1、要點梳理要點梳理1.1.根式根式（1 1）根式的概念）根式的概念 如果一個數的如果一個數的n n次方等于次方等于a a（n n1 1且且n nN N* *），那么這），那么這 個數叫做個數叫做a a的的n n次方根次方根. .也就是，若也就是，若x xn n= =a a，則，則x x叫做叫做 _,_,其中其中n n1 1且且n nN N* *. .式子式子 叫做叫做_,_, 這里這里n n叫做叫做_，a a叫做叫做_. _. 指數與指數函數指數與指數函數 a a的的n n次方根次方根na根式根式根指數根指數被開方數被開方數基礎知識基礎知識 自主學習自主學習1（2 2）根式的性質）根式的性質 當

2、當n n為奇數時為奇數時, ,正數的正數的n n次方根是一個正數，負數的次方根是一個正數，負數的 n n次方根是一個負數，這時，次方根是一個負數，這時，a a的的n n次方根用符號次方根用符號_ 表示表示. . 當當n n為偶數時，正數的為偶數時，正數的n n次方根有兩個，它們互為次方根有兩個，它們互為 相反數相反數, ,這時，正數的正的這時，正數的正的n n次方根用符號次方根用符號_表示表示, , 負的負的n n次方根用符號次方根用符號_表示表示. .正負兩個正負兩個n n次方根次方根 可以合寫為可以合寫為_（a a0 0）. . =_. =_. nananananna)(a a2當當n n

3、為奇數時，為奇數時， =_;=_;當當n n為偶數時，為偶數時， =_.=_.負數沒有偶次方根負數沒有偶次方根. . 2.2.有理數指數冪有理數指數冪(1)(1)冪的有關概念冪的有關概念正整數指數冪：正整數指數冪： （n nN N* *）；）；零指數冪：零指數冪：a a0 0=_=_（a a00）；）；負整數指數冪：負整數指數冪：a a- -p p=_=_（a a00，p pN N* *）；）；nna|aann)0()0(aaaaa a個個nnaaaa 1 1pa13正分數指數冪：正分數指數冪： =_=_（a a00，m m、n nN N* *， 且且n n11）；）；負分數指數冪：負分數指數

4、冪： = = (= = (a a0,0,m m、n n N N* *, ,且且n n1).1).0 0的正分數指數冪等于的正分數指數冪等于_，0 0的負分數指數冪的負分數指數冪 _._.（2 2）有理數指數冪的性質）有理數指數冪的性質 a ar ra as s= = _(_(a a0,0,r r、s sQ Q);); ( (a ar r) )s s= = _(_(a a0,0,r r、s sQ Q);); ( (abab) )r r= = _(_(a a0,0,b b0,0,r rQ Q). ). nmanmanmanma1nma1a ar r+ +s sa ars rsa ar rb br

5、r0 0沒有意義沒有意義43.3.指數函數的圖象與性質指數函數的圖象與性質 y y= =a ax xa a1100a a100時時,_;,_;x x000時時,_;,_;x x011y y1100y y1100y y11減函數減函數增函數增函數5基礎自測基礎自測1.1.已知已知a a 則化簡則化簡 的結果是的結果是 （ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析,4142) 14(a14 a14 aa41a41.41)41 ()41 () 14(212244aaaaC62.2.下列函數中，既是偶函數又在（下列函數中，既是偶函數又在（0 0，+）上單調遞）上單調遞 增的是增的是

6、 （ ） A.A.y y= =x x3 3 B.B.y y=-=-x x2 2+1+1 C. C.y y=|=|x x|+1 D.|+1 D.y y=2=2-|-|x x| | 解析解析 因為因為y y= =x x3 3是奇函數，從而可排除是奇函數，從而可排除A A，因為函數，因為函數 y y=-=-x x2 2+1+1及及y y=2=2-|-|x x| |在（在（0 0，+）上單調遞減，所以排）上單調遞減，所以排 除除B B、D. D. C73.3.右圖是指數函數（右圖是指數函數（1 1）y y= =a ax x，（2 2）y y= =b bx x, ,（3 3）y y= =c cx x,

7、,（4 4）y y= =d dx x 的圖象的圖象, ,則則a a，b b，c c，d d與與1 1的大的大 小關系是小關系是 ( )( ) A. A.a a b b11c c d d B. B.b b a a11d d c c C.1 C.1a a b b c c d d D. D.a a b b11d d c c 8解析解析 方法一方法一 當指數函數底數大于當指數函數底數大于1 1時，圖象上升，時，圖象上升，且當底數越大時，在第一象限內，圖象越靠近且當底數越大時，在第一象限內，圖象越靠近y y軸；軸；當底數大于當底數大于0 0且小于且小于1 1時時, ,圖象下降圖象下降, ,且在第一象限內

8、且在第一象限內, ,底數越小，圖象越靠近底數越小，圖象越靠近x x軸軸. .故可知故可知b b a a11d d d d1 1 a a1 1 b b1 1, ,b b a a11d d 00且且a a11 解析解析 a a=2. =2. . 023, 10, 133, 1022aaaaaaaa且且C11題型一題型一 指數冪的化簡與求值指數冪的化簡與求值【例例1 1】計算下列各式：計算下列各式：.)()();()()(;)()(;)()().)(.33312248436235491325129721252702701323234316561312121320503132bbababababbab

9、aba 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析12 先把根式化為分數指數冪，再根據冪的運先把根式化為分數指數冪，再根據冪的運算性質進行計算算性質進行計算. .解解 .44)3()6(2)3(. 1)25(1)25()25(125)2(.100935351009925)27125()3 . 0() 1 (06531216121322312aabba原式原式原式思維啟迪思維啟迪13 根式運算或根式與指數式混合運算時根式運算或根式與指數式混合運算時, ,將將根式化為指數式計算較為方便，對于計算的結果，不根式化為指數式計算較為方便，對于計算的結果，不強求統一用什么形式來表示，如果有特殊要求，要根強求統一用

10、什么形式來表示，如果有特殊要求，要根據要求寫出結果據要求寫出結果. .但結果不能同時含有根號和分數指但結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數數，也不能既有分母又含有負指數. . .)(224)24)(2(224)8()4(331313131313131313231313232313132313131313131313231313231bbbbbbbabbbaabbaababbbbabbaabab原式探究提高探究提高14知能遷移知能遷移1 1 .),()(;)()()().()(的值的值求求若若化簡：化簡：xxxxxxaxaa4242121297271027012221212

11、1021231 15解解.)1(1)1(1,)1(2)1(4)1()21)(21()4(4, 21,)2(.45135493101)925(7)000127() 1 (2222222221212121231aaaaaaaaaaaaaaaaaaaxxxxaaxaax原式得由原式16題型二題型二 指數函數的性質指數函數的性質【例例2 2】(12(12分分) )設函數設函數f f( (x x)= )= 為奇函數為奇函數. . 求：求：（1 1）實數）實數a a的值；的值；（2 2）用定義法判斷）用定義法判斷f f（x x）在其定義域上的單調性）在其定義域上的單調性. . 由由f f（- -x x）=

12、-=-f f（x x）恒成立可解得）恒成立可解得a a的值的值; ; 第第(2)(2)問按定義法判斷單調性的步驟進行求解即可問按定義法判斷單調性的步驟進行求解即可. .思維啟迪思維啟迪1222xxaa17解解 (1)(1)方法一方法一 依題意，函數依題意，函數f f（x x）的定義域為）的定義域為R R， f f（x x）是奇函數，）是奇函數，f f（- -x x）=-=-f f（x x），）， 2 2分分2(2(a a-1)(2-1)(2x x+1)=0+1)=0，a a=1. 6=1. 6分分方法二方法二 f f( (x x) )是是R R上的奇函數，上的奇函數，f f(0)=0(0)=0

13、，即，即 a a=1. 6=1. 6分分（2 2）由）由(1)(1)知，知， 設設x x1 1 )f f( (x x1 1),),f f( (x x) )在在R R上是增函數上是增函數. 12. 12分分 (1)(1)若若f f( (x x) )在在x x=0=0處有定義處有定義, ,且且f f( (x x) )是奇函是奇函數數, ,則有則有f f(0)=0,(0)=0,即可求得即可求得a a=1.=1.（2 2）由）由x x1 1 x x2 2推得推得 實質上應用了函數實質上應用了函數 f f（x x）=2=2x x在在R R上是單調遞增這一性質上是單調遞增這一性質. . , 0) 12)(

14、12()22(2)1221 ()1221 (12121212)()(121212112212xxxxxxxxxxxfxf則,2221xx探究提高探究提高19知能遷移知能遷移2 2 設設 是定義在是定義在R R上的函數上的函數. .（1 1）f f（x x）可能是奇函數嗎？）可能是奇函數嗎？（2 2）若）若f f（x x）是偶函數，試研究其單調性）是偶函數，試研究其單調性. . 解解 (1)(1)方法一方法一 假設假設f f( (x x) )是奇函數是奇函數, ,由于定義域為由于定義域為R R, , f f（- -x x）=-=-f f（x x）, ,即即 整理得整理得 即即 即即a a2 2+

15、1=0,+1=0,顯然無解顯然無解. . f f（x x）不可能是奇函數）不可能是奇函數. . ),ee(eexxxxaaaa,)e)(e(01 xxaa, 01aaxxaaxfee)(20方法二方法二 若若f f( (x x) )是是R R上的奇函數，上的奇函數，則則f f(0)=0,(0)=0,即即f f( (x x) )不可能是奇函數不可能是奇函數.(2)(2)因為因為f f( (x x) )是偶函數，所以是偶函數，所以f f(-(-x x)=)=f f( (x x),),即即整理得整理得 又又對任意對任意x xR R都成立，都成立，有有 得得a a= =1.1.當當a a=1=1時，時

16、，f f( (x x)=e)=e- -x x+e+ex x, ,以下討論其單調性，以下討論其單調性，任取任取x x1 1, ,x x2 2R R且且x x1 1 x x2 2, , ,eeeexxxxaaaa, 0)e)(e1(xxaa, 01aa, 01無解aa21當當 f f( (x x1 1)00，即增區間為，即增區間為0,+),0,+),反之反之(-,0(-,0為減區間為減區間. .當當a a=-1=-1時，同理可得時，同理可得f f( (x x) )在（在（-，0 0上是增函數，上是增函數，在在0 0，+）上是減函數）上是減函數. . ,ee ,ee,ee)(ee(eeeee)()(

17、0012121212121221121 xxxxxxxxxxxxxxxfxf其中其中則則, 01e21xx22題型三題型三 指數函數的圖象及應用指數函數的圖象及應用【例例3 3】已知函數已知函數 (1)(1)作出圖象；作出圖象； (2)(2)由圖象指出其單調區間；由圖象指出其單調區間； (3)(3)由圖象指出當由圖象指出當x x取什么值時函數有最值取什么值時函數有最值. . 思維啟迪思維啟迪 化去絕對值符號化去絕對值符號將函數寫成分段函數的形式將函數寫成分段函數的形式作圖象作圖象寫出單調區間寫出單調區間寫出寫出x x的取值的取值.)31(| 1| xy23解解 （1 1）由已知可得）由已知可得

18、其圖象由兩部分組成：其圖象由兩部分組成：一部分是：一部分是： 另一部分是：另一部分是：y y=3=3x x ( (x x0) 0) y y=3=3x x+1+1 ( (x x-1). 0,0,且且a a 1) 1)的圖象有兩個公共點的圖象有兩個公共點, ,則則a a的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析 數形結合數形結合. . 當當a a11時，如圖時，如圖, ,只有一個公共點，不符合題意只有一個公共點，不符合題意. . 當當00a a11時，如圖時，如圖, ,由圖象知由圖象知0202a a1,1,)21, 0(.210a261.1.單調性是指數函數的重要性質，特別是函數圖象的單調性是指數

19、函數的重要性質，特別是函數圖象的 無限伸展性，無限伸展性，x x軸是函數圖象的漸近線軸是函數圖象的漸近線. .當當00a a111，x x-時時, ,y y0;0;當當a a11時，時， a a的值越大，圖象越靠近的值越大，圖象越靠近y y軸，遞增的速度越快；軸，遞增的速度越快； 當當00a a10,0,a a1)1)的圖象和性質與的圖象和性質與a a的取值的取值 有關，要特別注意區分有關，要特別注意區分a a11與與00a a11,1,b b01,1,b b00 C.0 C.0a a1,00 D.0 D.0a a1,1,b b0 0 30解析解析 由圖象得函數是減函數，由圖象得函數是減函數，

20、00a a1.0,0,即即b b0.0.從而從而D D正確正確. . 答案答案 D D313.3.已知函數已知函數y y=4=4x x-3-32 2x x+3,+3,當其值域為當其值域為1,71,7時時, ,x x的取的取 值范圍是值范圍是 （ ） A.2A.2，4 B.(-4 B.(-，00 C.(0 C.(0，1212，4 D.(-4 D.(-，0101，22 解析解析 y y=(2=(2x x) )2 2-3-32 2x x+3+3 2 2x x-1-1，1212，44， x x(-(-，0101，2. 2. ,7 , 1 43)232(2x.25,2121,25232.425,41)2

21、32(2xxD324.4.定義運算：定義運算：a a* *b b= = 如如1 1* *2=1,2=1,則函數則函數f f( (x x) ) =2 =2x x * *2 2- -x x的值域為的值域為 （ ） A.A.R R B.(0,+) B.(0,+) C.(0 C.(0，1 D.11 D.1，+)+) 解析解析 f f（x x）=2=2x x * *2 2- -x x= = f f（x x）在）在(-(-，00上是增函數，上是增函數， 在在(0(0，+)+)上是減函數，上是減函數， 001,)1,而而 在（在（1,+)1,+)上上 單調遞減，故單調遞減，故 在在(-,+)(-,+)上單調

22、遞上單調遞 減，且無限趨于減，且無限趨于0 0，故無最小值，故無最小值. . ,121)(xxf121)(xxf.1)(uufuuf1)(A346.6.函數函數 的部分圖象大致是如圖所的部分圖象大致是如圖所 示的四個圖象中的一個，根據你的判斷示的四個圖象中的一個，根據你的判斷, ,a a可能的取可能的取 值是值是 （ ） A. B. C.2 D.4 A. B. C.2 D.4 323221xay )(212335解析解析 函數為偶函數，排除，又函數值恒為正函數為偶函數，排除，又函數值恒為正值，則排除，故圖象只能是，再根據圖象先增值，則排除，故圖象只能是，再根據圖象先增 后減的特征可知后減的特征

23、可知2 2a a-31,-31,即即a a2,2,符合條件的只有符合條件的只有D D選選項，故選項，故選D. D. 答案答案 D D36二、填空題二、填空題7.7. 若若f f( (x x)=)=a a- -x x與與g g( (x x)=)=a ax x- -a a ( (a a00且且a a1)1)的圖象關于直的圖象關于直 線線x x=1=1對稱，則對稱，則a a=_.=_. 解析解析 g g（x x）上的點）上的點P P（a a，1 1）關于直線）關于直線x x=1=1的對稱的對稱 點點P P(2-(2-a a,1),1)應在應在f f( (x x)=)=a a- -x x上，上， 1=

24、1=a aa a-2-2.a a-2=0,-2=0,即即a a=2. =2. 2 2378.8.設函數設函數f f( (x x)=)=a a-|-|x x| | ( (a a00且且a a1),1),若若f f(2)=4(2)=4，則，則f f(-2) (-2) 與與f f(1)(1)的大小關系是的大小關系是_._. 解析解析 由由f f(2)=(2)=a a-2-2=4,=4,解得解得a a= = f f( (x x)=2)=2| |x x| |,f f(-2)=42=(-2)=42=f f(1). (1). f f(-2)(-2)f f(1)(1),21389.9.(2009(2009江蘇

25、江蘇) )已知已知 函數函數f f( (x x)=)=a ax x, ,若實數若實數 m m、n n滿足滿足f f( (m m)f f( (n n),),則則m m、n n的大小關系為的大小關系為_._. 解析解析 函數函數f f( (x x)=)=a ax x在在R R上是減函數上是減函數. . 又又f f( (m m)f f( (n n),),m m n n. . ,215 am m n n, 12150 a39三、解答題三、解答題10.10.已知對任意已知對任意x xR R, ,不等式不等式 恒成恒成 立，求實數立，求實數m m的取值范圍的取值范圍. . 解解 由題知由題知: :不等式不等式