1、3.7 曲曲 率率弧微分弧微分曲率及其計算公式曲率及其計算公式曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑小結小結 思考題思考題 作業作業(curvature)(arc element) 前面講了單調性、極值、最值、凹凸性。前面講了單調性、極值、最值、凹凸性。我們知道凹凸性反映的是曲線的彎曲方向，但我們知道凹凸性反映的是曲線的彎曲方向，但是朝同一方向彎曲的兩條曲線，其彎曲的程度是朝同一方向彎曲的兩條曲線，其彎曲的程度也不盡相同。曲率就是表征彎曲程度的量，它也不盡相同。曲率就是表征彎曲程度的量，它等于單位路程上方向角度等于單位路程上方向角度切線的傾斜角切線的傾斜角的改變量。的改變量。2一、弧微分一、弧微分N

2、RTA0 xMxxx .),()(內具有連續導數內具有連續導數在區間在區間設函數設函數baxfxyo),(:00yxA基點基點,),(為任意一點為任意一點yxM;)1(增大的方向一致增大的方向一致曲線的正向與曲線的正向與x,)2(sAM .,取負號取負號相反時相反時取正號取正號一致時一致時的方向與曲線正向的方向與曲線正向當當ssAM 規定規定3 為了得出曲線為了得出曲線 y = f (x) 的曲率公式的曲率公式, 先計算弧長函數先計算弧長函數s(x)對對x的微分的微分,稱為弧微稱為弧微分分.4)(xss 單調增函數單調增函數.),(yyxxM 設設如圖，如圖，, xx 的的增增量量設設對對應應

3、于于, s sMM 0 MM0MM 于是于是 2xs2 xMM 2)( x 2MM|MM 2|MM 2 MM|MM 222)()()(xyx 2 MM|MM 21xy弧弧 s的增量為的增量為那末那末xyOsxM0 x0Mxx M s x y 5 xs2 xs2 MM|MM 21xy0 x令令取極限取極限,MM 221|xyMMMM|limMMMMMM 即即1 又又yxyx 0lim得得 xsdd.d1d2xys 故故弧微分公式弧微分公式21y )(xss 為單調增函數為單調增函數,xyOsxM0 x0Mxx M s x y 6如將如將.)d()d(d22yxs 則則如如曲曲線線),(yxx ,

4、d)(dttx .d)()(d22ttts .d1d2yxs sin)(cos)(yx代入公式代入公式,得得.d)()(d22 sxysd1d2 弧微分公式弧微分公式,d)(dtty ),(),(tytx )( 可化為參數方程形式可化為參數方程形式如曲線以極坐標方程給出如曲線以極坐標方程給出如曲線為參數方程如曲線為參數方程xd寫到根式內寫到根式內,得得考慮：弧微分的幾何意義？考慮：弧微分的幾何意義？二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式曲率是描述曲線局部性質彎曲程度的量。曲率是描述曲線局部性質彎曲程度的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度越大弧段彎曲程度越

5、大,轉角越大轉角越大轉角相同，轉角相同，弧段越短，彎曲程度越大弧段越短，彎曲程度越大1.曲率的定義曲率的定義1 ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（設曲線設曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點點M,sMM （. 切切線線轉轉角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點在點M處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss .dsdK 8例例1 1 (1) 直線的曲率直線的曲率(2) 圓上各點處的曲率圓上各點處的曲率 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;ss 0limdsdK ss 0lim0，0 圓上各點處的曲率等于半徑

6、的倒數圓上各點處的曲率等于半徑的倒數.ss 0limdsdK rsrs1lim0 ，r1 圓的半徑越小曲率越大圓的半徑越小曲率越大.92.曲率的計算公式曲率的計算公式,)(二二階階可可導導設設xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds ,),(),(二階可導二階可導設設 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 10(1)(2),ddsK 例例2 2?2上上哪哪一一點點的的曲曲率率最最大大拋拋物物線線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2

7、(12232baxak 顯然顯然,2時時當當abx .最大最大k,)44,2(2為拋物線的頂點為拋物線的頂點又又aacbab .拋物線在頂點處的曲率最大11322.(1)yky公式：例例 3 的曲率最小？的曲率最小？ t為何值時為何值時, 曲線曲線)2, 0(),cos1();sin( ttayttax 求出最小曲率求出最小曲率, 寫出該點的曲率半徑寫出該點的曲率半徑.解解 232)(1|)(yytK 要使要使K(t)最小最小, 等價于等價于 最大最大, 故當故當 即即 t曲率最小曲率最小, 且且,41minaK .41aKR ,|2sin|41ta, 1|2sin| t|2sin|t 擺線擺

8、線三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點稱此圓為曲線在點如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側取一點在凹的一側取一點處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點在點處的曲率為處的曲率為在點在點設曲線設曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,曲率中心曲率中心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo131.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數曲率互為倒數.1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線

9、在該點曲線在該點處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似稱為曲線在該點附近的二次近似).曲率圓曲率圓y=y(x)與曲線與曲線y=f(x)的關系的關系:過同一點過同一點有公切線有公切線圓弧與曲線在該點處曲率相等，且彎曲方向相同圓弧與曲線在該點處曲率相等，且彎曲方向相同14 例例4 設工件表面的截線為拋物線設工件表面的截線為拋物線y0.4x2. 現在要現在要用砂輪磨削其內表面用砂輪磨削其內表面.

10、問用直徑多大的砂輪才比較合適？問用直徑多大的砂輪才比較合適？ 解 砂輪的半徑不應大于拋物線頂點處的曲率半徑 拋物線頂點處的曲率半徑為拋物線頂點處的曲率半徑為 r=K-11.25 因而, 選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長 即直徑不得超過2.50單位長 y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它們代入曲率公式 得232)1 (|yyK 08 15四、小結四、小結運用微分學的理論運用微分學的理論,研究曲線和曲面的性研究曲線和曲面的性質的數學分支質的數學分支微分幾何學微分幾何學.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圓曲率圓.曲線彎曲程度的描述曲線彎曲程度的描述曲率曲率;曲線

11、弧的近似代替曲率圓曲線弧的近似代替曲率圓(弧弧).16作業作業習題習題3-7(1753-7(175頁頁) )3. 5. 圖形描繪的步驟圖形描繪的步驟作圖舉例作圖舉例漸近線漸近線(asymptotic (asymptotic line)line)3.6 函數圖形的描繪函數圖形的描繪18 現在我們還不能很好地現在我們還不能很好地作出函數的圖形作出函數的圖形 , 因為還不因為還不知道如何求曲線的漸近線知道如何求曲線的漸近線 .中學就會求中學就會求了了.若動點若動點 P 沿著曲線沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向的某一方向無無限遠離坐標原點時限遠離坐標原點時, 動點動點 P 到一直線到一直線

12、 L 的距離的距離趨于零趨于零 , 則稱此直線則稱此直線 L 為曲線為曲線 y = f ( x ) 的一條的一條漸近線漸近線 . 一、曲線的漸近線一、曲線的漸近線曲線的漸近線曲線的漸近線水平漸近線水平漸近線垂直漸近線垂直漸近線1. 鉛直漸近線鉛直漸近線如如果果那么那么 0 xx0 xx 的的一一條條就就是是)(xfy 鉛直漸近線鉛直漸近線. )(limxf 或或 )(limxf 0 xx (垂直于垂直于x軸的漸近線軸的漸近線)222. 水平漸近線水平漸近線如果如果那么那么 )(limxfby 的一條的一條就是就是)(xfy 水平漸近線水平漸近線.xxb或或b(b(b為常數為常數) )(平行于平

13、行于x軸的漸近線軸的漸近線) )(limxf兩種漸近線的定義兩種漸近線的定義*3 斜漸近線斜漸近線有則曲線)(xfy 斜漸近線斜漸近線.bxky)(x或假假設設,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或( P75 題題13)函數圖形的描繪函數圖形的描繪Oxyxy1, 01limxx . 0 y水平漸近線, 1lim0 xx . 0 x垂直漸近線. sin 的漸近線求曲線xxy , 0sinlim xxx. sin 0 的水平漸近線是曲線xx

14、yyOxyxxysin0y 曲線可以穿過曲線可以穿過其漸近線其漸近線 .解解例例1. ln 的漸近線求曲線xy 的定義域： ln xy ) , 0(x, lnlim 0 xx是曲線 0 x. ln的垂直漸近線xy Oxyxyln1解解例例2例例. 求曲線求曲線211xy的漸近線的漸近線 .解解:2)211(limxx2 y為水平漸近線為水平漸近線;,)211(lim1xx1 x為垂直漸近線為垂直漸近線.21利用函數特性描繪函數圖形利用函數特性描繪函數圖形.確定函數的定義域、值域、間斷點確定函數的定義域、值域、間斷點,函數是否有奇偶性、周期性函數是否有奇偶性、周期性.斷定斷定和拐點和拐點,討論函

15、數的單調性和極值討論函數的單調性和極值,曲線的凹凸性曲線的凹凸性漸近線漸近線. 適當計算曲線上一些點的坐標適當計算曲線上一些點的坐標,是否與坐標軸是否有交點是否與坐標軸是否有交點.特別注意特別注意函數圖形的描繪函數圖形的描繪二、圖形描繪的步驟二、圖形描繪的步驟2829例例.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數作函數 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函數非奇非偶函數,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得得駐駐點點, 0)( xf令令. 3 x得得2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y水平漸近線水平漸近線三、作圖舉例三、作圖舉例2

16、)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x鉛直漸近線鉛直漸近線x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點拐點極小極小值值間間斷斷點點3 )926, 3( 無斜漸近線無斜漸近線.3)2(4)(xxxf 4)3(8)(xxxf 2)1(4)(2 xxxf列表確定函數單調區間列表確定函數單調區間,凹凸區間及極值點和拐點凹凸區間及極值點和拐點:30),0 , 31( ),2, 1( ),6 , 1().1 , 2(作圖作圖2)1(4)(2 xxxf拐點拐點)926, 3( 極小值極小值3)2( f補充點補充點),

17、0 , 31( x)(xf )(xf)(xf )3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( 2 0 0 不存在不存在 0 拐點拐點極小值極小值間間斷斷點點, 2 y. 0 x水平漸近線水平漸近線: :垂直漸近線垂直漸近線: :xyO3 1 6 2 2 1 1 2 3函數圖形的描繪函數圖形的描繪. ) 1() 1( 23的圖形作出函數xxy :函數的定義域. ) , 1() 1 ,(x, ) 1()5() 1(32xxxy, ) 1() 1(244 xxy , 5 , 1 , 0 xxy得駐點令 , 1 , 0 xy得拐點可疑點令解解xyy y)5 ,(5) 1 , 5(1) 1 ,

18、1(1) , 1 (000極大極大拐點拐點例例, 5 : x極大點, 5 .13)5( : f極大值. )0 , 1 ( 拐點為 , ) 1() 1(lim23xxx曲線無水平漸近線曲線無水平漸近線 . , ) 1() 1(lim231xxx. 1為垂直漸近線x1) 1() 1(lim)(lim23xxxxxfxx1a5) 1(125lim)(lim22xxxxaxfxx5b . 5 xy曲線有斜漸近線 . ) 1 , 0( ,軸相交于點曲線與此外yOxy15 xy523) 1() 1(xxy5 .130) (1,63912-3-6-9-12-153-3(- , -3) (-3, 3)3(3, 6)6(6, (6, ) )x yf(x)的圖形 11/311/3拐點拐點4 4極大極大 鉛直漸近線為x=-3, 水平漸近線為y=1 f(0)=1 f(-1)=-8 f(-9)=-8 f(-15)=-11/4 y=1x=-3(3,4)311, 6(-1,-8)(-9,-8)411,15(例 3 作函數2) 3(361xxy的圖形 練習練習 解 函數性態分析表:36xy