1、第二十二講園幕定理相交弦定理、切割線定理、割線定理統稱為圓哥定理.圓哥定理實質上是反映兩條相 交直線與圓的位置關系的性質定理，其本質是與比例線段有關.相交弦定理、切割線定理、割線定理有著密切的聯系，主要體現在：1 .用運動的觀點看，切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形，即移動圓內兩 條相交弦使其交點在圓外的情況；2 .從定理的證明方法看，都是由一對相似三角形得到的等積式.熟悉以下基本圖形、基本結論：【例題求解】【例1】 如圖，PT切。于點T, PA交。于A、B兩點，且與直徑CT交于點D, CD=2 ,AD=3 , BD=6,貝U PB=.思路點撥 綜合運用圓哥定理、勾股定理求PB長.注：

2、比例線段是幾何之中一個重要問題，比例線段的學習是一個由一般到特殊、不斷深化的過程，大致經歷了四個階段：(1)平行線分線段對應成比例；(2)相似三角形對應邊成比例；(3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來；(4)圓中的比例線段通過圓哥定理明快地反映出來.【例2】 如圖，在平行四邊形 ABCD中，過A、B、C三點的圓交 AD于點E,且與CD相切，若 AB=4 , BE=5 ,貝U DE的長為()A. 3 B. 4 C. 15 D.45思路點撥 連AC, CE,由條件可得許多等線段，為切割線定理的運用創設條件. 注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓哥定理等知識，通

3、過代數化 獲解，加強對圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關鍵.口【例3】如圖， ABC內接于。O, AB是/ O的直徑，PA是過A點的直線，/ PAC= /B.（1）求證：PA是。的切線；（2）如果弦 CD 交 AB 于 E, CD 的延長線交 PA 于 F, AC=8 , CE: ED=6 : 5, , AE : BE=2 : 3,求AB的長和/ ECB的正切值.思路點撥 直徑、切線對應著與圓相關的豐富知識.（1）問的證明為切割線定理的運用創造了條件；引入參數 x、k處理（2）問中的比例式，把相應線段用是的代數式表示，并尋找 x與k的關系，建立x或k的方程.【例4】 如圖

4、，P是平行四邊形 AB的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點 E、E, EG是過B、F、P三點圓的切線， G為切點，求證：EG=DE思路點撥 由切割線定理得 EG2=EF - EP,要證明EG=DE ,只需證明 DE2=EF EP,這樣 通過圓哥定理把線段相等問題的證明轉化為線段等積式的證明.注：圓中的許多問題，若圖形中有適用圓哥定理的條件，則能化解問題的難度，而圓中線段等積式是轉化問題的橋梁.需要注意的是，圓哥定理的運用不僅局限于計算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問題中.【例5】如圖，以正方形 ABCD的AB邊為直徑，在正方形內部作半圓，圓心為O, DF切半圓于點E

5、,交AB的延長線于點 F, BF = 4.求：（1）cos/F 的值；（2）BE 的長.思路點撥解決本例的基礎是：熟悉圓中常用輔助線的添法（連OE, AE）;熟悉圓中重要性質定理及角與線段的轉化方法.對于（1）,先求出EF, FO值；又于（2）,從 BE FAEAF,RtA AEB 入手.注：當直線形與圓結合時就產生錯綜復雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關綜合題的關鍵,分析圖形可從以下方面入手：(1)多視點觀察圖形.如本例從D點看可用切線長定理，從F點看可用切割線定理.(2)多元素分析圖形.圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三 角形、相似三角形.(3)將以上分析組合，尋找聯

6、系.學力訓練1 .如圖，PT是。的切線，T為切點，PB是。的割線，交。于A、B兩點，交弦 CD 于點 M,已知 CM=10 , MD=2 , PA=MB=4 ,則 PT 的長為.2 .如圖，PAB、PCD 為。的兩條割線，若 PA=5, AB=7 , CD=11 ,貝U AC: BD=.3 .如圖，AB是。O的直徑，C是AB延長線上的一點， CD是。O的切線，D為切點，過 點B作。O的切線交 CD于點F,若AB=CD=2 ,則CE=.4 .如圖，在 ABC中，/ C=90° , AB=10 , AC=6 ,以AC為直徑作圓與斜邊交于點P,則BP的長為()A. 6. 4 B, 3. 2

7、 C , 3. 6 D. 8PA、PB的長分別為方程5 .如圖，O O的弦 AB平分半徑 OC,交OC于P點，已知2x 12x 24 0的兩根，則此圓的直徑為 ()A. 8V2B. 6匹 C. 4 /D. 2<2，一 一一 ，一一 ，一、 一小 一，6 .如圖，O O的直徑Ab垂直于弦CD,垂足為H,點P是AC上一點(點P不與A、C兩點 重合)，連結PC、PD、PA、AD ,點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F,給出下列四 個結論： CH 2=AH - BH; AD = AC: AD2=DF - DP;/ EPC=/APD,其中正確的 個數是()A. 1 B. 2C. 3 D. 47

8、 .如圖，BC是半圓的直徑， 。為圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點 A, AD ± BC于點D.(1)若/ B=30° ,問AB與AP是否相等？青說明理由；(2)求證：PD PO=PC PB;(3)若 BD: DC=4: 1,且 BC=10,求 PC 的長.8 .如圖，已知 PA切。于點A,割線PBC交。于點B、C, PDXAB于點D, PD、AO 的延長線相交于點 巳連CE并延長交。O于點F,連AF .(1)求證： PBDA PEC;(2)若 AB=12 , tan / EAF=-,求。O 的半徑的長.39 .如圖，已知 AB是。的直徑，PB切。于點B, PA交

9、。于點C, PF分別交 AB、 BC于E、D,交。于F、G,且BE、BD恰哈好是關于 x的方程x2 6x (m2 4m 13) 0 (其中m為實數)的兩根.(1)求證：BE=BD ; (2)若 GE - EF=61/3,求/ A 的度數.(第7噠1t第8初)解白粒110 .如圖， ABC中，/ C=90°，。為AB上一點，以 O為圓心，OB為半徑的圓與 AB相交于點E,與AC相切于點 D,已知AD=2 , AE=1 ,那么BC=(第八剪)11 .如圖，已知 A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD , AC與BD交于E,若AC=8 , CD=4 ,且線段BE、ED為正整數，則 BD=于

10、H,若PA=1t第 13 S>A. 2 B即1 題C. aa a213 .如圖，4ABC是。的內接正三角形， 弦EF經過BC的中點 D,且EF/AB ,若AB=2 ,則DE的長為()D. 114 .如圖，已知 AB為。O的直徑，C為。O上一點，延長 BC至D,使CD=BC , CEXAD 于巳BE交。于F, AF交CE于P,求證：PE=PC.15 .已知：如圖，ABCD為正方形，以 D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以 BC為直徑的。O相交于P、C兩點，連結 AC、AP、CP,并延長 CP、AP分別交AB、BC、。于E、H、 F三點，連結OF.(1)求證：AEPscea； (2)判斷線段AB

11、與OF的位置關系，并證明你的結論；(3)求 BH:HC16.如圖，PA、PB是。的兩條切線，PEC是一條割線,t第 16D是AB與PC的交點，若PE=2,17.如圖，O O的直徑的長是關于 x的二次方程x2 2(k 2)x k 0(k是整數)的最大整數根，P是。外一點，過點P作。O的切線PA和割線PBC,其中A為切點，點B、C是直 線PBC與O O的交點，若PA、PB、PC的長都是正整數，且PB的長不是合數，求PA+PB+PC 的值.國事定理【例就求解】例I IS id CD * DTAB' D乩鐘DT-九由PP - PB -A- P)"口尸，即FJKP呂十月心睦+白。一口r

12、,瑞PH例 2 逸 D AC=BE-5乂/BAC,NACD-NABC則人AD-5.DC,人0-4,故 D£>外詈.M3 (I) N7MC+NC4/JH/6+NdB-WT.故 PA 是®。的切線,(!)設 CE-6A.ED-” 人£>2.£8 = 31”>0，>0) .由 CE Qft>AE BE.科 30必一6/二，AAT=2 9. BE=39又 FA' = DF CF Ek-AE2 .即 DF(DF十】果)=(DF十5產一(2A£)，解得 DFH DF- DE即 D 力 EF 的中點連結 AD則 AD-D

13、F-DE樗博 AF,AC.由 FA: = DF CF W 8r = 5X5*+ 5A4 “)” 博 二 人BNAE+BE56410.iaNECB-tic/AEF-2.的5匹=延 八£-夕m”E.£P師，、g pl-例4由EF EC '或一尻梅喬一赤即尤一EJEP.例51)由OEFsDAF得鋁工器一黨一；即AF=2EF又E尸= F8 FA=BF-2EF /ii L/A AD ZEF-2BF=8AF=2EF76，UJ="-BF72.FO-£,B4BF=10.m/F=?，UC vr v 1“HlA6EFsADF得哉之芹=金=琮H則A32A,由AF+BE

14、5一人所得(24>+y=1邛,解德上-¥乃故BE-弓人【學力訓練】1.2 yn x 1 1 33 薩 由 CCB，CA=CH(A8+CB),i5C8=6-liiOD.(tl RQ&JUesRtAEHC得圖落4. A 5. A 6. C7. (1)AB=AP>(2)PA,-PC< PB=PD- POi(3)PC=v.8(DPA'=PB PC-PD* PE二黑一那又/P=/P4P"g2PECs2)作OG LAB 于GPEAFAG=5aB = 6'；OGEQFA.，NAOG=/EAF.sq/AOG=n,C*9.AO-人(？+紛=3 /13

15、.九(l)A-4(iw + 2),0.*.m=-2. JR方程為 >一6才十9 = 0,解得 BE=BD=3iAE BE-GE FE=6 6ME=2VI &*APBCsNA8.AP8DsAPAE. BC_PB.BD mBC HD .，a g BD 3 G ” 八”.林方.而即麗一屏“m/人=病亞麗=故NA“6°II. 7 »O=CD=4由BCEs£kAB 傅 BC'=CE 八CAE=6.CE2.由 BE- OE-AE- EC=12.3E»r EIXBC +CD-8< A8£+£。<7,。£-

16、68£一蓋.可推得符合條件的是。£-3.3£-4或。£=4,/m=3.I2 A IX B 可it用 DE=GF由 BD DC-DE DF=DE(DG+GF),得 Df/DE-l-O斜程M.迷 OC則 CX：AD.可任明 PC為O。切線夕Ct=PFPA,乂由PEFsPAE,得 PF = PF e PA.故 PL-P尸. 即 PC-PE.15. <D «(2)線段 AB 與 OF 是平行的不妨改 4B-BC-2atH BP.BF. »1 EA1-EP EC.EBEP Ed EB*EA-a,又 EC符 BF罕a.由AEPc/jACEA

17、.蹲管=箓工 AP=。又 A科, AP 人F； AF=用U,乂乙乂BpsaF也上 寫一能，陽HF=福口.在中，加展Z?W-KXAB± 。乩' ARJ7OFiO AB/口F,；籍=需二24冬上門8”號小匚日*十%=詈.二U-逢 W5?AJd 壬小設。住一工國 P-P£*RiiPH 4*,A-AH: + PHJ .» Af 4 PH：=WG+汨,在Kt3PH心中,尸印人口同：二匕+打工，乂 AD - £>B-£D * DC,而 AD + 口B= t卉H-QHhAH +-n":4H一 口中-才 1 .由得5 + ?產+尸=事父+33辨導£>£=丁二-.17-設方程網制為箍，4"上,（則.+才：T-M出工 Ta由則役及知.上4部是整數.從.罟第去*.潺壯丁1 門423+119«,<4 .且與*弋。時，我崎大的修敷根為4,于是色門的直用為3所HBCS4VB=FC- FB為正餐效，：.比-1*3364莊站4乩小，山曲必雙工，得P4； 用PM + HG（口與收.1國.由國褥小川口非"十AB, Hfe產卸VTVM（PH+DL才法.12）3 K = ?時由其得，尸A'=FB：十爸產日，于是PHYEVUFB+1&qu