽樣方法可知從甲、乙、丙三個車床中抽取的零件數分別為1,2,3.(2)記抽取的6個零件為a1,b1,b2,C1,C2,C3.事件“這2個零件都不是甲車床加工的”的可能結果為(b1,

7、b2),(b1,C1),(b1,，(b1,C3),(b2,C1),(b2,C2),(b2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)，共10種可能；事件“其中至少有一個是乙車床加工的”的可能結果為(b1,b2),(b1,C1),(b1,，(b1,C3),(b2,C1),(b2,C2),(b2,C3),共7種可能.故所求概率為P=0.7.考點二一_較復雜古典概型的概率(高頻考點)古典概型是考查的熱點，可在選擇題、填空題中單獨考查，也可在解答題中與統計一起考查，屬容易題，以考查基本概念為主.高考對本部分內容的考查主要有以下三個命題角度：(1) 根據概率求參數；(2) 利用古典概型的概率

8、公式求概率；(3) 古典概型與統計的綜合應用(下章講解).(2014高考四川卷)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字1,2,3,這三張卡片除標記的數字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數字依次記為a,b,c.(1) 求“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”的概率；(2) 求“抽取的卡片上的數字a,b,c不完全相同的概率.設“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”為事件A,解(1,1,(1)由題意知，1),(1,1,(a,b,c)所有的可能為2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1

9、),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3)，共3種.3 1所以p(a)=27=孑1因此，“抽取的卡片上的數字滿足a+b=c”的概率為-.設“抽取的卡片上的數字a,b,c不完全相同”為事件B,則事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)，共3種.3 8所以p(b)=1-p(b)=1-2

10、7=9-因此，“抽取的卡片上的數字a,b,c不完全相同”的概率為9規律方法求較復雜事件的概率問題的方法:(1)將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解.(2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解.2.(1)(2013高考課標全國卷n)從n個正整數1,2，n中任意取出兩個不同的數，若取岀的兩數之和等于5的概率為，則n=14(2)(2014高考江西卷)10件產品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是(3) 現有8名北京馬拉松志愿者，其中志愿者Al、A2、A3通曉日語，Bl、B2、B3通曉俄語，Ci、C2通曉韓語從中選出通曉日語

11、、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組. 求Ai被選中的概率； 求B1和C1不全被選中的概率.解析：(1)由題意知n4,取出的兩數之和等于5的有兩種情況：1,4和2,3,所以P212=尹=-，即n2n56=0,解得n=7(舍去)或n=8.Cn14(2) 從10件產品中取4件，共有ch種取法，取到1件次品的取法為c!c7種，由古典概13C3C73X351型概率計算公式得p=cc=210=71答案：(1)8(2)1(3) 解：從8人中選出通曉日語、俄語和韓語志愿者各1名的方法數是C3C3C11=18,A1恰被選中的方法數是c3c2=6.用M表示“A1恰被選中”這一事件，61P(M)=礦3“B1和

12、C1不全被選中”包括“選B1不選C1”，“選C1不選B1”，“B1和C1都不選”c31這三個事件，分別記作事件A、B、C,則A、B、C彼此互斥，且有P(A)=C1C1C1=6，P(B)c3c21Cc21=c3c3c2=3,P(C)=c3c3c2=3，5用N表示這一事件，所以有P(N)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=舌.名師講壇素養提升)u丿考題溯源一一求古典概型的概率1A.18(2014高考江西卷)擲兩顆均勻的骰子,B.19則點數之和為5的概率等于(1D.12解析擲兩顆骰子，點數有以下情況:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(

13、2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36種，其中點數和為5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種，故所求概率答案B考題溯源本考題“照搬”人教A版必修3P127的例3同時擲兩個骰子，計算向上的點數之和是5的概率是多少?電331.(2015山西省太原市模擬)在五個數字1,

14、2,3,4,5中，若隨機取出三個數字，則剩下兩個數字的和是奇數的概率是()A.0.3C.0.5B.0.4D.0.6解析：選D.隨機取出三個數字后，剩下兩個數有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10種情況，和為奇數共有(1,2)、(1,4)、6(2,3)、(2,5)、(3,4)、(4,5),共6種情況，故和是奇數的概率為=0.6.2.(2015昆明市調研)投擲兩顆相同的正方體骰子(骰子質地均勻，且各個面上依次標有點數1,2,3,4,5,6)一次，則兩顆骰子向上點數之積等于12的概率為.解析：拋擲兩顆相同的正方

15、體骰子共有36種等可能的結果：(1,1),(1,2),(1,3),(6,6).點數積等于12的結果有：(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),共4種，故所求事件的4概率為3619.答案:知能訓練輕松闖關基礎達標1. 若有2位老師，2位學生站成一排合影，則每位老師都不站在兩端的概率是1C1AB._1261C.J1D.222解析：選B.依題意，所求概率為P=人并2=A46則這2個2.(2014高考陜西卷)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點,點的距離小于該正方形邊長的概率為()2B.23C.34D.4解析：選B.取兩個點的所有情況有10種，兩個點距離小于正方形邊長的情況有4種,所

16、以所求概率為缶=|故選B.3.現有10個數，它們能構成一個以1為首項，一3為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是()A2c3A. 2B.34C.4解析：選B.以1為首項，一3為公比的等比數列中的10個數為1,3,9,27,81,243,729,2187,656119683，其中有5個負數，1個正數1，共6個數小于8,從這10個數中隨機抽取一個數，它小于8的概率是和I4. (2015亳州高三質檢)已知集合M=1,2,3,4,N=(a,b)|aM,bM,A是集合N中任意一點，0為坐標原點，則直線OA與y=x2+1有交點的概率是()1兀C.；解析：選C易知過點(0,0)

17、與y=x2+1相切的直線為y=2x(斜率小于0的無需考慮),集合N中共有16個元素，其中使0A斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4個，由古典概型知概率為4_116=4.5. （2015東北三校高三模擬）一個三位自然數百位，十位，個位上的數字依次為c,當且僅當ab,bvc時稱為“凹數”（如213,312等），若a,b,c1,2,3,4，且a,b,c互不相同，則這個三位數為“凹數”的概率是15A.6B.刃1CT132,213，231，312，321，共6個;解析：選C.由1，2，3組成的三位自然數為123,同理由1,2,4組成的三位自然數共6個；由1,3,4組成的三

18、位自然數也是6個；由2,3,4組成的三位自然數也是6個.所以共有6+6+6+6=24個.當b=1時，有214,213,314,412,312,413,共6個“凹數”當b=2時，有324,423,共2個“凹數三位數為“凹數”的概率P=6+22413.6. （2015西省忻州市高三聯考）某校高三年級要從4名男生和2名女生中任選3名代表參加數學競賽（每人被選中的機會均等），則男生甲和女生乙至少有一人被選中的概率是解析：C34男生甲和女生乙至少有一人被選中的概率是1-p=4答案：457. （2015吉林實驗中學第一次階段檢測）先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子，記骰子落地后朝上的點數分別為x,y,則Iog2

19、xy=1的概率為.解析：根據題意，可得x的情況有6種，y的情況也有6種，則骰子朝上的點數分別為x,y的情況有36種，若Iog2xy=1,則y=2x,其情況有1、2,2、4,3、6共3種，則滿足3 11Iog2xy=1的概率是36=12,故答案為1?1答案：吉8. 如圖，在平行四邊形ABCD中，0是AC與BD的交點，P,Q,M,N分別是線段0A,OB,OC,0D的中點.在A,P,M,C中任取一點記為E,在B,Q,N,D中任取一點記為F.設g為滿足向量0G=Oe+Of的點，則在上述的點G組成的集合中的點，落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為解析：基本事件的總數是16，在OG=Oe+Of中，

20、當oG=op+OQ,OG=Op+ON,OG=ON+OM,OG=OM+OQ時，點G分別為該平行四邊形的各邊的中點，此時點G在4 3平行四邊形的邊界上，而其余情況的點G都在平行四邊形外，故所求的概率是1-=43答案：39. 設連續擲兩次骰子得到的點數分別為m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1，-3).(1) 求使得事件“a丄b”發生的概率；(2) 求使得事件“|a|w|b|”發生的概率.解：(1)由題意知，m1,2,3,4,5,6,n1,2,3,4,5,6，故(m,n)所有可能的取法共36種.使得a丄b,即m-3n=0,即m=3n,共有2種：(3,1)、(6,2),所以事件a丄b的概率為游寺

21、22(2)|a|0，貝Um2n0,m2n連續擲兩次骰子的所有可能結果為36種，其中滿足m2n的有(3,1)，(4，1)，(5，1)，(5，2),(6,1)，(6，2)，共6種所以所求概率為36=61答案：163將一個質地均勻的正方體(六個面上分別標有數字0,1,2,3,4,5)和一個正四面體(四個面上分別標有數字1,2,3,4)同時拋擲1次，規定“正方體向上的面上的數字為a,正四面體的三個側面上的數字之和為b”.設復數為z=a+bi.(1) 若集合A=z|z為純虛數，用列舉法表示集合A;求事件“復數在復平面內對應的點(a,b)滿足a2+(b6)29”的概率.解：(1)A=6i,7i,8i,9i

22、.(2) 滿足條件的基本事件的個數為24.設滿足“復數在復平面內對應的點(a,b)滿足a2+(b6)29”的事件為B.22當a=0時，b=6,7,8,9滿足a+(b6)9;當a=1時，b=6,7,8滿足a+(b6)9;當a=2時，b=6,7,8滿足a+(b6)9;當a=3時，b=6滿足a2+(b6)29.即B為(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8),(3,6)共計11個.11所以所求概率P=24.4. 在APEC會議期間，某報刊媒體要選擇兩名記者去進行專題采訪，現有記者編號分別為1,2,3,4,5的五名男記者和編號

23、分別為6,7,8,9的四名女記者，要從這九名記者中一次隨機選出兩名，每名記者被選到的概率是相等的，用符號(x,y)表示事件“抽到的兩名記者的編號分別為x,y,且xvy”.(1) 共有多少個基本事件？并列舉出來；(2) 求所抽取的兩名記者的編號之和小于17但不小于11或都是男記者的概率.解：(1)共有36個基本事件，列舉如下：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9).(2)記事件“所抽取的兩名記者的編號之和小于17但不小于11”為事件A,即事件A為“x,y1,2,3,4,5,6,7,8,9,且1Kx+yv17,其中xvy