1、 眾所周知，平面上兩點的距離以直線段最短，現在我眾所周知，平面上兩點的距離以直線段最短，現在我們用數學的方法來推導這一結論們用數學的方法來推導這一結論. 設平面上兩定點為設平面上兩定點為 和和 這兩點的這兩點的連線的方程為連線的方程為 弧段弧段 的長為的長為 11,B x y00,A xy ,yy xABAB yy x 顯然函數顯然函數 還需滿足條件還需滿足條件:( )yy x102 ( )1( ).xxs y xyx dx 1001101,.y xyy xy yCx x 則原問題轉變為求函數則原問題轉變為求函數 使得使得成立并使成立并使弧長弧長 取最小值。取最小值。 *,yyx*s y 由于

2、由于 故積分故積分20,y 1021xxs y xyx dx當當 時取最小值，即該曲線為直線段時距離達到時取最小值，即該曲線為直線段時距離達到最小值。最小值。0y 一、固定端點的簡單泛函極值問題一、固定端點的簡單泛函極值問題 設設 為函數類，若有法則，使在該法則之下，對為函數類，若有法則，使在該法則之下，對中的每一個元素都可以確定一個相應的數與之對應，中的每一個元素都可以確定一個相應的數與之對應，則稱該法則為則稱該法則為 上的一個泛函。上的一個泛函。MMM 例如，取例如，取 區間上的黎曼可積函數區間上的黎曼可積函數類，定義泛函類，定義泛函 為為 ,MR a ba b J y .baJ yydx

3、在此定義之下，函數類在此定義之下，函數類 稱為泛函的定義域，泛函一稱為泛函的定義域，泛函一M般記為般記為 .J y 考慮簡單泛函考慮簡單泛函 10, ,xxJ y xF x y y dx其中，函數其中，函數 且且, ,F x y yC 問題是求函數問題是求函數 滿足條件滿足條件，并使由，并使由式定式定義的泛函取得極小值或極大值。這樣的問題稱為泛函義的泛函取得極小值或極大值。這樣的問題稱為泛函 *,yyx2001101,.y xyy xy yCx x極值問題。極值問題。 假設函數假設函數 使泛函使泛函 取得極值，任取得極值，任意取得函數意取得函數 要求它滿足條件要求它滿足條件 *yyx J y

4、x ,x 201010,.xxxCx x 若限制函數在若限制函數在 的范圍中，則函的范圍中，則函數數 *y xyxax *J yxx 10*,xxF x yxyxdx在在 時取得極值。時取得極值。0 由函數取得極值的必要條件，有由函數取得極值的必要條件，有 因因00.dd 10*,xxddF x yxxyxdxdd再由復合函數微分法，得再由復合函數微分法，得*,yFx yydx 10*,xyxdFx yyxd 再由分部積分公式，第二項積分可化為再由分部積分公式，第二項積分可化為 111000 xxxyyyxxxdFx dxFxxF dxdx由由得得 100,xyxFx因而有因而有10*,xyx

5、dFx yayd *,.ydFx yayx dxdx所以，所以，10*0,xyxdFx yyd *, ,0,ydFx y yx dxdx由函數由函數 的任意性及因子的任意性及因子 的連續性，的連續性，則有則有 xyyxFF0.yydFFdx 是使泛函是使泛函 取得極值的函取得極值的函數應滿足的方程。這個方程成為數應滿足的方程。這個方程成為Eular方程。方程。 10, ,xxJ y xF x y y dx 注意到，注意到，Eular方程經展開后，成為方程經展開后，成為0.yxyyyyyFFFyFy該方程為一個二階常微分方程，方程的解還需滿足條件該方程為一個二階常微分方程，方程的解還需滿足條件，

6、即，即 201010,.xxxCx x 二、固定端點的簡單泛函的條件極值問題二、固定端點的簡單泛函的條件極值問題 考慮簡單泛函考慮簡單泛函其中函數其中函數 且且, ,F x y yC 及滿足條件及滿足條件 10, ,xxJ y xF x y y dx2001101,.y xyy xy yCx x 10,.xxG x y x yxdxL求函數求函數 滿足條件滿足條件和和并使由并使由式定義的泛式定義的泛函取得極小值。這樣的問題就稱為泛函條件極值問題。函取得極小值。這樣的問題就稱為泛函條件極值問題。 *yyx 如同條件極值，泛函條件極值問題也可拉格朗日乘數如同條件極值，泛函條件極值問題也可拉格朗日乘

7、數法加以解決。為此作輔助函數法加以解決。為此作輔助函數*, , , ,Fx y yF x y yG x y y和輔助泛函和輔助泛函 10*, ,xxJy xFx y y dx其中其中 為引入的待定常數。為引入的待定常數。 得到的使泛函得到的使泛函 取極值的函數取極值的函數 即為即為原問題的解。原問題的解。 *Jy x yy x 問題問題 賽跑時運動員要根據自己的體力來合理安排速賽跑時運動員要根據自己的體力來合理安排速度是重要的技術問題。能充分發揮運動員的潛力。使得度是重要的技術問題。能充分發揮運動員的潛力。使得比賽的成績有所提高。那么如何安排體能使比賽成績達比賽的成績有所提高。那么如何安排體能

8、使比賽成績達到最佳？到最佳？ 假設假設 1.運動員能發揮出的最大沖力是有限的。在除了其它運動員能發揮出的最大沖力是有限的。在除了其它因素的干擾下，每個運動員認為自己的最大沖力是常數。因素的干擾下，每個運動員認為自己的最大沖力是常數。 2.在運動的時候，來自體外的阻力和來自體內的阻力在運動的時候，來自體外的阻力和來自體內的阻力存在，與速度成正比；存在，與速度成正比； 3.在運動過程中，運動員通過呼吸從外界吸入氧氣，在運動過程中，運動員通過呼吸從外界吸入氧氣，然后通過體內的消化系統、血液系統等進行新陳代謝作然后通過體內的消化系統、血液系統等進行新陳代謝作用，為運動員提供能量。假定運動員足夠強壯，使

9、得這用，為運動員提供能量。假定運動員足夠強壯，使得這種能量的提供速度在運動期間保持常量。種能量的提供速度在運動期間保持常量。 4.運動員在運動過程中體內所存儲的能量是逐漸減少運動員在運動過程中體內所存儲的能量是逐漸減少的。對每個運動員來說，在平時能提供的體能可設為常的。對每個運動員來說，在平時能提供的體能可設為常量。這個量就是運動剛開始時體能的初始值。量。這個量就是運動剛開始時體能的初始值。 建模建模 假設比賽距離為假設比賽距離為 運動員跑的時間為運動員跑的時間為 速度函數為速度函數為 則有則有,D,T ,v t 0.TDv t dt則問題轉變為求速度則問題轉變為求速度 使得在賽跑距離使得在賽

10、跑距離 一定時，一定時，賽跑時間賽跑時間 取得最小值。該問題等價于求速度函數取得最小值。該問題等價于求速度函數使得在賽跑時間一定時，賽跑的距離使得在賽跑時間一定時，賽跑的距離 取得最大值。取得最大值。 ,v tDT ,v tD 記記 為運動員能夠發揮出來的沖力函數。記為運動員能夠發揮出來的沖力函數。記 為為運動員的最大沖力，則有運動員的最大沖力，則有 f tF 00,0.f tF tTfF 記記 為體內外的總阻力系數。由假設為體內外的總阻力系數。由假設2總阻力為總阻力為1 ,v t則由牛頓定律，有則由牛頓定律，有 .v tdvmf tdt其中其中 為為運動員的質量。取為為運動員的質量。取 則則

11、式可寫為式可寫為m1.m 初始條件為初始條件為 00.v .v tdvf tdt從而問題轉變成如何控制函數從而問題轉變成如何控制函數 使得在賽跑時間使得在賽跑時間一定時，由一定時，由和和所確定的賽跑距離所確定的賽跑距離 達到最大。達到最大。 ,f tTD 記記 為運動員的體能函數，為運動員的體能函數， 為運動員體能的最為運動員體能的最大值，由假設大值，由假設4，知，知 為常量，且有為常量，且有 E t0E0E 000,0.E tE EE 記記 為在單位時間內由氧的新陳代謝為運動員所提供為在單位時間內由氧的新陳代謝為運動員所提供能量，由假設能量，由假設3， 為常量，單位時間內體能的變化為由為常量

12、，單位時間內體能的變化為由氧的新陳代謝為運動員所提供能量和所消耗的能量（為氧的新陳代謝為運動員所提供能量和所消耗的能量（為獲得速度獲得速度 而所作的功而所作的功 ）的差，即）的差，即 v t f tv t ,dE tf t v tdt現在的問題是：尋找合適的函數現在的問題是：尋找合適的函數 使使得在賽跑時間得在賽跑時間 一定時，由一定時，由，所確定的賽跑距所確定的賽跑距離離 達到最大值。達到最大值。T ,f tE tv tD 解模解模 把整個過程分成三個階段：初始階段、中間階段和最把整個過程分成三個階段：初始階段、中間階段和最后階段。后階段。 1.初始階段初始階段 這個階段的時間段為這個階段的

13、時間段為 其中其中 為待定的常量，且為待定的常量，且 在這個階段中，賽跑的速度為在這個階段中，賽跑的速度為10,t1t10,tT 1.v tv t 在這個階段中，假設運動員是以全力賽跑的，即以最在這個階段中，假設運動員是以全力賽跑的，即以最大的沖力在加速跑。此時即有大的沖力在加速跑。此時即有 從而方程從而方程為為 .f tF 11.v tdvFdt由由和初始條件和初始條件 可解出可解出 00.v /111 0,tv tv tFett 將將代入代入，則，則變成變成 2/1,tdE tFedt由由及初始條件可得及初始條件可得 222/01,tE tEFtFe10.tt 在在中應有中應有20.F因因

14、 及及 000,EE00,tdEdt lim,tE t 由連續函數的零點定理，知存在某個時刻由連續函數的零點定理，知存在某個時刻 使得使得,eT0.eE T若運動員賽跑的時間若運動員賽跑的時間 則運動員應該以最大的沖則運動員應該以最大的沖力去賽跑，此時賽跑只有初始階段，即力去賽跑，此時賽跑只有初始階段，即,eTT1.tT /1111, 0.tv tv tFetT 2/101 .TTTDv t dtFe如果讓運動員用最大沖力去跑，而要保持如果讓運動員用最大沖力去跑，而要保持 則則能跑的最大距離為能跑的最大距離為 0,E t /2101 .eeTTeeTDv t dtFe所以，若賽程不超過所以，若

15、賽程不超過 則運動員應該以最大的沖力來則運動員應該以最大的沖力來跑才是最優策略。跑才是最優策略。,eD 2.最后階段最后階段 設此階段為設此階段為 其中其中 為待定參數，且為待定參數，且而賽跑速度為而賽跑速度為2,t T2t12.ttT 3.v tvt 假設在這個時段中運動員已經把全部存儲的能量使用假設在這個時段中運動員已經把全部存儲的能量使用完了，而是依靠在完了，而是依靠在 時獲得的速度的慣性來沖刺。因此時獲得的速度的慣性來沖刺。因此有有2t 120,.E tttT將將代入代入，得，得 333,dE tdvtvtvtdtdt由條件由條件，得，得 333.dvtvtvtdt該方程可寫成該方程可

16、寫成相應的解為相應的解為 22232,ttv tvtvte 22331,2d vtvtdt2.ttT 其中其中 為這個階段的初始速度。為這個階段的初始速度。 2v t 3.中間階段中間階段 為了確定數值為了確定數值 設該階段為設該階段為 賽跑速賽跑速度為度為 現求取得最大賽程現求取得最大賽程 時的速度時的速度 12, ,t t v t12,t t 2.v tvtD .v t 由于在初始階段和最后階段的速度都已經有了相應的由于在初始階段和最后階段的速度都已經有了相應的表達式表達式和和，故賽程為，故賽程為 121/201ttttD v tFedtvt dt 2212222.ttTtvtedt其中其

17、中 還滿足還滿足 v t 20.E t 由方程由方程及初始條件，得方程及初始條件，得方程 22001.2tvtE tEtvt dt當當 時得到時得到2tt 1222200112ttvtE tEtFedt 21210.ttvt dt 現在的問題是，在條件現在的問題是，在條件滿足的條件下，求泛函滿足的條件下，求泛函的的極值。由極值。由Lagrange乘數法，作輔助泛函乘數法，作輔助泛函 2,2I v tD v tE t在上式中將與在上式中將與 無關的量略去，則可寫成無關的量略去，則可寫成 v t 2122ttI v tv tvtdt 211/22/222,4Ttttvtedtvt在上式中，第一項依

18、賴于在上式中，第一項依賴于 后兩項依賴于數值后兩項依賴于數值 ,v t 2,v t 20,2dv tvtdv因而上式是對函數因而上式是對函數 的泛函極值問題。對函數的泛函極值問題。對函數 是是函數的極值問題，由函數的極值問題，由Eular方程，有方程，有 v t 2v t 211/22/2122 0.4Ttttdvtedtdv tvt即即 10,2v t 2221/22/2/222Ttttttttvtev tedt 20.2v t從中解出從中解出 212, .v tvtttt 4.確定參數確定參數 因因 是連續函數，故在是連續函數，故在 時有時有 v t1tt即得即得 2221/22/2/222.Ttttttttvteedt(21)(21) 111211,tFev tvt(22)(22)11.1tFe(24)(24)在在(21)(21)中將中將 代入后積分得代入后積分得 2v t在最后階段能量為零，把在最后階段能量為零，把 代入能量公式代入能量公式，并積，并積分得分得 3vt21/222/222./tTe (24)(24) 1122122221023 2.22ttttE tttFtee(25)由由(23)、(24)和和(25)可確定三個參數，由此可確定速度可確定三個參