1、1第七章第七章振動與波動振動與波動2 一般地說一般地說,任何一個物理量在某一量值附近隨時間任何一個物理量在某一量值附近隨時間作周期性變化都可以稱為作周期性變化都可以稱為振動振動。 振動有機械振動、電磁振動、光振動振動有機械振動、電磁振動、光振動.。 本章著重研究本章著重研究機械振動機械振動。物體在一定的位置附近。物體在一定的位置附近作往返運動，稱為作往返運動，稱為機械振動。機械振動。 振動中最簡單最基本最有代表性的是振動中最簡單最基本最有代表性的是簡諧振動簡諧振動。 振動的傳播就是振動的傳播就是波波。在彈性介質中發生的波動，。在彈性介質中發生的波動，是依靠彈性介質質點的機械振動而產生和傳播的，

2、因是依靠彈性介質質點的機械振動而產生和傳播的，因而稱為而稱為機械波機械波，或，或彈性波彈性波。 并不是所有的波都依靠介質傳播并不是所有的波都依靠介質傳播，光波、無線，光波、無線電波可以在真空中傳播，稱為電波可以在真空中傳播，稱為電磁波電磁波。微觀粒子也。微觀粒子也有波動性，這種波稱為有波動性，這種波稱為實物波實物波或或德布羅意波德布羅意波。3一一 . .簡諧振動的基本特征簡諧振動的基本特征研究簡諧運動的意義研究簡諧運動的意義在一切振動中，最簡單和最基本的振動稱為簡諧振動在一切振動中，最簡單和最基本的振動稱為簡諧振動任何復雜的運動都可以看成是若干簡諧振動的合成任何復雜的運動都可以看成是若干簡諧振

3、動的合成1、以彈簧振子為例、以彈簧振子為例O O點為小球水平方向不受力的位置，稱為點為小球水平方向不受力的位置，稱為平衡位置平衡位置。42、彈簧振子運動的、彈簧振子運動的定性分析定性分析BO：彈性力向右，加速度向右，加速；：彈性力向右，加速度向右，加速；OC： 向左，向左， 向左，減速；向左，減速；CO： 向左，向左， 向左，加速；向左，加速；OB： 向右，向右， 向右，減速。向右，減速。物體在物體在B、C之間來回往復運動之間來回往復運動3、物體作簡諧振動的條件、物體作簡諧振動的條件物體的慣性物體的慣性 阻止系統停留在平衡位置阻止系統停留在平衡位置作用在物體上的彈性力作用在物體上的彈性力驅使系

4、統回復到平衡位置驅使系統回復到平衡位置54、彈簧振子的動力學特征、彈簧振子的動力學特征取平衡位置取平衡位置O點為點為坐標原點，水平坐標原點，水平向右為向右為x軸的正方軸的正方向。向。xkxf 小球所受力的大小與它的位移的大小成正比，力的方向與位小球所受力的大小與它的位移的大小成正比，力的方向與位移的方向相反，始終指向平衡位置的，稱為移的方向相反，始終指向平衡位置的，稱為線性回復力線性回復力。maf xmkmfa mk2 0222xdtxd 222dtxdxa簡諧運動簡諧運動微分方程微分方程65、簡諧振動的運動學特征、簡諧振動的運動學特征)t cos()t sin( ) cos(2 22 Adt

5、xdaAdtdxvtAx說明：說明：物體在簡諧振動時，其位移、速度、加速度都是物體在簡諧振動時，其位移、速度、加速度都是周期性周期性變變化的化的簡諧振動不僅是周期性的，而且是有界的。簡諧振動不僅是周期性的，而且是有界的。簡諧運動微分方程的解為：簡諧運動微分方程的解為：71、從受力角度來看、從受力角度來看動力學特征動力學特征kxf 2、從加速度角度來看、從加速度角度來看運動學特征運動學特征xa2 3、從位移角度來看、從位移角度來看運動學特征運動學特征) cos( tAx說明：說明：要證明一個物體是否作簡諧振動，只要證明上面三個式子中的要證明一個物體是否作簡諧振動，只要證明上面三個式子中的一個即可

6、，且由其中的一個可以推出另外兩個；一個即可，且由其中的一個可以推出另外兩個；要證明一個物體是否作簡諧振動最簡單的方法就是受力方析，要證明一個物體是否作簡諧振動最簡單的方法就是受力方析，得到物體所受的合外力滿足回復力的關系。得到物體所受的合外力滿足回復力的關系。8二、描述簡諧振動的特征量二、描述簡諧振動的特征量1、振幅、振幅A振動物體離開平衡振動物體離開平衡位置的最大位移的位置的最大位移的絕對值絕對值。振幅恒為正值，單位為米振幅恒為正值，單位為米(m);(m);振幅的大小與振動系統的能量有關，由系統振幅的大小與振動系統的能量有關，由系統的初始條件確定。的初始條件確定。x =Acos( t+ )9

7、2、周期、周期定義：物體作一次完全振動所需的時間，用定義：物體作一次完全振動所需的時間，用T表表示，單位為秒示，單位為秒(s) (cos) cos( TtAtAx 2T 2 T頻率頻率定義：單位時間內物體所作的完全振動的次數，定義：單位時間內物體所作的完全振動的次數，用用表示，單位為赫茲表示，單位為赫茲(Hz)。 21 T10角頻率角頻率定義：物體在定義：物體在2秒時間內所作的完全振動的次數，用秒時間內所作的完全振動的次數，用表表示，單位為弧度示，單位為弧度/秒秒(rad.s-1)。T 22 說明說明簡諧運動的基本特性是它的周期性簡諧運動的基本特性是它的周期性周期、頻率或角頻率均由振動系統本身

8、的性質所決定，故周期、頻率或角頻率均由振動系統本身的性質所決定，故稱之為固有周期、固有頻率或固有角頻率。對于彈簧振子稱之為固有周期、固有頻率或固有角頻率。對于彈簧振子kmTmkmk 2,21, 簡諧運動的表達式可以表示為簡諧運動的表達式可以表示為) 2cos() 2cos() cos( tAtTAtAx113、相位和初相位、相位和初相位相位相位 t 初相位初相位 對于一個簡諧運動，若對于一個簡諧運動，若振幅、周期和初相振幅、周期和初相位位已知，就可以寫出完整的運動方程，即已知，就可以寫出完整的運動方程，即掌握了該運動的全部信息，因此我們把振掌握了該運動的全部信息，因此我們把振幅、周期和初相位叫

9、做幅、周期和初相位叫做描述簡諧振動的三描述簡諧振動的三個特征量個特征量。124、常數、常數A和和 的確定的確定 sincos00AvAx )arctan(002020 xvvxA)t sin( ) cos( AdtdxvtAx說明：說明：(1) 一般來說一般來說 的取值在的取值在和和(或或0和和2)之間；之間；(2) 在應用上面的式子求在應用上面的式子求 時，時，一般來說有兩個值，還要由初一般來說有兩個值，還要由初始條件來判斷應該取哪個值；始條件來判斷應該取哪個值；(3)常用方法：由常用方法：由2020 vxA求求A，然后由，然后由x0=Acos v0=-Asin 兩者的共同部分求兩者的共同部

10、分求 。13三三 .簡諧振動的描述簡諧振動的描述1.解析法：解析法： x =Acos( t+ )角頻率角頻率 由由諧振系統確定。諧振系統確定。mk 對彈簧振子：對彈簧振子： 順便指出，順便指出，彈簧彈簧的串聯和并聯公式與的串聯和并聯公式與電阻電阻的串聯和的串聯和并聯公式是并聯公式是相反相反。 例如例如:一根倔強系數為一根倔強系數為k的輕彈簧的輕彈簧,減去一半后減去一半后,倔強系倔強系數是多少數是多少?11111kkkkk2114 振幅振幅A和初相和初相 由由初始條件初始條件(即即t=0時刻物體的運動時刻物體的運動狀態狀態)來確定：來確定：x =Acos( t+ ) = - Asin( t+ )

11、 o = - Asin 當當t=0時，時，xo =Acos sinAo)arctan(oox22020vxA15 例題例題7-1 一質點沿一質點沿x軸作諧振動，周期軸作諧振動，周期T= s, t=0時，時，,mxo2, s/mo22 求振動方程。求振動方程。解：解：22T4+ 43mtx)432cos(2得代入：代入：x =Acos( t+ ), 1tanoox222020vxA（m ）16 例題例題7-2 有一輕彈簧，當下端掛一個質量有一輕彈簧，當下端掛一個質量m1=80g的的物體而平衡時，伸長量為物體而平衡時，伸長量為4.9cm。用這個彈簧和質量。用這個彈簧和質量m2=40g的物體組成一彈

12、簧振子。若取平衡位置為原的物體組成一彈簧振子。若取平衡位置為原點，向上為點，向上為x軸的正方向。將軸的正方向。將m2從平衡位置向下拉從平衡位置向下拉2cm后，給予向上的初速度后，給予向上的初速度 o=10cm/s并開始計時，并開始計時，試求振動方程。試求振動方程。解：由解：由 m1g=k x , 得得16/1xgmk202mk t=0時時, xo=-2cm, o=10cm/smxo oxot=0=2.06cm22020vxA17ooxtan= 0.25 =14.04=0.24 radt=0時時, xo=-2cm, o=10cm/s應?。簯。?=0.24 + =3.38 (rad)所求振動方程

13、為所求振動方程為 x =2.06cos(20t+3.38)cm把把 A=2.06cm, =20, =3.38 代入代入 x =Acos( t+ )mxo oxot=0182.矢量圖解法矢量圖解法旋轉矢量法旋轉矢量法oM =A負最大負最大 ( )平衡位置平衡位置(+ /2)平衡位置平衡位置(- /2) 矢量矢量oM繞繞o點以角速點以角速度度 作作逆時針逆時針的的勻速勻速轉轉動動, 端點端點M在在x軸上的投軸上的投影點影點(p點點)的位移：的位移： x =Acos( t+ ) 顯然，顯然，p點的運動就點的運動就是簡諧振動。是簡諧振動。 矢量矢量oM與與x軸正方向軸正方向間的夾角：間的夾角：( t+

14、 ) 相位相位正最大正最大 (0)x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )MAox oM轉一圈轉一圈,就是簡諧就是簡諧振動的一個周期振動的一個周期T 。px( t+ )19ox例題例題7-3 求簡諧振動質點的初相求簡諧振動質點的初相 。(1)t=0時，時，xo=-A, = 。 (2)t=0時，質點經過平衡時，質點經過平衡位置正向位置正向x軸正方向運動軸正方向運動, 則則 = 3 /2(或或- /2)。 (3)t=0時，時， xo=A/2，質點質點正向正向x軸負方向運動軸負方向運動, 則則 =xo =Acos (4)t=0時，時， 質質點正向點正向x軸正方向運動軸正方向運動, 則則

15、 =,Axo22 /3。A平衡位置平衡位置5 /45 /4（或（或3 /4 ）。）。 /320 例題例題7-4 一質量一質量m=9kg質點質點, 在力在力 (N)的作用下沿的作用下沿x軸運動。當軸運動。當t=0，xo=0; t=1s, =-2m/s, 求求振動方程。振動方程。xF42解解 質點受彈性回復力的作用，故作簡諧振動。質點受彈性回復力的作用，故作簡諧振動。由由,42xF,42k知知6 mkooxtan要想直接用下述公式求要想直接用下述公式求A、 是困難的：是困難的： 我們可利用旋轉矢量先求出初相。我們可利用旋轉矢量先求出初相。 ,T=12s。22020vxA21于是：于是：)26cos

16、(tAx)26sin(6tAdtdxt=1, 2)26sin(6A38A最后得：最后得：m)tcos(x26 38 由由t=0, xo=0， 知知 = /2；又因又因T=12s, t=1s, =-20, 振動振動x2超前超前x1( 2 - 1） ；0, 振動振動x2落后落后x1( 2 - 1) ；=0, 振動振動x2和和x1同相同相 ；= , 振動振動x2和和x1反相反相 。相差相差 = 2 - 1例：例： x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )= Acos( t+ + /2 )a =- 2Acos( t+ )= 2Acos( t+ + )=- 2x 超前超前x /2； a 超

17、前超前 /2； a與與 x反相反相。 28例：例： x1 =0.3cos( t ) x2 =0.4cos( t )23x2 超前超前 x123 =0.4cos( t )2x1 超前超前 x2229 例題例題7-7 一光滑斜面上的彈簧振子，已知一光滑斜面上的彈簧振子，已知m , k , 證證明它作諧振動，并求出周期。明它作諧振動，并求出周期。 解解 (1)找出平衡位置找出平衡位置:(2)將物體將物體m對平衡位置位移對平衡位置位移x；(3)沿斜面方向應用牛二定律：沿斜面方向應用牛二定律： mgsin -k(x+xo )=ma -kx = maxmka,mk kmT 22xa2比較：比較：是諧振動。

18、是諧振動。(T與傾角與傾角 無關無關)ox建立坐標；建立坐標；mgsin =kxo ，xokm mx30 例題例題7-8 一正方體形木塊在水面上作諧振動，吃水一正方體形木塊在水面上作諧振動，吃水深度為深度為h(水面下的木塊高度水面下的木塊高度)，求振動周期求振動周期T=？ 解解 設木塊的質量為設木塊的質量為m、邊長為、邊長為b, 則平衡條件為則平衡條件為 mg= 水gb2h建立圖示坐標，建立圖示坐標，由牛二定律有由牛二定律有令木塊位移令木塊位移x, 水gb2(h-x)-mg=ma即即 - 水gb2x =ma因因,12hmb水xhga,hg ghT 22比較：比較： a=- 2xoxhx31x

19、=Acos( t+ ) =- Asin( t+ )振動勢能：振動勢能：221kxEp振動動能：振動動能：221mEk 對彈簧振子對彈簧振子(任何一個簡諧振動也都可以等效為一任何一個簡諧振動也都可以等效為一個彈簧振子個彈簧振子)，有，有 k=m 2)(sin21222tAm)(cos2122tkA=恒量恒量221kAEEEpk總能：總能：32 1.由上面可以看出由上面可以看出,諧振系統的動能和勢能都隨時間諧振系統的動能和勢能都隨時間t作周期性的變化；而且作周期性的變化；而且, 動能和勢能的周期為其振動動能和勢能的周期為其振動周期的二分之一。周期的二分之一。勢能最大時勢能最大時,動能最小動能最小;

20、動能最大時動能最大時,勢能最小勢能最小。但系統的但系統的總機械能守恒總機械能守恒。)(sin21212222tAmmEk)(cos2121222tkAkxEpEkAdtETETpP21411202.平均勢能：平均勢能：平均動能：平均動能：EkAdtETETkk2141120221kAEEEpk=恒量恒量333.振動勢能與彈性勢能不一定相同。振動勢能與彈性勢能不一定相同。,212kxEp振動勢能：振動勢能：其中其中x是對平衡位置的位移。是對平衡位置的位移。,212kxEp彈性勢能：彈性勢能：其中其中x是彈簧的伸長量。是彈簧的伸長量。221kxEp振2)(21xxkEop彈例例221kxEEpp振

21、彈xo(原長原長)(平衡位置平衡位置)xmxomxo(原長原長)(平衡位置平衡位置)x34 例題例題7-9 如圖，有一光滑水平面上的彈簧振子，彈如圖，有一光滑水平面上的彈簧振子，彈簧的倔強系數簧的倔強系數k=24N/m, 物體的質量物體的質量m=6kg, 靜止在平靜止在平衡位置。設以一水平恒力衡位置。設以一水平恒力F=10N向左作用于物體，使向左作用于物體，使之由平衡位置向左運動了之由平衡位置向左運動了s=0.05m, 此時撤去外力此時撤去外力F。取物體運動到左方最遠處開始計時，求：取物體運動到左方最遠處開始計時，求：(1)物體的物體的振振動方程動方程; (2)何處何處Ek=Ep?解解 (1)

22、振動能量來源于外力的功：振動能量來源于外力的功：,212kASF A=0.204m,mk2 = x =0.204cos(2 t+ )m(2) 22221kxEEEkAEppkm.Ax144022smFkxo35例例7-10 一長度為一長度為l的無彈性細的無彈性細線，一端被固定在線，一端被固定在A點，另一點，另一端掛一質量為端掛一質量為m、體積很小的、體積很小的物體。靜止時，細線沿豎直方物體。靜止時，細線沿豎直方向，物體處于點向，物體處于點O，這是振動，這是振動系統的平衡位置。若將物體移系統的平衡位置。若將物體移離平衡位置，使細線與豎直方離平衡位置，使細線與豎直方向夾一小角度，然后將物體由向夾一

23、小角度，然后將物體由靜止釋放，物體就在平衡位置靜止釋放，物體就在平衡位置附近往返擺動起來，這種裝置附近往返擺動起來，這種裝置稱為稱為單擺單擺。證明單擺的振動是證明單擺的振動是簡諧振動，并分析其能量。簡諧振動，并分析其能量。36解：我們選擇物體相對于平衡位置的角位移解：我們選擇物體相對于平衡位置的角位移為描述為描述單擺位置的變量，并規定物體處于平衡位置右方，單擺位置的變量，并規定物體處于平衡位置右方，為正，處于平衡位置左方，為正，處于平衡位置左方， 為負。為負。物體受到兩個力的作用，一個是重力物體受到兩個力的作用，一個是重力mg，另一個是，另一個是細線的張力細線的張力T，將重力分解為徑向分量，將

24、重力分解為徑向分量mgcos 和切和切向分量向分量mgsin ，其中徑向分量與張力，其中徑向分量與張力T一起為物體一起為物體的運動提供向心力，切向分量作為物體的回復力的運動提供向心力，切向分量作為物體的回復力由于：由于：l = s，所以，所以2222dtdldtsdasin22mgdtdml單擺的振動方程為單擺的振動方程為(1)37當偏角當偏角很小時，很小時， sin ，式（，式（1）可寫為）可寫為mgdtdml22（2）即即022lgdtd0222dtd其中其中lg2（3）單擺的振動方程（單擺的振動方程（3）與彈簧）與彈簧振子的振動方程完全相似振子的振動方程完全相似)cos(0t單擺演示單擺

25、演示1單擺演示單擺演示238單擺系統的機械能包括兩部分，一部分是物體的動能單擺系統的機械能包括兩部分，一部分是物體的動能)(sin21)(21212220222tmldtdlmmvEk另一部分是系統的勢能另一部分是系統的勢能)cos1 (mglmghEp將將cos進行級數展開進行級數展開,!6!4!21cos642由于由于很小，我們只很小，我們只取前兩項取前兩項)(cos21212202tmglmglEp39可見，單擺系統的動能和勢能都是時間的周期函數可見，單擺系統的動能和勢能都是時間的周期函數單擺系統的總能量為：單擺系統的總能量為：2022202121mlmglEEEpk上式說明，盡管在單擺

26、系統的簡諧振上式說明，盡管在單擺系統的簡諧振動過程中，系統的動能和勢能都隨時動過程中，系統的動能和勢能都隨時間作周期性變化，但總能量式恒定不間作周期性變化，但總能量式恒定不變的，并與振幅的平方成正比。變的，并與振幅的平方成正比。40一、兩個同方向同頻率簡諧振動的合成一、兩個同方向同頻率簡諧振動的合成分振動：分振動：x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )合振動：合振動： x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+ A2cos( t+ 2 ) 利用三角公式或旋轉矢量可求得合振動利用三角公式或旋轉矢量可求得合振動: x= x1+x2= Acos( t+ )可見，可

27、見， (1) 合振動仍是同頻率的諧振動。合振動仍是同頻率的諧振動。 (2)合振動的振幅和初相合振動的振幅和初相, 用旋轉矢量容易求得用旋轉矢量容易求得:41 （1）由余弦定理，合振動的振幅為）由余弦定理，合振動的振幅為22112211coscossinsinarctanAAAA（2）合振動的初相：）合振動的初相：( ( 2-2- 1 1) )M1A1 1 1MA2xoxx1x2A A2 2 2M2x= x1+x2= Acos( t+ ) x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )(cos212212221AAAAA)cos(212212221AAAAA42 (3)合

28、振動的強弱，取決于兩分振動的相位差：合振動的強弱，取決于兩分振動的相位差： = 2 - 12k , k=0, 1, 2, , A=A1+A2 , 加強加強(2k+1) , k=0, 1, 2, , A=|A1-A2 |, 減弱減弱=其他情況，其他情況，A處于處于A1+A2 和和|A1-A2 |之間之間的某一確定值的某一確定值43 解解 合振動方程合振動方程：x =Acos( t+ ) 例題例題7-11 設設分振動：分振動： x1 =0.3cos( t+ )cm, x2 =0.4cos( t+ )cm，求合振動方程。求合振動方程。2=0.522112211coscossinsintanAAAA,

29、43 =180-36.86 =-0.64+ =2.5rad 合振動方程合振動方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cmx0.30.4 A-36.86已知：已知：A1=0.3, A2=0.4, 1= /2, 2= )cos(212212221AAAAA44 例題例題7-12 t=0時，時， x1 和和 x2的的振動曲線如圖所示，振動曲線如圖所示，求合振動方程。求合振動方程。 解解 由圖由圖可知，可知，x1與與x2是反相的。因而是反相的。因而 合振幅合振幅: A= 0.12- 0.08=0.04; 合振動的初相合振動的初相: =- /2 (振幅大的分振動的初相振幅大的分振動的初相) 合振動的

30、角頻率：合振動的角頻率： =2 /T= x(m)t(s)x2x10.120.08o1 合振動方程合振動方程： x =0.04cos( t- /2 ) m45 例題例題7-13 兩個同方向、同頻率的諧振動合成后，合兩個同方向、同頻率的諧振動合成后，合振幅振幅A=20cm, 合振動與第一個振動的相差為合振動與第一個振動的相差為 /6, A1=17.3cm, 求：求：(1)A2=? (2)兩兩振動的相差振動的相差( 2 - 1)=? 解解 直接用下述公式是無法求解的：直接用下述公式是無法求解的：A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo=10cm 此題宜用旋轉矢量法求解。此題宜用旋轉矢量法求解。由

31、圖由圖, 用余弦定理得：用余弦定理得：A2 2 2)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA6cos212122AAAAA46用正弦定理有：用正弦定理有：6sin)(sin212AA 因因A=20, A2=10, 由上式由上式可可求出：求出：2)(12( ( 2-2- 1 1) )A1=17.3 1 1A=20 /6A2xoA2 2 247二、兩個同方向頻率相近的簡諧振動的合成二、兩個同方向頻率相近的簡諧振動的合成分振動：分振動：x1 =Acos( 1 t+ ) x2 =Acos( 2t+ )， 且且 1 與與 2相差很小。相差很小。 合振動：

32、合振動： x= x1+x2= )2cos(2cos22112ttA 由于由于 1 與與 2相差很小相差很小,故故 1 - 2比比 1 + 2小得多小得多; 即即t2cos12比比 的周期長得多的周期長得多！t2cos12 所以，合振動可近似看作是一個振幅緩慢變化的諧所以，合振動可近似看作是一個振幅緩慢變化的諧振動振動拍拍:),2cos(21tAxotAAo2cos21248顯然，拍頻顯然，拍頻 (振幅振幅Ao的變化頻率的變化頻率)為為 拍拍 = 2 - 1tAAo2cos212xt拍的應用：拍的應用：用音叉的振動來校準樂器；用音叉的振動來校準樂器；利用拍的規律測量超聲波的頻率；利用拍的規律測量

33、超聲波的頻率；在無線電技術中，可以用來測定無線電波在無線電技術中，可以用來測定無線電波頻率以及調制頻率以及調制49三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成 x =Acos( t+ ) y =Bcos( t+ )從上兩式中消去從上兩式中消去t, 就得到合振動的軌跡方程為就得到合振動的軌跡方程為)(sin)cos(222222ABxyByAx 在一般情況下在一般情況下,這是一個橢圓方程。這是一個橢圓方程。 (1)當當 - =0時，上式為一直線：時，上式為一直線： xABy xy50 xAByxy（1）（）（2）合振動仍為諧振動）合振動仍為諧振動:22yxr (3

34、)當當 - = /2時，上式仍為一時，上式仍為一橢圓橢圓：12222ByAx合振動不再是諧振動。合振動不再是諧振動。)tcos(2221 AA(2)當當 - = 時，時， 上上式也為一直線：式也為一直線：若若A=B,橢圓變為圓橢圓變為圓51xy - = /2xy - =- /2（4）如果）如果 - 不為上述數值，那么合振動的軌不為上述數值，那么合振動的軌跡為邊長分別為跡為邊長分別為2A(x方向）和方向）和2B（y方向）的矩方向）的矩形范圍內的任意確定的橢圓。形范圍內的任意確定的橢圓。教材圖教材圖612畫出了幾種不同相位差所對應的合振動的畫出了幾種不同相位差所對應的合振動的軌跡圖形。軌跡圖形。5

35、2四、兩個相互四、兩個相互垂直不同頻率的簡諧運動的合成垂直不同頻率的簡諧運動的合成合成運動不是周期性的運動。下面就兩種情況討論合成運動不是周期性的運動。下面就兩種情況討論 視為同頻率的合成：兩個振動的相位差緩視為同頻率的合成：兩個振動的相位差緩慢地變化，質點運動的軌道循環變化。慢地變化，質點運動的軌道循環變化。012情況情況1：兩個分振動的頻率相差很小：兩個分振動的頻率相差很小合振動的軌道是周期性的有一定規則的合振動的軌道是周期性的有一定規則的穩定的閉合曲線。這種運動軌跡的圖形穩定的閉合曲線。這種運動軌跡的圖形稱為稱為利薩如圖形利薩如圖形。應用應用測量頻率測量頻率在示波器上，垂直方向與水平方向

36、同時輸入兩個振動，已在示波器上，垂直方向與水平方向同時輸入兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據所成圖形與已知標準的利薩如知其中一個頻率，則可根據所成圖形與已知標準的利薩如圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率。圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率。2:1:yxTT情況情況2：兩個分振動的頻率相差較大，且有：兩個分振動的頻率相差較大，且有簡單整數比關系簡單整數比關系53一、一、阻尼振動阻尼振動dtdxvf振動系統受粘滯阻力與速度大小成正比，方向相反。振動系統受粘滯阻力與速度大小成正比，方向相反。彈性力或準彈性力和上述阻力作用下的動力學方程：彈性力或準彈性力和上述阻力作用下的動力學方程：1、阻尼振動

37、的概念、阻尼振動的概念振幅隨時間的變化而減小的振動稱為阻尼振動。振幅隨時間的變化而減小的振動稱為阻尼振動。2、阻尼振動的運動方程、阻尼振動的運動方程kxdtdxdtxdm22022022xdtdxdtxdm2mk 20 固有角固有角頻率頻率阻尼阻尼常數常數演示演示54情況情況1：欠阻尼欠阻尼202220 )cos()(0teAtxt這種情況稱為這種情況稱為欠阻尼欠阻尼阻力使周期增大阻力使周期增大3、討論、討論t欠阻尼欠阻尼)(tx由初始條件決定由初始條件決定A0和初相位和初相位 ,設設00)0(,)0(,0vvxxt即有即有： cossincos00000AAvAx2200200)(xvxA0

38、00tanxxv55tteCeCtx)(2)(1202202 )(t過阻尼過阻尼)(tx無振動發生無振動發生202情況情況2：過阻尼過阻尼t臨界阻尼臨界阻尼)(txtetCCtx 21)()(情況情況3：臨界阻尼臨界阻尼202220是從有周期性因子是從有周期性因子 到無周期性的到無周期性的臨界點臨界點。稱之為臨界阻尼情況。稱之為臨界阻尼情況。應用在天平調衡中。應用在天平調衡中。56系統受力：彈性力系統受力：彈性力 -kx；阻尼力阻尼力tddx 周期性驅動力周期性驅動力 f =Fcos ttFtddxkxtdxdmcos22二、受迫振動二、受迫振動 在周期性外力作用下發生的振動，稱為在周期性外力

39、作用下發生的振動，稱為受迫振動受迫振動。該外力稱為驅動力。該外力稱為驅動力。振動方程可寫為：振動方程可寫為：tmFxtddxtdxdcos22022令令,mkom257該微分方程的解為該微分方程的解為tmFxtddxtdxdcos22022)cos()cos(22tAtAexot 可以看出可以看出,此等幅振動的頻率此等幅振動的頻率 就是驅動力的頻率就是驅動力的頻率,其振幅和初相為其振幅和初相為 上式表明上式表明,受迫振動可以看成是兩個振動合成的。第受迫振動可以看成是兩個振動合成的。第一項表示的是減幅振動。經過一段時間后一項表示的是減幅振動。經過一段時間后,這一分振動這一分振動就減弱到可以忽略不

40、計了。而第二項表示的是受迫振就減弱到可以忽略不計了。而第二項表示的是受迫振動達到穩定狀態時的等幅振動。因此動達到穩定狀態時的等幅振動。因此,穩態解為穩態解為 x =Acos( t- ) 58 可以看出，可以看出， A、 不僅不僅與振動系統自身的性質有關，與振動系統自身的性質有關，而且與驅動力的頻率和幅度有關。而且與驅動力的頻率和幅度有關。 222tano222224)(/omFA59222or三、共振三、共振 受迫振動的振幅與驅動力的頻率有關受迫振動的振幅與驅動力的頻率有關,當驅動力當驅動力頻率達某一值時頻率達某一值時,振幅達最大值。用求極值的方法可振幅達最大值。用求極值的方法可以求出使振幅達

41、到極大值的角頻率為以求出使振幅達到極大值的角頻率為相應的最大振幅為相應的最大振幅為222/ormFA 在弱阻尼在弱阻尼(即即 o)的情況下的情況下,由式可以看出由式可以看出,當當 r= o , 即驅動力頻率等于振動系統的固有頻率時即驅動力頻率等于振動系統的固有頻率時,振幅達到最大值。我們把這種振幅達到最大值的現振幅達到最大值。我們把這種振幅達到最大值的現象叫做象叫做共振共振。蕩秋千演示蕩秋千演示60應用應用防止防止鋼琴、小提琴等樂器利用共振來提高音響效果；鋼琴、小提琴等樂器利用共振來提高音響效果；收音機利用電磁共振進行選臺；收音機利用電磁共振進行選臺；核內的核磁共振被用來進行物質結構的研究和核

42、內的核磁共振被用來進行物質結構的研究和醫療診斷等。醫療診斷等。改變系統的固有頻率或外力的頻率；改變系統的固有頻率或外力的頻率；破壞外力的周期性；破壞外力的周期性；增大系統的阻尼；增大系統的阻尼；對精密儀器使用減振臺。對精密儀器使用減振臺。6162 在彈性介質中，各質點之間是以彈性力相互聯系在彈性介質中，各質點之間是以彈性力相互聯系著的。著的。一、機械波的產生和傳播一、機械波的產生和傳播7-4 波動的基本概念波動的基本概念 產生機械波的條件：產生機械波的條件： 波源波源產生機械振動；產生機械振動； 彈性介質彈性介質傳播振動狀態。傳播振動狀態。 當介質中的一個質點開始振動后當介質中的一個質點開始振

43、動后,在彈性力的在彈性力的作用下作用下,就會帶動鄰近質點振動就會帶動鄰近質點振動,鄰近質點又帶動更遠鄰近質點又帶動更遠質點振動。這樣依次帶動質點振動。這樣依次帶動,就把振動由近及遠地傳播就把振動由近及遠地傳播出去出去,形成了波動。形成了波動。u63t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4t = T 64容易看出容易看出, , 沿著波的傳播方向沿著波的傳播方向, , 振動是依次落后的。振動是依次落后的。P點比點比o點時間落后：點時間落后：uxt P點比點比o點位相落后：點位相落后：uxt)2:(T注意(這里：這里：u是波速是波速)pyuxo(波源波源)x值

44、得注意的是：值得注意的是：波動是波源的振動狀態或波動能量在介質中的傳播波動是波源的振動狀態或波動能量在介質中的傳播介質中的質點并不隨波前進，只是在各自的平衡位置附介質中的質點并不隨波前進，只是在各自的平衡位置附近往復運動。近往復運動。65二、橫波與縱波二、橫波與縱波波的傳播方向波的傳播方向向右向右波的傳播方向波的傳播方向向右向右質點振動方向質點振動方向水平水平uabxyo質點質點 振動方向振動方向向上向上a分類標準分類標準介質質點的振動方向與介質質點的振動方向與波動的傳播方向的關系波動的傳播方向的關系1、橫波橫波質點的振動方向與波的質點的振動方向與波的傳播方向垂直。傳播方向垂直。波峰波峰波形凸

45、起部分波形凸起部分波谷波谷波形凹下部分波形凹下部分2、縱波縱波質點的振動方向與波的質點的振動方向與波的傳播方向平行。傳播方向平行。縱波的傳播表現為縱波的傳播表現為疏密疏密狀態沿波傳播方向移動。狀態沿波傳播方向移動。66三、波面和波線三、波面和波線波線波線(波射線波射線) 波的傳播方向。波的傳播方向。 波面波面(波陣面波陣面) 波動過程中，振動相位相同的點連波動過程中，振動相位相同的點連成的面。最前面的那個波面稱為波前。成的面。最前面的那個波面稱為波前。 平面波平面波波面為平面的波動。本章只討論這種波。波面為平面的波動。本章只討論這種波。 球面波球面波波面為球面的波動。波面為球面的波動。 在各向

46、同性媒質中，波線總是與波面垂直。在各向同性媒質中，波線總是與波面垂直。 波面波面 波面和波線波面和波線都是為了形象地描述波在空間的傳播而引都是為了形象地描述波在空間的傳播而引入的概念。入的概念。67四、波速四、波速 波長波長 波的周期和頻率波的周期和頻率 1、 波速波速u單位時間內振動傳播的距離，也就是單位時間內振動傳播的距離，也就是波面向前推進的速率。波速完全由媒質的性質波面向前推進的速率。波速完全由媒質的性質(彈性彈性和慣性和慣性)來確定。來確定。如液體、氣體中的縱波，波速：如液體、氣體中的縱波，波速： Bu 體變彈性模量體變彈性模量質量密度質量密度(慣性慣性)固體中的橫波，波速：固體中的

47、橫波，波速： Gu 切變彈性模量切變彈性模量縱波，波速：縱波，波速： Yu 楊氏彈性模量楊氏彈性模量柔繩中的橫波，波速：柔繩中的橫波，波速： Tu 繩中的張力繩中的張力質量線密度質量線密度682、波長、波長反映波動的空間周期性反映波動的空間周期性定義：定義：同一波線上兩個相鄰的、相位同一波線上兩個相鄰的、相位差為差為2 的振動質點之間的距的振動質點之間的距離，離，或或沿波的傳播方向，相鄰沿波的傳播方向，相鄰的兩個同相質點之間的距離叫的兩個同相質點之間的距離叫波長波長。說明：說明：波長可形象地想象為一個完整的波長可形象地想象為一個完整的“波波”的長度；的長度；橫波橫波：相鄰兩個波峰或波谷之間的距

48、離相鄰兩個波峰或波谷之間的距離縱波縱波：相鄰兩個密部中心或疏部中心之間的距離相鄰兩個密部中心或疏部中心之間的距離xyo693、周期和頻率、周期和頻率反映波動的時間周期性反映波動的時間周期性定義：定義：周期周期：一個完整的波（即一個波長的波）通過：一個完整的波（即一個波長的波）通過波線上某點所需要的時間，叫周期，用波線上某點所需要的時間，叫周期，用T T表示。表示。頻率頻率：周期的倒數叫做頻率，用：周期的倒數叫做頻率，用v v表示表示T/1 說明：說明：由于波源作一次完全的振動，波就前進一個波長的距離，由于波源作一次完全的振動，波就前進一個波長的距離，因此因此波的周期等于波源振動的周期；波的周期

49、等于波源振動的周期；波的周期只與振源有關，而與傳播介質無關。波的周期只與振源有關，而與傳播介質無關。70 周期周期T反映波的時間周期性，而波長反映波的時間周期性，而波長 反映的是波的反映的是波的空間周期性。顯然，周期空間周期性。顯然，周期T也就是波傳播一個波長距也就是波傳播一個波長距離所需的時間。離所需的時間。Tu 71例例7-15：在室溫下，已知空氣中的聲速為：在室溫下，已知空氣中的聲速為u1=340ms-1，水中的聲水中的聲速為速為u2=1450ms-1，求頻率為求頻率為200Hz的聲波在空氣和水中的波長。的聲波在空氣和水中的波長。解：由解：由 u 得得 空氣中空氣中 mu7 . 1200

50、34011 水中水中 mu25. 7200145022 結論結論：同一頻率的聲波，在水中的波長要比在空氣中的波長要長。：同一頻率的聲波，在水中的波長要比在空氣中的波長要長。原因原因：波速決定于介質，頻率決定與振源，所以同一波源發出的：波速決定于介質，頻率決定與振源，所以同一波源發出的一定頻率的波在不同介質中傳播時，頻率不變，但波速不同，因一定頻率的波在不同介質中傳播時，頻率不變，但波速不同，因而波長也不同。而波長也不同。721.波的疊加原理波的疊加原理五、五、 波動所遵從的基本原理波動所遵從的基本原理 大量的觀察和研究表明大量的觀察和研究表明:幾列波可以保持各自的幾列波可以保持各自的特點特點(

51、頻率、波長、振幅、振動方向等頻率、波長、振幅、振動方向等)同時通過同一同時通過同一媒質媒質,好像在各自的傳播過程中沒有遇到其他波一樣。好像在各自的傳播過程中沒有遇到其他波一樣。因此因此,在幾列波相遇或疊加的區域內在幾列波相遇或疊加的區域內,任一點的振動任一點的振動,為為各個波單獨在該點產生的振動的合成。這一規律稱為各個波單獨在該點產生的振動的合成。這一規律稱為波的獨立傳播原理波的獨立傳播原理或或波的疊加原理波的疊加原理。 管弦樂隊合奏或幾個人同時講話時管弦樂隊合奏或幾個人同時講話時,在空氣中同時在空氣中同時傳播著許多聲波傳播著許多聲波,但我們仍能夠辯別出各種樂器的音調但我們仍能夠辯別出各種樂器

52、的音調或某個人的聲音或某個人的聲音,這就是波的疊加原理的具體例子。這就是波的疊加原理的具體例子。 數學方法：傅里葉分析。數學方法：傅里葉分析。732. 惠更斯原理惠更斯原理 介質中波動傳播到的各點介質中波動傳播到的各點,都可以看作是發射子波都可以看作是發射子波的波源的波源,其后任一時刻其后任一時刻,這些子波的包絡就是新的波面。這些子波的包絡就是新的波面。這就是惠更斯原理。這就是惠更斯原理。 作用：知道某一時刻的波陣面作用：知道某一時刻的波陣面,用幾何作圖的方法用幾何作圖的方法就能確定下一時刻的波陣面就能確定下一時刻的波陣面,從而確定波的傳播方向。從而確定波的傳播方向。球球面面波波 tt + t

53、平面波平面波t+ t時刻波面時刻波面u t波傳播方向波傳播方向t 時刻波面時刻波面74惠更斯原理的不足：不能求出波的強度分布?；莞乖淼牟蛔悖翰荒芮蟪霾ǖ膹姸确植肌 用惠更斯原理可以解釋波的衍射現象。所謂用惠更斯原理可以解釋波的衍射現象。所謂波的波的衍射衍射是指波在傳播過程中遇到障礙物時是指波在傳播過程中遇到障礙物時,其傳播方向其傳播方向發生改變發生改變,能繞過障礙物的邊緣繼續前進且強度重新能繞過障礙物的邊緣繼續前進且強度重新分布的現象分布的現象。 我們用惠更斯原理畫出了我們用惠更斯原理畫出了新的波陣面及波的傳播方向。很明顯新的波陣面及波的傳播方向。很明顯,波已繞過障礙波已繞過障礙物的邊緣

54、而傳播了物的邊緣而傳播了,即發生了衍射現象。若縫的寬度即發生了衍射現象。若縫的寬度比波長小得多時比波長小得多時,衍射現象將更加顯著。衍射現象將更加顯著。在下圖中在下圖中,75例例7-16 在波線上有相距在波線上有相距2.5 cm的的A、B兩點，已知兩點，已知點點B的振動相位比點的振動相位比點A落后落后300,振動周期為振動周期為2.0s，求，求波速和波長。波速和波長。解：我們知道：波線上相距解：我們知道：波線上相距的兩點的相位差為的兩點的相位差為2，而現在已知而現在已知波線上相距波線上相距2.5 cm的的A、B兩點兩點的相的相位差位差300 /6，因此有：因此有：6105 . 222得：m30

55、. 0smTu/15. 0230. 076一、平面簡諧波的概念一、平面簡諧波的概念波源作簡諧振動，波動所到之處的各個質點也在作簡諧振波源作簡諧振動，波動所到之處的各個質點也在作簡諧振動，相應的波稱為動，相應的波稱為簡諧波簡諧波。任意一種復雜的波都可以表示。任意一種復雜的波都可以表示為若干不同頻率、不同振幅的簡諧波的合成。波面為平面為若干不同頻率、不同振幅的簡諧波的合成。波面為平面的簡諧波稱為的簡諧波稱為平面簡諧波平面簡諧波。二、平面簡諧波的波函數二、平面簡諧波的波函數uxtAy cos0波源波源X軸上任一點軸上任一點P(x)，時間上要落，時間上要落后后=x/u/u，P處振動的相位要比處振動的相

56、位要比O處的相位落后處的相位落后 uxtAtAyP coscos演示演示7-5 平面簡諧波的平面簡諧波的波函數波函數77平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 uxtAy cos xTtAy2cos xtAy2cos若考慮若考慮O處質點的振動初相位處質點的振動初相位 uxtAycos kxtAy cos /2 k波數波數波數為波數為2米內所米內所包含的完整波的包含的完整波的數目。數目。78三、波動中質點振動的速度和加速度三、波動中質點振動的速度和加速度 uxtAtyauxtAtyv cos sin 222四、沿四、沿X軸負方向傳播的平面簡諧波的表達式軸負方向傳播的平面簡諧波的表達式 xtAyxT

57、tAykxtAyuxtAy2cos2cos) cos(cos演示演示79五、波函數的物理意義五、波函數的物理意義1、x一定，則位移僅是時間一定，則位移僅是時間的函數，對于的函數，對于x=x1 12cosxtAy質點的振動方程質點的振動方程2、t 一定，則位移僅是坐標的函一定，則位移僅是坐標的函數，對于數，對于 t=t1 xtAy2cos1對于不同的點對于不同的點 22112 2 xtxt )(2)2 ()2 (12212112xxxtxt 21122x 演示演示803、x 和和 t 都變化都變化波函數表示波線上所有質點在不同時刻的位移。波函數表示波線上所有質點在不同時刻的位移。(x,t)與（與

58、（x+ x,t+ t)處的相位相同處的相位相同 )()(22xxttuxut tux 結論：波的傳播是相結論：波的傳播是相位的傳播（行波）位的傳播（行波）演示演示81 例題例題7-17 已知波動方程：已知波動方程： ),)(212(cos5 . 0SIxty 求：求：(1)此波的傳播方向，波的振幅、周期、頻率、此波的傳播方向，波的振幅、周期、頻率、波長和波速，以及坐標原點的振動初相；波長和波速，以及坐標原點的振動初相； (2)x=2m處質點的振動方程，及處質點的振動方程，及t=1s時該質點的速時該質點的速度和加速度。度和加速度。 (3)x1=1m和和x2=2m兩點的相差。兩點的相差。 解解 (

59、1)比較法比較法。2)42(2cos5 . 0 xtyTtAy(2cos)ox 波沿波沿x軸正方向傳播；軸正方向傳播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原點的振動初相原點的振動初相 o= /2。82 (2)將將x=2m代入波動方程就得該代入波動方程就得該處質點的振動方程：處質點的振動方程：)(212(cos5 . 0SIxtymty)2cos(5 . 0t=1s時該質點的速度和加速度為時該質點的速度和加速度為)2sin(5 . 0tdtdy)2cos(5 . 02tdtdat=1-0.5(m/s)t=10(3)x1=1m和和x2=2m兩點的相差：兩點

60、的相差：)(212xx 2) 12(4283 例題例題7-18 一波動以一波動以u=20cm/s沿沿x軸負方向傳播，軸負方向傳播，A點的振動方程為點的振動方程為 yA=0.4cos4 t(cm), 求求波動方程：波動方程： (1)以以A為坐標原點；為坐標原點； (2)以以B為坐標原點。為坐標原點。 解解 (1)以以A為坐標原點。為坐標原點。 tAy(cos)oux=0.4cos4(t20 x)cmx5cmABux5cmABuyo1.標準函數法：標準函數法：84已知已知A點的振動方程為點的振動方程為 yA=0.4cos4 t(cm)P(x)點比點比已知點已知點A時間時間超前：超前：uxt x5c