1、2011年全國高中數學聯賽四川省預賽試題及答案2011年全國高中數學聯合競賽（四川初賽）（5月15日下午14：3016：30）題，目，.總成績13141516得分評卷人復核人考生注意：1、本試卷共三大題（16個小題），全卷滿分140分.2、用黑（藍）色圓珠筆或鋼筆作答.3、不準使用計算器.4、解題書寫不要超過密封線.一、選擇題（本題滿分30分，每小題5分）得分評卷人本題共有6小題，每題均給出（A）（B）、（C）、（D）四個結論,其中有且僅有一個是正確的.請將正確答案的代表字母填在遨后的括號內.每小題選對得5分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得0分.1、雙曲線鳥-

2、4=1的左、右準線小L將線段吊出三等分（其中用、B分別為雙曲線的ab左、右焦點），則該雙曲線的離心率e等于A.B、有C,D、2百【答】（）2 22、已知三次函數/（x）=ox3+加2+=+d,（a,b,c,dwR）,命題p：y=/（x）是H上的單調函數；命題g：y=/（x）的圖像與x軸恰有一個交點.則p是q的（）A、充分但不必要條件B、必要但不充分條件.C、充要條件D、既不充分也不必要條件【答】（）3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石頭、布”的游戲.每一局甲、乙、丙同時出“剪刀、石頭、布”中的一種手勢，且是相互獨立的.設在一局中甲贏的人數為自，則隨機變量專的數學期望ES的值為（）【答】（）【答】

3、（）142A、一B、一0一.D、13934、函數/（x）=+乂?4-3x的最大值為（）A、舊B、3C、273D、3出5、如圖，邊長為2的正方形488和正方形/8E尸所在的面成60。角，M.N分別是線段/C和8戶上的點，且AM=FN,則線段MN的長的取值范圍是A、1,2B、1,2C、訴2D.73,26、設數列勺為等差數列，數列仍力滿足：4=，4=%+%+4，若lim4=2,則數列4的公差4為（）B、1C、2D、4【答】（）二、填空題（本題滿分30分，每小題5分）得分評卷入本題共有6小題,要求直接將答案寫在橫線上.7、已知實數x滿足|2x+l|+|2x-5|=6,則x的取值范圍是8、設平面內的兩個

4、非零向量與否相互垂直，且|皿=1,則使得向量5+益鳥Z+（1-m）b互相垂直的所有實數加之和為.9、記實數等比數列4的前項和為邑，若So=1O,S3o=7O,則Se=10、設x為實數，定義£為不小于x的最小整數，例如>=4,-萬=一3.關于實數x的方程3x+1=2x-；的全部實根之和等于11,已知（1+百尸=勺+4月，其中4，勾為整數，則lim"=iwb12、已知三棱錐SdBC的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，且SA=SB=SCGB=2,設SJ、B、C四點均在以。為球心的某個球面上，則點。到平面/BC的距離為得分評卷人三、解答題（本題滿分80分，每小題20分）13、已

5、知”>0,若函數/（x）=x+J1加二嬴的最大位為g（m）,求g（m）的最小值.得分評卷入14、已知函數/(x)=2(sin4x+cos4x)+m(sinx+cosx)4在xw0,2有限大值5,求實數m的值.得分評卷入|15、拋物線歹=，與過點P(-l,-l)的直線/交于月、巴兩點.(D求直線/的斜率攵的取值而:圍：1.12(in求在線段46上滿足條件而+/萬=質的點。的軌跡方程.多得分評卷人|16、已知m為實數，數列4的前項和為工，Q464滿足：S1t=34-7x3,+m,且勺2丁對任何的正整數恒成立.求證：當m取到最大值時,833對任何正整數n都有X<.mS*162011年全國

6、高中數學聯賽四川初賽試題詳細解答一、選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）/y21、雙曲線7一令=1的左、右準線。、乙將線段三等分（其中大、6分別為雙曲線的左、右焦點），則該雙曲線的離心率e等于（）.yA、當B、6。、竽口、2石解：由題意得2c=3x§l,解得e=JJ.故答案選3.2、已知三次函數，（%）="3+以2+cx+d,（atbtctdeR）,命題p：y=/（x）是K上的單調函數；命題9：y=/（x）的圖像與x軸恰有一個交點.則p是q的（）A、充分但不必要條件B、必要但不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件解：選A.3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、

7、石頭、布”的游戲.每一局甲、乙、丙同時出“剪刀、石頭、布”中的一種手勢，且是相互獨立的.設在一局中甲贏的人數為則隨機變量歲的數學期望E歲的值為（）142A、一B、一C、一D、13 9.3解:尸&=。）=答J，=】）=等哈陽=2）=等，4412于是E4=§x0+§xl+x2=.故答案選C.4、函數/(x)=Jx-5+j24-3x的最大值為()A、也B、3.C>2>/3D、35/3解：法一：/(x)的定義域為5«xW8,2775'2>/24=.1=0,解得”因為5)=3,©)=25"8)=5于是工人=/(?)=2后

8、44故答案選C.法二：f(x)的定義域為5Mx48,/x)=(bVr+V3-V8)2(l+3)(x-5+8-x)=12當且僅當23即x=時，/(x)取到最大值2萬,故答案選C.5、如圖，邊長為2的正方形/3C。和正方形尸所在的面成60。角,M、N分別是線段/C和斯上的點，且AM=FN.則線段MN的長的取值范圍是A、白2B.1,2C.V2,2D.73,2解：過點M作MH/BC交于H,則也=4包ACABFNAH又4M=FN,AC=FB,：.=，：.NH/AF.FBAB:.NHLAB,MH1AB,:./MHN=60。.設NH=x(0夕S2),則MHr,NH=2-x.：.MN=Jx2+(2-x)2-2

9、x(2-x)cos60°=V3x2-6jc+4=73d尸+16、設數列g,為等差數列，數列"滿足：4=%,%=%+%，鄉=4+%+/，若Hm與=2,則數列&的公差d為()A、TB、1C、2D、4解：4+。山丁和川+5122222wr.n(n-1),“5-1).、，n,2n=#+-"q+(-7-+w-l)t/=-(2aI-J+w2t/)于是lira與=+,解得d=4.故答案選D.ibne212二、填空題(本大題共6個小題，每小題5分，共30分)7、已知實數x滿足|2x+l|+|2x-5|=6,則x的取值范圍是.解：因為|2x+l|+|2x-5|H(2x+l)

10、+(5-2x)|=6,等號成立當且僅當(2x+l)(2x-5)40,即一1gx42.故答案填-L*.22228、設平面內的兩個非零向量3與石相互垂直，且|皿=1,則使得向量+m3與3+(1-加族互相垂直的所有實數m之和為.2-2解：由于0=(a+mb)a+。一加)6=o+a6+加(1一加)方=lal2+w(l-w)>即加2-加一|。二0,所以由根與系數的關系如符合條件所有實數加之和為1.故答案填1.9、記實數等比數列4的前項和為工，若S1o=1O,S3o=7O,則用。=解:記4=So，b2=S2qSQ»by=S30S2q>b4=S4QSM設夕為gj的公比，則4，a，4，4

11、構成以r=T°為公比的等比數列，于是70=$30=A+&+"=4。+，+/)=io(i+/+/)即產+/一6=0,解得廠=2或r=-3(舍去)，故£.-10(1+/4戶+,)-150.故答案次150.10、設x為實數，定義b為不小于x的最小整數，例如卜=4,3.關于實數X的方程3x+11=2x-1的全部實根之和等于.解：設2x-g=AwZ,則刀=”型,3x+1=i+1+21+3244于是原方程等價于|"也3=-1,即-2也3«-1,44117從而一二"片S，即k=5或一4.2297相應的x為一二,一二.于是所有實根之和為-4.

12、故答案填-4.4411、已知（1+石=勺+2仃，其中勺,力為整數，則limL=解：由條件（1+行）”=q+2百知（1_退尸=4_6，于是勺=gto+6y+。-6r,2=點口+6）"-Q一石）”，UanrH(1+6)”+(1-6)"-(1+石)T故im=limV3x=7=-=limV3x=-=V3.一乙(1+y/3Y-(1-43/故答案填J5.12、已知三棱錐S/8C的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,設S、48、C四點均在以。為球心的某個球面上,則點。到平面/6C的距離為.解：如圖，因為SA=SB=SC,所以S在平面45c上的射影是ZUBC的外心

13、，即?的中點，同理。點在平面48C上的射影也是45。的外心H,即在等邊15中，求。”的長，其中CM=05=QS.顯然，OH=1sH=2x2x£=£.故答案填中.33233三、解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）13、已知機0，若函數/（x）=x+的最大值為g（m）,求g（加）的最小值.（5分）（20分）解：令=J100-mx,則x=二£1m.尸1+/=(”巴)2+翌+巴mm2m4業.m04±加nn,、100m當，=二時，V有取大值h一,即g(加)=一一.2m4m41 /、100myiOOm1A2 g(加)=+二之2jx=10,m4m4等號當

14、且僅當m=20時成立，當m=20時，g（加）有最小值10.14、已知函數/(x)=2(sin4x+cos4%)+加(5加工+80幻4在工W0,5有最大值5,求實數小的值.解：/(x)=2(sin2x+cos2x)2-4sin2xcos2x+/M(sinx+cosx)4=2-(2sinxcosx)2+m(sinx+cosx)4(5分)令，=sinx+cosx=V2sin(x+)w1,41».fliJ2sinxcosx=r2-1,從而/(x)=2-/2-I)2+m/4=(m-l)/4+2/2+1(10分)令=/1,2J,由題意知g(u)=(m-1)/+2“+1在w口,2有最大值5.當加-

15、1=0時，gQ)=2+l在=2時有最大值5,故陽=1符合條件；(15分)當析一1>0時，g()gNg(2)>2x2+l=5i矛盾！（20分）當加一1<0時，g(w)<2m+1<5>矛盾！綜上所述，所求的實數m=115、拋物線丁=，與過點尸（-1,-1）的直線/交于4、4兩點.（I）求直線/的斜率后的取值范圍；112（II）求在線段66上滿足條件士+去=三的點0的軌跡方程.PRPRPQ.解：（D直線/的方程為y+l=Hx+l）,與拋物線方程>=，聯立得"，消去丁得/=Mx+i）-i,即，一米一"一1）=0,丁+1=Hx+l）由A=（q

16、）2+4（A-l）>0,解得左>-2+20或A<-2-2近.（5分）（II）設。點坐標為（x,y）,耳點坐標為&,乂），舄點坐標為（馬,必），則再+勺=七，玉4=一（七一1）,又4、6、。都在直線/上，所以有丁+1=左（工+1）,乂+1=/（玉+1）,y2+l=k（x2+）91_=2化簡得必1+IF+（乂+1）2+幾+I）?+仇+-而+1）、&+1）2（10分）.又（玉+1）（+1）=玉z+X+/+1=-（左一1）+4+1=2>0.點0在線段耳打上.所以再+1,再+1戶+1同號.則Xj+1x2+1x+1因此“2皿9也_;2士再+x?+2k+2，y=左（工

17、+1）1=4（2-k73-2由得上二上今代入得二一=l-2x,BP2x-+l=0>（15分）x+12-22x+1又因為>一2+2力或左<-22及，所以=工-1的取值范圍是k+2-V2-1<x<>/2-1且x工-1,<x<扭-1且XH-1）.（20分）因此點。的軌跡方程是2x-y+l=0（-女-1-x3n+nt9316、已知加為實數，數列。力的前項和為S,滿足：Sn=0864且為2對任何的正整數恒成立.3求證：當加取到最大值時，對任何正整數9證明：當同=1時，由q=-q-4+m得q=8（4加），894Q4當“21時，S”=£勺一二x3"+加，=7。,.一彳x3”"+加，8 3o39 98644川=£/】一$為一三乂3“，即a”】=94+丁*3"，（5分）ooJ3，一+多x3*9a+與X”）3232勺+舒3”=（q+m）x9j832即4=3。6-3加）x9”5x3”（10分）83264由條件知，萬（16-3x9”-§x3”2亍對任何正整數恒成立,即2（16-3加）？&qu