1、 剛體剛體不發生形變的理想物體不發生形變的理想物體實際物體在外力作用下發生的形變效應不顯著可被忽略實際物體在外力作用下發生的形變效應不顯著可被忽略時時,即可將其視作剛體即可將其視作剛體剛體內各質點之間的距離保持不變剛體內各質點之間的距離保持不變 剛體的平動與轉動剛體的平動與轉動剛體運動時，其上各質點的運動狀態（速度、加速度、剛體運動時，其上各質點的運動狀態（速度、加速度、位移）總是相同，這種運動稱為平動位移）總是相同，這種運動稱為平動 剛體運動時，如果剛體的各個質點在運動中都繞同一剛體運動時，如果剛體的各個質點在運動中都繞同一直線做圓周運動，這種運動稱為轉動，而所繞直線便直線做圓周運動，這種運

2、動稱為轉動，而所繞直線便稱為軸若轉軸是固定不動的，剛體的運動就是定軸稱為軸若轉軸是固定不動的，剛體的運動就是定軸轉動轉動 剛體內各質點角速度總相同剛體內各質點角速度總相同 質心質心 質心運動定律質心運動定律能代表整個剛體的平動能代表整個剛體的平動,運動規律等效于全部質量及外運動規律等效于全部質量及外力集中于此的某一點力集中于此的某一點.從質心的等效意義出發從質心的等效意義出發:0 xx1x2m1m2iiCiiiCiiiCimxxmmyymmzzm 以質心為坐標原點以質心為坐標原點r=0im =cFma xitan-1kH =Hhnn 2=iHHmkinn O1limniinicm xxV 21

3、2lim/3nniHHHkiinnnkH 34113limnniHin 34CxH xy0 =2nn Ri =2iin i 212lim2cos(cos)sin=niiiniCmRRRRxm 214limcossinniiniR 1limsin3sinniiniR 1limsin3sinniiniR 11sin3sin3sinsin2 32222lim23322sinsin22nnnnnR 2 11lim23 22nR 43CxR 對題中圓盤對題中圓盤: 212344cRx 22123412344443cRRRy 0cx 815cRy 如圖，一個圓盤半徑為如圖，一個圓盤半徑為R，各處厚度一樣，

4、各處厚度一樣，在每個象限里，各處的密度也是均勻的，但不同象限里的密度則在每個象限里，各處的密度也是均勻的，但不同象限里的密度則不同，它們的密度之比為不同，它們的密度之比為 1 2 3 4，求這圓，求這圓盤的質心位置盤的質心位置 1 2 3 4 1yx432解解: : 21234443RR 2hh 以靜止水的質心為坐標原以靜止水的質心為坐標原點，建立如圖所示坐標，點，建立如圖所示坐標， Oxy 當振動高度為當振動高度為h時，質心時，質心坐標為：坐標為： 1112223 222623 24LLLLLLLhhhxL hhh 212222236hhhhh Lh LhyL hhh 由上可得由上可得 22

5、6yhxL OxymgF回回yFmgx 質心沿拋物線做往復運質心沿拋物線做往復運動動,回復力為重力之分力回復力為重力之分力: 2226xxxhmgLx 212mghxL 質心做諧振質心做諧振,周期為周期為 2212TLhg 轉動慣量轉動慣量量度剛體轉動中慣性大小的物理量量度剛體轉動中慣性大小的物理量,等于剛體中每個等于剛體中每個質點的質量質點的質量mi與該質點到轉軸的距離與該質點到轉軸的距離ri的平方的乘的平方的乘積的總和積的總和.2i iJm r 2Jmr 21limni iniJm r 221lim2nnimrrriin nnr 23411lim2nnimrin 212Jmr 22122r

6、rJm 212Jmr 212Jmr 轉軸214Jmr 22412mrmlJ 21limni iniJm r xy0Ri i =2nn =2iin 214 limsin4ninimrn 2222211limsinsin 2sinsin22nnimrn n項項212Jmr 2cJJm d miRirid xCyiO 222112cosnni iiiiiiJm rmRddR 221112cosnnniiiiiiiiim Rm ddm R 1niiim x 0 mR2cJJmd 由由22mRmR 22m R 22112 lim4222nnimmlJrinnn 22231lim44nnim rm lin

7、 22412mrml MM2a2aO22MaJ 圓圓 22cJJMa 桿桿C212 lim2ncniMaaJiann 其其 中中2243MaMa OJJJ 圓圓桿桿2296Ma 212nxyzi iiJJJm r 對任意的剛體，任取直角三維坐標對任意的剛體，任取直角三維坐標Oxyz，剛體對，剛體對x、y、z軸的轉動慣量分別為軸的轉動慣量分別為Jx、Jy、Jz，則有，則有 221nxiiiiJmyz xyzOxiyizirimi 221nyiiiiJmxz 221nziiiiJmxy 22212xyzniiiiiJJJmxyz 2ir 2132 limni iniJm r 22mr 223Jmr

8、 球殼球殼 實心實心球球2132 limni iniJm r 22312 lim44/ 3nnimrrriinnnr 245116limnnimrin 225Jmr 解解: :xx 已知已知:Jx=J00yxJJJ y202i iJm r y OxJ 求求: :? ?yxJJ 22xi iJm r 0 xJJ 解解: :RZ1Z2ZZ222xzi iJJmr 2342zi iJJJm r 342xJJJ22mR 222412mRmR 21324xmRJ Z 如圖所示，質量為如圖所示，質量為m的均勻圓柱體，截的均勻圓柱體，截面半徑為面半徑為R，長為，長為2R試求圓柱體繞通過質心及兩底面試求圓柱體

9、繞通過質心及兩底面邊緣的轉軸（如圖中的邊緣的轉軸（如圖中的Z1、Z2）的轉動慣量）的轉動慣量J yxO由正交軸定理由正交軸定理: 22ABiiiJJmxy 由橢圓方程由橢圓方程:22221xyAB 解解: :2222iAAyB 2222ABABAJJmAJB 222ABJAmAJB 橢圓細環的半長軸為橢圓細環的半長軸為A，半短軸為，半短軸為B，質量為質量為m（未必勻質），已知該環繞長軸的轉動慣量為（未必勻質），已知該環繞長軸的轉動慣量為JA，試求該環繞短軸的轉動慣量，試求該環繞短軸的轉動慣量JB 221ni iiJm rkma 轉動慣量的表達式常表現為形式轉動慣量的表達式常表現為形式m是剛體的

10、質量，是剛體的質量，a是剛體相應的幾何長度，只要確是剛體相應的幾何長度，只要確定待定系數定待定系數k，轉動慣量問題便迎刃而解，轉動慣量問題便迎刃而解O OaM2OOJkMa 設設則有則有22244244MaMakkMa 112k 212OOMaJ PQO C32d將立方體等分為邊長為將立方體等分為邊長為a/2的的八個小立方體，其中六個小八個小立方體，其中六個小立方體體對角線到大立方體立方體體對角線到大立方體體對角線距離體對角線距離 解解: :26263ada222226828286mamamakmakk 16k 26PQJma 如圖所示，勻質立方體的邊長為如圖所示，勻質立方體的邊長為a，質量為

11、質量為m試求該立方體繞對角線軸試求該立方體繞對角線軸PQ的轉動慣量的轉動慣量J O 描述轉動狀態的物理量描述轉動狀態的物理量0limtt 0limtt ar 2i i ii im v rmLrJ 2222111222i iikim vm rJE MFd AM IMt 剛體的定軸轉動與質點的直線運動剛體的定軸轉動與質點的直線運動角動量原理角動量原理MtJtJ0 動量定理動量定理 Ftm vtm v0 (恒恒 力力) 轉動定律轉動定律 M=J 牛頓運動定律牛頓運動定律Fma勻變速直線運動勻變速直線運動 勻速直線運動勻速直線運動: svt 加速度加速度a 角速度角速度 速度速度v角位移角位移位移位移

12、s剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 質點的直線運動質點的直線運動0limtsvt 0limtt 0limtvat 角加速度角加速度 0limtt 勻角速轉動勻角速轉動: t 勻變速轉動勻變速轉動: 0tvvat 2012Sv tat2012tt2202tvvaS 0tt 2202t 動能定理動能定理轉動動能定理轉動動能定理2201122tFSmvmv2201122tMJJ 動量守恒定律動量守恒定律mv 恒恒量量 角動量守恒定律角動量守恒定律J 恒恒量量 飛輪質量飛輪質量60 kg,直徑直徑d=0.50 m閘瓦閘瓦與輪間與輪間=0.4;飛輪質量分布在外層飛輪質量分布在外層圓周圓周,要求在要求在t=5

13、 s內制動內制動,求求F力大小力大小.解解: :221000220ss6053t 1000r/min F0.50m0.75m 對飛輪對飛輪2215kg m24dJmfMJ 其中其中fN2fdMN 對制動桿對制動桿FNf0.51.25NF 52F100 NF AB質量質量為為m的均勻細桿由豎直受一微擾倒下的均勻細桿由豎直受一微擾倒下,求夾角為求夾角為時時,質心速度及桿的角速度質心速度及桿的角速度BC解解: :質心不受水平方向作用質心不受水平方向作用,做自由下落運動做自由下落運動!由機械能守恒由機械能守恒: 22111cos222lmgmvJ vvBvn由相關速度由相關速度:sinsin2nlvv

14、 桿對質心的轉動慣量桿對質心的轉動慣量:221lim212nnimllmlJilnn 2121cos13singl 231cossin13sinvgl 著地時著地時,兩桿瞬時轉軸為兩桿瞬時轉軸為A(B) 解解: :BA由機械能守恒由機械能守恒: 212222hmgJ 其中各桿其中各桿: 2221223mllmlJm cvl 221223cvmlmghl 則則3chvg 得得vch 如圖，兩根等重的細桿如圖，兩根等重的細桿AB及及AC，在，在C點用鉸鏈點用鉸鏈連接，放在光滑水平面上，設兩桿由圖示位置無初速地開始運動，連接，放在光滑水平面上，設兩桿由圖示位置無初速地開始運動，求鉸鏈求鉸鏈C著地時的

15、速度著地時的速度 軸心降低軸心降低h過程中機械能守恒過程中機械能守恒 解解: :Bhv212PmghJ 其中圓柱體對軸其中圓柱體對軸P的轉動慣量的轉動慣量 222322PmrmrJmr Pvr 23vgh T由轉動定律由轉動定律: TrJ 22mrar mgTma 由質心運動定律由質心運動定律: 13Tmg 如圖，圓柱體如圖，圓柱體A的質量為的質量為m，在其中部繞以細，在其中部繞以細繩，繩的一端繩，繩的一端B固定不動，圓柱體初速為零地下落，當其軸心降固定不動，圓柱體初速為零地下落，當其軸心降低低h時，求圓柱體軸心的速度及繩上的張力時，求圓柱體軸心的速度及繩上的張力 純滾動時圓柱角速度由機械能守

16、恒純滾動時圓柱角速度由機械能守恒: :解解: :vc0c0h 22220011222m rm ghJm r 2043ghr 與墻彈性碰撞與墻彈性碰撞, ,質心速度反向質心速度反向, ,角速度不變角速度不變, ,此后受摩擦力作用此后受摩擦力作用經時間經時間t 達純滾動達純滾動: :vc0c0vctct由動量定理由動量定理 0tf tmrr 由角動量定理由角動量定理 0ctfr tJ 2233tghr 純滾動后機械能守恒純滾動后機械能守恒: :221322tm rm gh 9hh 如圖，實心圓柱體如圖，實心圓柱體從高度為從高度為h的斜坡上從靜止純滾動地到達的斜坡上從靜止純滾動地到達水平地面上，繼續

17、純滾動，與光滑豎直水平地面上，繼續純滾動，與光滑豎直墻做完全彈性碰撞后返回，經足夠長的墻做完全彈性碰撞后返回，經足夠長的水平距離后重新做純滾動，并純滾動地水平距離后重新做純滾動，并純滾動地爬上斜坡，設地面與圓柱體之間的摩擦爬上斜坡，設地面與圓柱體之間的摩擦系數為系數為，試求圓柱體爬坡所能達到的高，試求圓柱體爬坡所能達到的高度度h.由機械能守恒由機械能守恒:解解: :22220011()()22ttmgsIm vv 2vs 又又2202224tmvvgsIms g 0tvvg t224mggIms 豎直方向勻加速下落豎直方向勻加速下落! 如圖，在一個固定的、豎直的螺桿上的一個如圖，在一個固定的、

18、豎直的螺桿上的一個螺帽，螺距為螺帽，螺距為s，螺帽的轉動慣量為，螺帽的轉動慣量為I，質量為，質量為m假定螺帽與螺桿假定螺帽與螺桿間的摩擦系數為零，螺帽以初速度間的摩擦系數為零，螺帽以初速度v0向下移動，螺帽豎直移動的向下移動，螺帽豎直移動的速度與時間有什么關系？這是什么樣的運動？重力加速度為速度與時間有什么關系？這是什么樣的運動？重力加速度為g 解解: :vvR12v2vR11v1vR12v22vR完成彈性碰撞后設兩球各經完成彈性碰撞后設兩球各經t1、t2達到純滾動，質心速度為達到純滾動，質心速度為v1、v2， 對球對球1：1121125f tmvvmRvfR tRR ， 127vv 對球對球

19、2： 2222225f tm vvvmRfR tR 257vv 在水平地面上有兩個完全相同的均勻實心球，其一做在水平地面上有兩個完全相同的均勻實心球，其一做純滾動，質心速度為純滾動，質心速度為v，另一靜止不動，兩球做完全彈性碰撞，因碰，另一靜止不動，兩球做完全彈性碰撞，因碰撞時間很短，碰撞過程中摩擦力的影響可以不計試求撞時間很短，碰撞過程中摩擦力的影響可以不計試求碰后兩球碰后兩球達到純滾動時的質心速度；達到純滾動時的質心速度；全部過程中損失的機械能的百分數全部過程中損失的機械能的百分數 系統原機械能為系統原機械能為 222201272510m rvm vEm rr 達到純滾動后的機械能達到純滾

20、動后的機械能22221 72529257770tmRvvEmvRR 204149 則則% %圓柱半徑與小球半徑分別以圓柱半徑與小球半徑分別以R、r表示表示 解解: : vcmgfN對球由質心運動定律有對球由質心運動定律有 ：對球由轉動定律：對球由轉動定律：2coscmvmgNRr sinmgfm r225frmr 小球做純滾動，摩擦力為靜摩擦力，不做功，球的機械能守恒：小球做純滾動，摩擦力為靜摩擦力，不做功，球的機械能守恒： 222121cos25cvmg Rrmrmrr 2sin7mgf 101coscos7mg RrmgNRr 1710cos77Nmg 小球做純滾動必有小球做純滾動必有fN

21、 2sin17cos10 0.7 45 45 如圖所示，實心勻質小球靜止在圓柱面頂點，如圖所示，實心勻質小球靜止在圓柱面頂點，受到微擾而自由滾下，為了令小球在受到微擾而自由滾下，為了令小球在 45范圍內做純滾動，求范圍內做純滾動，求柱面與球間摩擦因數至少多大？柱面與球間摩擦因數至少多大？ 解解: :00ccccmRvJmRvJ 0023ccvvR 即即達到純滾時必有達到純滾時必有:cvR 純滾時質心速度純滾時質心速度 003255ccvvR 0ccvvgt 對質心對質心: 0025ctvRg 0023cvR 若若0023cvR 若若 2cmRJ 既滾又滑時與達到純滾時對與地接觸點既滾又滑時與達

22、到純滾時對與地接觸點O角動量守恒角動量守恒: 如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為R的乒乓球，繞質心軸的轉動慣量的乒乓球，繞質心軸的轉動慣量J ，m為乒乓球的質量，以一定的初始條件在粗糙的水平面上運動，開始時為乒乓球的質量，以一定的初始條件在粗糙的水平面上運動，開始時球的質心速度為球的質心速度為vc0，初角速度為，初角速度為0，兩者的方向如圖已知乒乓球與地面間的摩，兩者的方向如圖已知乒乓球與地面間的摩擦系數為擦系數為試求乒乓球開始做純滾動所需的時間及純滾動時的質心速度試求乒乓球開始做純滾動所需的時間及純滾動時的質心速度 223mRRvc00O設以某棱為軸轉動歷時設以某棱為軸轉動歷時t，角速度，角速

23、度if，解解: :vivf3030fNa對質心由動量定理：對質心由動量定理： sin30fiN tMa 對剛體由動量矩定理：對剛體由動量矩定理： cos30fiftMa cos30sin30ftaN ta 2512fiMa 1117fi 可可得得211121172 9,8srs 則則時間短，忽略重力沖量及沖量矩時間短，忽略重力沖量及沖量矩 i f 如圖所示，一個直、剛性的固體正六角棱柱，形狀就如圖所示，一個直、剛性的固體正六角棱柱，形狀就像通常的鉛筆，棱柱的質量為像通常的鉛筆，棱柱的質量為M，密度均勻橫截面六邊形每邊長為，密度均勻橫截面六邊形每邊長為a六角六角棱柱相對于它的中心軸的轉動慣量棱柱

24、相對于它的中心軸的轉動慣量I為為 現令棱柱開始不均勻地滾下斜現令棱柱開始不均勻地滾下斜面假設摩擦力足以阻止任何滑動，并且一直接觸斜面某一棱剛碰上斜面之面假設摩擦力足以阻止任何滑動，并且一直接觸斜面某一棱剛碰上斜面之前的角速度為前的角速度為i，碰后瞬間角速度為，碰后瞬間角速度為f，在碰撞前后瞬間的動能記為，在碰撞前后瞬間的動能記為Eki和和 Ekf，試證明試證明fsi， EkfrE，并求出系數，并求出系數s和和r的值的值 2512Ma碰后系統質心位置從桿中點右移碰后系統質心位置從桿中點右移 解解: :2mlxMm x由質心系動量守恒：由質心系動量守恒： 0cmvMm V cVR 由角動量守恒：由

25、角動量守恒：202122mCclMllmvm VV 06(4)mvMm l 得得2lx 對瞬時轉動中心有對瞬時轉動中心有 46MmRlMm 可可得得cVmcVmvR6Rlx 瞬時軸距桿右端瞬時軸距桿右端 23lcV 如圖所示，光滑水平地面上靜止地放著質量為如圖所示，光滑水平地面上靜止地放著質量為M、長、長為為l的均勻細桿質量為的均勻細桿質量為m的質點以垂直于桿的水平初速度的質點以垂直于桿的水平初速度v0與桿的一端做完全與桿的一端做完全非彈性碰撞試求：非彈性碰撞試求：碰后系統質心的速度及繞質心的角速度；碰后系統質心的速度及繞質心的角速度；實際的轉軸實際的轉軸（即靜止點）位于何處？（即靜止點）位于

26、何處？ 復擺復擺在重力作用下繞水平軸在豎直面內做小角度擺在重力作用下繞水平軸在豎直面內做小角度擺動的剛體稱為復擺或物理擺動的剛體稱為復擺或物理擺 OCl由機械能守恒關系可得由機械能守恒關系可得 211cos2mglJ 對擺長對擺長l、質量、質量m的理想單擺有的理想單擺有 2011cos2mglm l 2J 20AJmml 202Jmlml 20m l200mlJ 2TJmgl 2Jmm 解解: :ABCbac (b) 42cm 10cm (a) (c)ABC三種情況下的周期三種情況下的周期相同，故有相同，故有 2200JmaJmcmgamgc 2200JmaJmbmgamgb 00Jmacca