1、追及、相遇問(wèn)題追及、相遇問(wèn)題作者：易思夏亮在同一直線上的追及相遇問(wèn)題在同一直線上的追及相遇問(wèn)題【模型概述】【模型概述】追及和相遇問(wèn)題是一類(lèi)常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，從時(shí)間追及和相遇問(wèn)題是一類(lèi)常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，從時(shí)間和空間的角度來(lái)講，相遇是指同一時(shí)刻到達(dá)同一位和空間的角度來(lái)講，相遇是指同一時(shí)刻到達(dá)同一位置。可見(jiàn)，相遇的物體必然存在以下兩個(gè)關(guān)系：一置。可見(jiàn)，相遇的物體必然存在以下兩個(gè)關(guān)系：一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關(guān)系。若同地出發(fā)，相遇時(shí)位移相等為空間條件。移關(guān)系。若同地出發(fā)，相遇時(shí)位移相等為空間條件。二是相遇物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也存在一定的關(guān)系

2、。若物二是相遇物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也存在一定的關(guān)系。若物體同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等；若甲比乙早出發(fā)體同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等；若甲比乙早出發(fā)t，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為 。要使物體相遇就必。要使物體相遇就必須同時(shí)滿(mǎn)足位移關(guān)系和運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系。須同時(shí)滿(mǎn)足位移關(guān)系和運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系。ttt乙甲【模型講解】【模型講解】1. 1. 利用不等式求解利用不等式求解例例1：甲、乙兩物體相距甲、乙兩物體相距s，在同一直線上同，在同一直線上同方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后就保持靜止方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后就保持靜止不動(dòng)。甲物體在前，初速度為不動(dòng)。甲物體在前，初速度為v1 1，加速度大小，加速度大小為為a1 1。乙

3、物體在后，初速度為。乙物體在后，初速度為v2 2，加速度大小，加速度大小為為a2 2且知且知v1 1vv2 2，但兩物體一直沒(méi)有相遇，求甲、，但兩物體一直沒(méi)有相遇，求甲、乙兩物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相距的最小距離為多少？乙兩物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相距的最小距離為多少？22212122avavss2211avavtavtavv2211共解析：解析：若是若是 ，說(shuō)明甲物體先停止運(yùn)動(dòng)或甲、乙同時(shí)說(shuō)明甲物體先停止運(yùn)動(dòng)或甲、乙同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有兩停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有兩物體都停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，才相距最近，可得最近距離為物體都停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，才相距最近，可得

4、最近距離為若是 說(shuō)明乙物體先停止運(yùn)動(dòng)那么兩物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總存在速度相等的時(shí)刻，此時(shí)兩物體相距最近，根據(jù) 求得 1212aavvt在t時(shí)間內(nèi) 甲的位移tvvs211共乙的位移tvvs222共代入表達(dá)式21ssss求得)(2)(1212aavvss評(píng)點(diǎn)：評(píng)點(diǎn)：本題是一個(gè)比較特殊的追及本題是一個(gè)比較特殊的追及問(wèn)題（減速追減速）。求解時(shí)要對(duì)各問(wèn)題（減速追減速）。求解時(shí)要對(duì)各種可能的情況進(jìn)行全面分析，先要建種可能的情況進(jìn)行全面分析，先要建立清晰的物理圖景。本題的特殊點(diǎn)在立清晰的物理圖景。本題的特殊點(diǎn)在于巧妙地通過(guò)比較兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的于巧妙地通過(guò)比較兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的長(zhǎng)短尋找兩物體相距最近的臨界條件。長(zhǎng)短

5、尋找兩物體相距最近的臨界條件。2. 2. 巧用圖象法求解巧用圖象法求解例2：如圖1所示，聲源S和觀察者A都沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于地面的速率分別為和空氣中聲音傳播的速率為，設(shè)空氣相對(duì)于地面沒(méi)有流動(dòng)。圖圖1（1 1）若聲源相繼發(fā)出兩個(gè)聲信號(hào)。時(shí)間間隔）若聲源相繼發(fā)出兩個(gè)聲信號(hào)。時(shí)間間隔為為 ，請(qǐng)根據(jù)發(fā)出的這兩個(gè)聲信號(hào)從聲源傳播，請(qǐng)根據(jù)發(fā)出的這兩個(gè)聲信號(hào)從聲源傳播到觀察者的過(guò)程。確定觀察者接收到這兩個(gè)聲到觀察者的過(guò)程。確定觀察者接收到這兩個(gè)聲信號(hào)的時(shí)間間隔信號(hào)的時(shí)間間隔 。 （2 2）請(qǐng)利用（）請(qǐng)利用（1 1）的結(jié)果，推導(dǎo)此情形下觀察）的結(jié)果，推導(dǎo)此情形下觀察者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出的聲波頻率

6、間者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出的聲波頻率間的關(guān)系式。的關(guān)系式。t tPASvvv、解析：作聲源解析：作聲源S、觀察者、觀察者A、聲信號(hào)、聲信號(hào)P（P1 1為首發(fā)聲信號(hào)，為首發(fā)聲信號(hào)，P2 2為再發(fā)聲信號(hào)）的位移為再發(fā)聲信號(hào)）的位移時(shí)間圖象如圖時(shí)間圖象如圖2所示圖線的斜所示圖線的斜率即為它們的速度率即為它們的速度 則有則有兩式相減可得：解得（2）設(shè)聲源發(fā)出聲波的振動(dòng)周期為）設(shè)聲源發(fā)出聲波的振動(dòng)周期為T(mén)，這，這樣，由以上結(jié)論，觀察者接收到的聲波振動(dòng)樣，由以上結(jié)論，觀察者接收到的聲波振動(dòng)的周期為的周期為由此可得，觀察者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出聲波頻率間的關(guān)系為評(píng)點(diǎn)：圖象分速度圖象和位移圖象，位移圖

7、線的斜率為速度，速度圖線的斜率為加速度，速度圖線與時(shí)間軸所圍的“面積”值，等于該段時(shí)間內(nèi)的位移大小。3. 3. 妙取參照物求解妙取參照物求解例例3：火車(chē)甲正以速度火車(chē)甲正以速度v1 1向前行駛，司機(jī)向前行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)前方距甲突然發(fā)現(xiàn)前方距甲d處有火車(chē)乙正以較小速處有火車(chē)乙正以較小速度度v2 2同向勻速行駛，于是他立即剎車(chē)，使同向勻速行駛，于是他立即剎車(chē)，使火車(chē)做勻減速運(yùn)動(dòng)而停下。為了使兩車(chē)不火車(chē)做勻減速運(yùn)動(dòng)而停下。為了使兩車(chē)不相撞，加速度相撞，加速度a應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？解析：設(shè)以火車(chē)乙為參照物，則甲相對(duì)乙做初解析：設(shè)以火車(chē)乙為參照物，則甲相對(duì)乙做初速為速為 、加速度為、加速度

8、為a a的勻減速運(yùn)動(dòng)。若甲的勻減速運(yùn)動(dòng)。若甲相對(duì)乙的速度為零時(shí)兩車(chē)不相撞，則此后就不相對(duì)乙的速度為零時(shí)兩車(chē)不相撞，則此后就不會(huì)相撞。因此，不相撞的臨界條件是：甲車(chē)減會(huì)相撞。因此，不相撞的臨界條件是：甲車(chē)減速到與乙車(chē)車(chē)速相同時(shí)，甲相對(duì)乙的位移為速到與乙車(chē)車(chē)速相同時(shí)，甲相對(duì)乙的位移為d d。)(21vv 即:故不相撞的條件為:【模型要點(diǎn)】【模型要點(diǎn)】追及、相遇問(wèn)題特點(diǎn)：討論追及、相遇追及、相遇問(wèn)題特點(diǎn)：討論追及、相遇的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是分析討論兩物體在的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是分析討論兩物體在相同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置問(wèn)相同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置問(wèn)題。一定要抓住兩個(gè)關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系題。一定要抓住

9、兩個(gè)關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。一個(gè)條件：即兩者速度相和位移關(guān)系。一個(gè)條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上等，它往往是物體間能否追上、追不上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)。也是分析判斷的切入點(diǎn)。【特別說(shuō)明】【特別說(shuō)明】1. 1. 勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追同向勻速運(yùn)動(dòng)物體勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追同向勻速運(yùn)動(dòng)物體若二者速度相等時(shí)，追趕者仍沒(méi)有追上被追若二者速度相等時(shí)，追趕者仍沒(méi)有追上被追趕者，則追趕者永遠(yuǎn)追不上被追趕者，此時(shí)二趕者，則追趕者永遠(yuǎn)追不上被追趕者，此時(shí)二者有最小距離；若二者相遇時(shí)，追趕者的速度者有最小距離；若二者相遇時(shí)，

10、追趕者的速度等于被追趕者的速度，則剛好追上，也是二者等于被追趕者的速度，則剛好追上，也是二者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時(shí)，追趕者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時(shí)，追趕者的速度仍大于被追趕者的速度，則還有一次被的速度仍大于被追趕者的速度，則還有一次被被追趕者追上追趕者的機(jī)會(huì)，其間速度相等時(shí)被追趕者追上追趕者的機(jī)會(huì)，其間速度相等時(shí)二者的距離有一個(gè)最大值。二者的距離有一個(gè)最大值。2. 初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體追同向勻速運(yùn)動(dòng)的物體只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，追趕者一定能追上被追趕者發(fā)生碰撞。當(dāng)二者速度相等時(shí)有最大距離。若位移相等即追上（同一地點(diǎn)出發(fā)）。在相遇問(wèn)題中，同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追到即相遇，解決方法同上

11、；相向運(yùn)動(dòng)的物體，各自發(fā)生的位移絕對(duì)值之和為開(kāi)始時(shí)兩物體間的距離時(shí)即相遇。【模型演練】【模型演練】（2005年徐州模考）在一條平直的公路上，年徐州模考）在一條平直的公路上，乙車(chē)以乙車(chē)以10m/s的速度勻速行駛，甲車(chē)在乙車(chē)的后的速度勻速行駛，甲車(chē)在乙車(chē)的后面作初速度為面作初速度為15m/s，加速度大小為，加速度大小為0.5m/s2 2的勻的勻減速運(yùn)動(dòng)，則兩車(chē)初始距離減速運(yùn)動(dòng)，則兩車(chē)初始距離L滿(mǎn)足什么條件時(shí)滿(mǎn)足什么條件時(shí)可以使可以使（1）兩車(chē)不相遇；）兩車(chē)不相遇；（2）兩車(chē)只相遇一次；）兩車(chē)只相遇一次；（3）兩車(chē)能相遇兩次（設(shè)兩車(chē)相遇時(shí)互不影）兩車(chē)能相遇兩次（設(shè)兩車(chē)相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng)）。響各

12、自的運(yùn)動(dòng)）。答案：設(shè)兩車(chē)速度相等經(jīng)歷的時(shí)間為答案：設(shè)兩車(chē)速度相等經(jīng)歷的時(shí)間為t，則甲，則甲車(chē)恰能追及乙車(chē)時(shí)，應(yīng)有車(chē)恰能追及乙車(chē)時(shí)，應(yīng)有其中，解得若，則兩車(chē)等速時(shí)也未追及，以后間距會(huì)逐漸增大，及兩車(chē)不相遇。，則兩車(chē)等速時(shí)恰好追及，兩車(chē)只相遇一次，以后間距會(huì)逐漸增大。，則兩車(chē)等速時(shí)，甲車(chē)已運(yùn)動(dòng)至乙車(chē)前面，以后還能再次相遇，即能相遇兩次。若若不在同一直線上的追及相遇問(wèn)題不在同一直線上的追及相遇問(wèn)題【模型概述】【模型概述】不在一條直線上的相遇問(wèn)題在近年高考不在一條直線上的相遇問(wèn)題在近年高考中也較為常見(jiàn)，如中也較為常見(jiàn)，如2000年的上海高考中的年的上海高考中的“估算出飛機(jī)速度估算出飛機(jī)速度”，2004

13、年廣西高考年廣西高考“觀察者看衛(wèi)星觀察者看衛(wèi)星”等，該類(lèi)問(wèn)題其實(shí)是兩等，該類(lèi)問(wèn)題其實(shí)是兩種不在一條直線上的運(yùn)動(dòng)或不同運(yùn)動(dòng)的組種不在一條直線上的運(yùn)動(dòng)或不同運(yùn)動(dòng)的組合體，在空間上在某一時(shí)刻到達(dá)同一位置。合體，在空間上在某一時(shí)刻到達(dá)同一位置。【模型講解】【模型講解】例例. 有一個(gè)很大的湖，岸邊（可視湖岸為有一個(gè)很大的湖，岸邊（可視湖岸為直線）停放著一艘小船，纜繩突然斷開(kāi)，直線）停放著一艘小船，纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15角，角，速度為速度為2.5km/h。同時(shí)岸上一人從停放點(diǎn)。同時(shí)岸上一人從停放點(diǎn)起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為起追趕小船，已知他在岸上

14、跑的速度為4.0km/h，在水中游的速度為，在水中游的速度為2.0km/h，問(wèn)，問(wèn)此人能否追及小船？此人能否追及小船？解析：解析：費(fèi)馬原理指出：光總是沿著光程為極小費(fèi)馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播。據(jù)此就將一個(gè)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題通過(guò)類(lèi)比值的路徑傳播。據(jù)此就將一個(gè)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題通過(guò)類(lèi)比法可轉(zhuǎn)化為光的折射問(wèn)題。法可轉(zhuǎn)化為光的折射問(wèn)題。如圖所示，船沿如圖所示，船沿OP方向被刮跑，設(shè)人從方向被刮跑，設(shè)人從O點(diǎn)出點(diǎn)出發(fā)先沿湖岸跑，在發(fā)先沿湖岸跑，在A點(diǎn)入水游到點(diǎn)入水游到OP方向的方向的B點(diǎn)，點(diǎn)，如果符合光的折射定律，則所用時(shí)間最短。如果符合光的折射定律，則所用時(shí)間最短。根據(jù)折射定律：解得在這最短時(shí)間內(nèi)，若船還未到達(dá)在這最短時(shí)間內(nèi)，若船還未到達(dá)B點(diǎn)，則人能追上小船，點(diǎn)，則人能追上小船，若船已經(jīng)通過(guò)了若船已經(jīng)通過(guò)了B點(diǎn)，則人不能追上小船，所以船剛好點(diǎn)，則人不能追上小船，所以船剛好能到達(dá)能到達(dá)B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的船速就是小船能被追及的最大船速點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的船速就是小船能被追及的最大船速mv根據(jù)正弦定理又由以上兩式可解得：此即小船能被人追上的最大速度，而小船實(shí)際速度只有2.5km/h，小于，所以人能追上小船。)210(2|21、nnn2|21【特別說(shuō)明】【特別說(shuō)明】圓周運(yùn)動(dòng)中的相遇