1、 12999數學網單元質檢八立體幾何(A)(時間:45分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于()A.1B.2C.3D.42.下列命題中,錯誤的是()A.三角形的兩條邊平行于一個平面,則第三邊也平行于這個平面B.平面平面,a,過內的一點B有唯一的一條直線b,使baC.,所成的交線為a,b,c,d,則abcdD.一條直線與兩個平面所成的角相等,則這兩個平面平行3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,則

2、球O的半徑為()A.B.2C.D.3導學號372705874.已知l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是()A.若l1l2,l2l3,則l1l3B.若l1l2,l2l3,則l1l3C.若l1l2l3,則l1,l2,l3共面D.若l1,l2,l3共點,則l1,l2,l3共面5.一個正方體的表面展開圖如圖所示,點A,B,C均為棱的中點,D是頂點,則在正方體中,異面直線AB和CD所成的角的余弦值為()A.B.C.D.6.在空間四邊形ABCD中,平面ABD平面BCD,且DA平面ABC,則ABC的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定二、填空題(本大題共2小題

3、,每小題7分,共14分)7.已知矩形ABCD的邊AB=a,BC=3,PA平面ABCD,若BC邊上有且只有一點M,使PMDM,則a的值為. 8.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PCBD,則平行四邊形ABCD的形狀一定是. 三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.(14分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1.設AB1的中點為D,B1CBC1=E.求證:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1.10.(15分)三棱錐A-BCD及其三視圖如圖所示,過棱AB的中點E作平行于AD,BC的平面分別交棱BD,DC,CA于點F, G,H.

4、(1)證明:四邊形EFGH是矩形;(2)求直線AB與平面EFGH所成的角的正弦值.導學號3727058811.(15分)如圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,點E是CD邊的中點,點F,G分別在線段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)證明:PEFG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值.導學號37270589參考答案單元質檢八立體幾何(A)1.B解析 由三視圖可得原石材為如圖所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半徑最大的球,則此球與平面A1B

5、1BA,BCC1B1,ACC1A1都相切,故此時球的半徑與ABC內切圓半徑相等,故半徑r=2.故選B.2.D解析 A正確,三角形可以確定一個平面,若三角形兩邊平行于一個平面,則它所在的平面與這個平面平行,故第三邊平行于這個平面;B正確,平面與平面平行,則平面中的直線a必平行于平面,平面內的一點與這條線可以確定一個平面,這個平面與平面交于一條直線,過該點在平面內只有這條直線與a平行;C正確,利用同一平面內不相交的兩條直線一定平行判斷即可確定C是正確的;D錯誤,一條直線與兩個平面所成的角相等,這兩個平面可能是相交平面,故應選D.3.C解析 由計算可得O為B1C與BC1的交點.設BC的中點為M,連接

6、OM,AM,則可知OM平面ABC,連接AO,則AO的長為球半徑,可知OM=6,AM=,在RtAOM中,由勾股定理得半徑OA=.4.B解析 從正方體同一個頂點出發的三條棱兩兩垂直,可知選項A錯;因為l1l2,所以l1與l2所成的角是90°.又因為l2l3,所以l1與l3所成的角是90°.所以l1l3,故選項B對;三棱柱中的三條側棱平行,但不共面,故選項C錯;三棱錐的三條側棱共點,但不共面,故選項D錯.故選B.5.C解析 如圖所示,可知EGF為AB和CD所成的角,F為正方體棱的中點.設正方體棱長為1,則EF=GF=,EG=.故cosEGF=.6.B解析 如圖,作AEBD,交BD

7、于E.平面ABD平面BCD,AE平面BCD,BC平面BCD,AEBC.而DA平面ABC,BC平面ABC,DABC.又AEAD=A,BC平面ABD.而AB平面ABD,BCAB,即ABC為直角三角形.故選B.7.1.5解析 因為PA平面ABCD,所以PADM.若BC邊上有且只有一點M,使PMMD,則DM平面PAM,即DMAM,故以AD為直徑的圓和BC相切即可.因為AD=BC=3,所以圓的半徑為1.5,要使線段BC和半徑為1.5的圓相切,則AB=1.5,即a=1.5.8.菱形解析 因為PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PCBD,且PC平面PAC,PA平面PAC,PCPA=P,所以B

8、D平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形ABCD是菱形.9.證明 (1)由題意知,E為B1C的中點,又D為AB1的中點,因此DEAC.又因為DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因為AC平面ABC,所以ACCC1.又因為ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1.又因為BC1平面BCC1B1,所以BC1AC.因為BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C.因為AC,B1C平面B1

9、AC,ACB1C=C,所以BC1平面B1AC.又因為AB1平面B1AC,所以BC1AB1.10.(1)證明 由該三棱錐的三視圖可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1.由題設,BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理EFAD,HGAD,EFHG.四邊形EFGH是平行四邊形.又ADDC,ADBD,AD平面BDC,ADBC,EFFG,四邊形EFGH是矩形.(2)解 如圖,以D為坐標原點建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2

10、,0),=(-2,0,1).設平面EFGH的法向量n=(x,y,z),EFAD,FGBC,n·=0,n·=0,得令x=1,得n=(1,1,0),sin =|cos<,n>|=,即直線AB與平面EFGH所成的角的正弦值為.11.解法一 (1)證明:PD=PC,且點E為CD邊的中點,PEDC.又平面PDC平面ABCD,且平面PDC平面ABCD=CD,PE平面PDC,PE平面ABCD.又FG平面ABCD,PEFG.(2)四邊形ABCD是矩形,ADDC.又平面PDC平面ABCD,且平面PDC平面ABCD=CD,AD平面ABCD,AD平面PDC.PD平面PDC,ADPD.

11、PDC即為二面角P-AD-C的平面角.在RtPDE中,PD=4,DE=AB=3,PE=,tanPDC=,即二面角P-AD-C的正切值為.(3)如圖所示,連接AC,AF=2FB,CG=2GB,即=2,ACFG,PAC即為直線PA與直線FG所成的角或其補角.在PAC中,PA=5,AC=3.由余弦定理可得cosPAC=,直線PA與直線FG所成角的余弦值為.解法二 (1)見解法一.(2)取AB的中點M,連EM,可知EM,EC,EP兩兩垂直,故以E為原點,EM,EC,EP所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.可得A(3,-3,0),D(0,-3,0),P(0,0,),C(0,3,0),即=(-3,0,0),=(0,-3,-),設平面PAD的法向量為n=(x,y,z),則可得令y=,可得一個法向量n=(0,-3