1、第第15章章 電力網絡的數學模型電力網絡的數學模型l節點導納矩陣的特點、形成原理；節點導納矩陣的特點、形成原理；l節點阻抗矩陣的特點、形成原理。節點阻抗矩陣的特點、形成原理。本章提示本章提示15.1 電力網絡的基本方程式電力網絡的基本方程式 電力網絡可以用電力網絡可以用節點方程式節點方程式或或回路方程式回路方程式表示出來。表示出來。 電力系統的基礎網絡方程式一般都用電力系統的基礎網絡方程式一般都用節點方程式節點方程式表示。表示。 15.1 簡化的有源電力網絡接線圖簡化的有源電力網絡接線圖網絡方程組可以表示為：網絡方程組可以表示為：nnnknknnnnnkknnkkUYUYUYUYIUYUYUY

2、UYIUYUYUYUYI2211222221212112121111或者寫成或者寫成 YU njjijiUYI1簡單寫成簡單寫成(i =1,2,n) 上式可化為上式可化為 UZI 15.2 15.2 節點導納矩陣及其算法節點導納矩陣及其算法1、節點導納矩陣、節點導納矩陣2、節點導納矩陣的計算方法、節點導納矩陣的計算方法1、自導納、自導納 節點節點i的自導納的自導納Yii 是當節點是當節點i以外的所有節點都接地，在節以外的所有節點都接地，在節點點i加上單位大小的電壓加上單位大小的電壓( =1單位電壓單位電壓)時，由節點時，由節點i流向流向網絡的電流就等于網絡的電流就等于i節點的自導納。節點的自導

3、納。iU自導納等于與節點自導納等于與節點i i連接的所有支路導納的和連接的所有支路導納的和iiiiIYU0,jUji圖圖15.2 電力網絡接線圖電力網絡接線圖圖圖15.215.2中節點中節點2 2的自導納的自導納Y Y2222為為 = = + + =0.25-j0.25(s)22Y22UI61j31j41j2.2.互導納互導納 節點節點j j以外的節點全接地以外的節點全接地, ,在節點在節點j j加以單位電壓時，由加以單位電壓時，由節點節點i i流向流向j j的電流加上負號就是互導納的電流加上負號就是互導納Y Yijij Y Yijij 是連接節點是連接節點j j和節點和節點i i支路的導納再

4、加上負號而得支路的導納再加上負號而得iijjIYU0,kUkj 圖圖15.3 電力網絡接線圖電力網絡接線圖 在圖在圖15.215.2中節點中節點1,21,2間的互導納間的互導納Y Y1212為為 =- =j0.1677(s)12Y61j =- (1/ +1/ )jiYZZ 右圖中節點右圖中節點1,21,2間的間的互導納互導納Y Y1212為為導納矩陣是對稱矩陣；導納矩陣是對稱矩陣；導納矩陣是稀疏矩陣；導納矩陣是稀疏矩陣；導納矩陣能從系統網絡接線圖直觀地求出。導納矩陣能從系統網絡接線圖直觀地求出。導納矩陣的特點導納矩陣的特點例例: :求系統的導納矩陣求系統的導納矩陣( (所給數字是標么阻抗所給數

5、字是標么阻抗) )圖圖15.4解解: :節點節點1 1的自導納為：的自導納為： = + + 11Y0 .301j40. 008. 01j50. 012. 01j互導納為：互導納為：Y =- =-0.4808+j2.40381240. 008. 01j=0.9346-j4.2616對其它節點進行同樣的計算，則依次得到對其它節點進行同樣的計算，則依次得到3333. 33333. 3003333. 35429. 70421. 13529. 288252. 08911. 14539. 003529. 25882. 07274. 40690. 14038. 24808. 008911. 14539. 0

6、40138. 240808. 02616. 49346. 0jjjjjjjjjjjjY3.非標準變比變壓器非標準變比變壓器非標準變比變壓器是指變壓器的線圈非標準變比變壓器是指變壓器的線圈匝數比不等于標準變比。匝數比不等于標準變比。122210UKIZUIKI 由上式解出21,II21221211UZUZKIUZKUZKI 或者21222111)()() 1(UZKUUZKIUUZKUZKKI在圖在圖(c)(c)中，由節點中，由節點1 1，即變壓器的接入端來看自導納，即變壓器的接入端來看自導納Y11Y11為為YKYKKKYY211) 1(變壓器接入端的對側來看的自導納變壓器接入端的對側來看的自導

7、納 為為22YYYKKYY)1 (22 節點節點1 1、2 2間的互導納間的互導納Y Y1212為為12 =-KYY 先不考慮非標準變比先不考慮非標準變比( (認為認為K=1)K=1)求導納矩陣；求導納矩陣； 再把接入非標準變比變壓器的節點的自導納加上再把接入非標準變比變壓器的節點的自導納加上(K -1)Y (K -1)Y ，其，其中中Y Y是從變壓器相連結的另一端節點來看變壓器的漏抗與兩節是從變壓器相連結的另一端節點來看變壓器的漏抗與兩節點輸電線的阻抗之和的倒數；點輸電線的阻抗之和的倒數； 由接入非標準變比變壓器的對端節點來看自導納不變；由接入非標準變比變壓器的對端節點來看自導納不變； 變壓

8、器兩節點間的互導納加上變壓器兩節點間的互導納加上-(K-1)Y -(K-1)Y 。例例15.2 15.2 利用例利用例15.115.1的結果計算圖的結果計算圖15.6(a)15.6(a)的節點導納矩陣。的節點導納矩陣。圖圖15.6 例例15.2的圖的圖3333. 36666. 300666. 32429. 80421. 13529. 25882. 08911. 14539. 003529. 25882. 07274. 40690. 14038. 24808. 008911. 14539. 04038. 24808. 02616. 49346. 0jjjjjjjjjjjjY所以導納矩陣為所以導納

9、矩陣為 Y =(K -1)Y=(1.1 -1) =-j0.7000332230. 01j Y =-(K-1)Y=-(1.1-1) =j0.33333430. 01j解解:將將3、4節點間用節點間用 形等值電路表示，如圖形等值電路表示，如圖 15.6(b)，4.4.系統變更時的修正系統變更時的修正(1)(1)增加新的節點和新的支路增加新的節點和新的支路 如圖如圖(a)(a)所示，新節點編號為所示，新節點編號為j j，節點節點i i、j j間支路阻抗為間支路阻抗為z z。特點：特點：導納矩陣導納矩陣Y Y的階次增加一階，除節點的階次增加一階，除節點i i以外的原有節點和以外的原有節點和新增節點間互

10、導納為零，節點新增節點間互導納為零，節點i i的自導納由的自導納由 變變成成 ，還要新增加互導納，還要新增加互導納 、節點、節點j j的自導納為的自導納為Y Yjj jj 。 iiYzYii1zYij1zYYzYYzYYijijjjjjiiii111 圖圖15.7 系統變更的幾種情況系統變更的幾種情況（2）在原有節點）在原有節點i和和j 間增加阻抗為間增加阻抗為 z的新支路的新支路特點特點：導納矩陣：導納矩陣Y階次不變，節點的自導納階次不變，節點的自導納Yii、Yjj和和互導納互導納Yij分別變化為分別變化為zKKYYYYzKKYYijijjjjjiiii1)(1)(22（4 4）變壓器變比由

11、）變壓器變比由K K變成變成KK時時15.2.2 節點導納矩陣的計算方法節點導納矩陣的計算方法導納矩陣的階數等于電力系統網絡的節點數；導納矩陣的階數等于電力系統網絡的節點數；導納矩陣各行非對角元素中非零元素的個數等導納矩陣各行非對角元素中非零元素的個數等于對應節點所連的不接地支路數；于對應節點所連的不接地支路數；導納矩陣的對角元素即，各節點的自導納等于導納矩陣的對角元素即，各節點的自導納等于相應節點所連支路的導納之和。相應節點所連支路的導納之和。導納矩陣非對角元素導納矩陣非對角元素Y Yijij等于節點等于節點i i與節點與節點j j之間之間的導納的負數。的導納的負數。15.2.3 15.2.

12、3 形成節點導納矩陣的原始數據及程序框圖形成節點導納矩陣的原始數據及程序框圖 網絡接線由節點及連結兩個節點的支路確定，只要輸入了網絡接線由節點及連結兩個節點的支路確定，只要輸入了各支路兩端的節點號，就相當于輸入了系統的接線圖。一條各支路兩端的節點號，就相當于輸入了系統的接線圖。一條支路一般需要輸入六個數據支路一般需要輸入六個數據, ,即即i,j,z,bc,t,iti,j,z,bc,t,it，在程序中用在程序中用矩陣矩陣B B來進行輸入來進行輸入( (其中矩陣的行數為支路數，列數為上述六其中矩陣的行數為支路數，列數為上述六個數據個數據) ) 。矩陣。矩陣X X是由各節點的節點號與該節點的接地阻抗

13、構是由各節點的節點號與該節點的接地阻抗構成。成。 形成節點導納矩陣的程序框圖形成節點導納矩陣的程序框圖例：用節點導納矩陣的程序所示網絡的節點導納矩陣。例：用節點導納矩陣的程序所示網絡的節點導納矩陣。 圖圖15.9請輸入節點數請輸入節點數:n=5請輸入支路數請輸入支路數:nl=5請輸入由支路參數形成的矩陣請輸入由支路參數形成的矩陣:B=1 2 0.03i 0 1.05 0; 2 3 0.08+0.3i 0.5i 1 0; 3 4 0.015i 0 1.05 1; 2 5 0.1+0.35i 0 1 0; 3 5 0.04+0.25i 0.5i 1 0請輸入由節點號及其對地阻抗形成的矩陣請輸入由節

14、點號及其對地阻抗形成的矩陣:X=1 0;2 0;3 0;4 0;5 0解：解：輸入數據：輸入數據：導納矩陣導納矩陣Y=0-33.3333i 0 +31.7460i 0 0 0 0+31.7460i 1.5846 -35.7379i -0.8299 + 3.1120i 0 -0.7547 + 2.6415i0 -0.8299 + 3.1120i 1.4539 -66.9808i 0 +63.4921i -0.6240 + 3.9002i0 0 0 +63.4921i 0 -66.6667i 0 0 -0.7547 + 2.6415i -0.6240 + 3.9002i 0 1.3787 - 6.

15、2917i結果：結果：15.3 節點阻抗矩陣及其算法節點阻抗矩陣及其算法15.3.1 節點阻抗矩陣節點阻抗矩陣15.3.2 自阻抗和互阻抗自阻抗和互阻抗15.3.3 阻抗矩陣的計算方法阻抗矩陣的計算方法15.3.1 節點阻抗矩陣節點阻抗矩陣將式（將式（15.6）展開寫成）展開寫成nnnnnnnnnnUIZIZIZUIZIZIZUIZIZIZ22112222212111212111 或縮寫為： = （i=1, 2, 3, n）iUjnjijIZ1 式中系數矩陣為節點阻抗矩陣式中系數矩陣為節點阻抗矩陣nnnnnnZZZZZZZZZZ212222111211 自阻抗和互相抗之間的自阻抗和互相抗之間的

16、關系，可以形象地用圖來表示，把總阻抗看成是關系，可以形象地用圖來表示，把總阻抗看成是Z Ziiii ，而互阻，而互阻抗抗Z Zijij則是其中抽出的一部分。則是其中抽出的一部分。圖圖15.10 自阻抗和互阻抗的關系自阻抗和互阻抗的關系15.3.2 自阻抗和互阻抗自阻抗和互阻抗ikIIUZikIIUZkijjikiiii, 0, 0在節點在節點i i上注入一單位電流，而其他各節點均開路上注入一單位電流，而其他各節點均開路( (即注入電流為零即注入電流為零) )時，節點時，節點i i上的電壓即是上的電壓即是，而節點，而節點j ( j=1,2,n ,ji)j ( j=1,2,n ,ji)上的電壓即是

17、節點上的電壓即是節點j j和節點和節點i i之間的之間的。阻抗矩陣是對稱矩陣阻抗矩陣是對稱矩陣；阻抗矩陣是滿矩陣阻抗矩陣是滿矩陣；迭代計算時收斂性能較好迭代計算時收斂性能較好；阻抗矩陣不能從系統網絡接線圖直觀地求出，因阻抗矩陣不能從系統網絡接線圖直觀地求出，因此必須尋找其他求阻抗矩陣的方法。此必須尋找其他求阻抗矩陣的方法。15.3.3 阻抗矩陣的計算方法阻抗矩陣的計算方法：一種是用導納矩陣求逆，間接求出阻抗矩陣；另一種是用導納矩陣求逆，間接求出阻抗矩陣；另一種是用支路追加法，直接形成節點阻抗矩陣。一種是用支路追加法，直接形成節點阻抗矩陣。1.支路追加法支路追加法 ：矩陣形成的規律性很強，矩陣形

18、成的規律性很強， 易于理解和記憶，且編程方便。易于理解和記憶，且編程方便。 ：追加接地樹支，追追加接地樹支，追 加樹支，追加接地連支，追加連支。加樹支，追加接地連支，追加連支。 如圖，節點的電壓、電流關系為：如圖，節點的電壓、電流關系為： 321333231232221131211321IIIZZZZZZZZZUUU 原始網絡原始網絡（1 1）追加接地樹支）追加接地樹支(0,4)(0,4)4321UUUUzZZZZZZZZZ0000003332312322211312114321IIII=結論：原有矩陣的各元素均不變，新增的行、列元素均為零，結論：原有矩陣的各元素均不變，新增的行、列元素均為零

19、，只有新增的對角元素為只有新增的對角元素為z。：原網絡矩陣增加一階，原網絡矩陣增加一階，新增了一個方程新增了一個方程 ，其中其中z是新增支路的阻抗。是新增支路的阻抗。44I zU（2 2） 追加樹支追加樹支(2,4)(2,4)追加樹支追加樹支 ：矩陣增加一階，節點矩陣增加一階，節點2 2的注入電流變為的注入電流變為 ，且新，且新增了一個方程：增了一個方程： 42II424IzUU111 1122413 311 112 213 312 4()UZ IZIIZ IZ IZ IZ IZ I221 1222423 321 122 223 322 4()UZ IZIIZ IZ IZ IZ IZ I331

20、 1322433 331 132 233 332 4()UZ IZIIZ IZ IZ IZ IZ I42421 122 223 3224()UUzIZ IZ IZ IZz I寫成矩陣形式為寫成矩陣形式為4321UUUUzZZZZZZZZZZ223332312322211312110000004321IIII=結論：結論：原有矩陣的各元素均不變，新增的行、列元素分別等于樹支所接原有矩陣的各元素均不變，新增的行、列元素分別等于樹支所接的原網絡節點的原網絡節點2所對應的行、列元素，新對角元素等于樹支所結所對應的行、列元素，新對角元素等于樹支所結的節點的節點2的對角元素加上新增支路的阻抗值。的對角元素

21、加上新增支路的阻抗值。 追加接地連支追加接地連支：矩陣的階次不變。對原網絡來說，矩陣的階次不變。對原網絡來說， 節點節點2的注入電流變為的注入電流變為 其它節點注入電流不變。其它節點注入電流不變。III22則各節點電壓方程變為：則各節點電壓方程變為：3132121111)(IZIIZIZUIZIZIZIZ123132121113232221212)(IZIIZIZUIZIZIZIZ223232221213332321313)(IZIIZIZUIZIZIZIZ32333232131I zU20IzZIZIZIZ)(22323222121寫成矩陣形式為寫成矩陣形式為 0321UUUzZZZZZZZ

22、ZZZZZZZZZ22232221323332312223222112131211IIII321= 結論：矩陣可暫時增加一階，原矩陣元素不變，暫時增加的行、結論：矩陣可暫時增加一階，原矩陣元素不變，暫時增加的行、列元素分別等于該追加連支的非零節點所對應的行、列元素的負列元素分別等于該追加連支的非零節點所對應的行、列元素的負值；新對角元素等于該點的自阻抗加上連支阻抗值；新對角元素等于該點的自阻抗加上連支阻抗z。形成了暫時增加一階的節點阻抗矩陣以后，用高斯消去法消形成了暫時增加一階的節點阻抗矩陣以后，用高斯消去法消去矩陣的暫增行與列，原矩陣的元素去矩陣的暫增行與列，原矩陣的元素 為：為：ijZ44

23、22ZZZZZjiijij(i,j=1,2,3) 追加連支追加連支：矩陣階次不變，設連支電流由節點矩陣階次不變，設連支電流由節點3流向流向 節點節點2 ，節點，節點2的注入電流變為的注入電流變為 ( )，節點，節點3的注入電流變為的注入電流變為 ( )。則節點電壓方程的矩陣形式為：則節點電壓方程的矩陣形式為：II2II3 0321UUU)()( )( )(32233322332332223121333233323123222322211312131211zZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIIII321= 矩陣可暫時增加一階，原矩陣的元素不變，暫矩陣可暫時增加一階，原矩陣的元素

24、不變，暫時增加的行、列元素分別等于該追加連支的兩個時增加的行、列元素分別等于該追加連支的兩個節點所對應的行元素之差和列元素之差；新增對節點所對應的行元素之差和列元素之差；新增對角元為這兩個節點的自阻抗之和減去相互間的互角元為這兩個節點的自阻抗之和減去相互間的互阻抗之和再加上該連支阻抗。阻抗之和再加上該連支阻抗。 形成了暫時增加一階的節點阻抗矩陣之后，形成了暫時增加一階的節點阻抗矩陣之后，用高斯消去法消去暫增行、列，即得追加連支的用高斯消去法消去暫增行、列，即得追加連支的節點阻抗矩陣。節點阻抗矩陣。對于變壓器支路，若變壓器變比等于對于變壓器支路，若變壓器變比等于1，則與一般支路的處理，則與一般支

25、路的處理方法相同；若變壓器變比不等于方法相同；若變壓器變比不等于1時，如果采用變壓器的時，如果采用變壓器的形等形等值電路當成三條支路進行追加，顯然是增加了運算量。下面討論值電路當成三條支路進行追加，顯然是增加了運算量。下面討論一種不用變壓器一種不用變壓器型等值電路，直接追加變壓器支路的方法。型等值電路，直接追加變壓器支路的方法。：追加變壓器樹支，追加變壓器連支。追加變壓器樹支，追加變壓器連支。（1）追加變壓器樹支）追加變壓器樹支追加變壓器樹支追加變壓器樹支節點節點2的注入電流為的注入電流為( +k )2I4I11111 1122413 3()UZ IZIKIZ I221 1222423 3()

26、UZ IZIKIZ I331 1322433 3()UZ IZIKIZ I整理后有整理后有:4321UUUU )(222232221323332312223222112131211zZKKZKZKZKZZZZKZZZZKZZZZ4321IIII=另外還有另外還有 =K( +Kz )4U2U4I =K(Z + Z ( +K ) + Z )+Kz 4U211I222I4I233I4I結論：追加變壓器樹支和追加普通樹支支路相似，只是結論：追加變壓器樹支和追加普通樹支支路相似，只是在新增行、列的元素，分別乘以變比在新增行、列的元素，分別乘以變比K K，新對角元乘，新對角元乘以變比以變比K K 2 追加變壓器連支追加變壓器連支 （2）追加變壓器連支）追加變壓器連支 節點節點2的注入電流變為的注入電流變為( )，節點，節點3的注入的注入電流變為電流變為( )，則，則:IKI2II3另有: 即:32()Uk UzKI2230KUUzK I111 1122133()()UZ IZIKIZII221 1222233()()UZ IZIKIZII331 1322333()()UZ IZIKIZII把把 、 代入整理后得代入整理后得2U3U2221311223222333322332332()()()()0KZZIKZZIKZZIK ZZKZKZK z I所以得:0321UUU11121312132