1、氫原子問題是用薛定諤方程唯一可以嚴格求解的原子結構問題，因而也是最有代表性的。本節將給出解題的大致步驟，列出結果，并討論其物理意義。 （1 1）、氫原子的薛定諤方程）、氫原子的薛定諤方程電子在原子核的庫侖場中運動： reU024定態薛定諤方程： )()(420222rErre氫原子問題是球對稱問題，通常采用球坐標系： cossinrx sinsinry )(1222rrrr)(sinsin12r2222sin1r氫原子在球坐標下的定態薛定諤方程： )(12222rrrr)(sinsin12rsin12222rEre024),(r二、分離變量二、分離變量1 ),()(),(YrRr代入方程，并用

2、 乘以兩邊： ),()(/2YrRr2202222422)(1rrerEdrdRrdrdRsin1)(sinsin11222YYY是一個與 無關的常數。 , r徑向方程徑向方程：0422)(12202222RrRreREdrdRrdrdr角方程角方程：YYY222sin1)(sinsin12 )()(),(YYYY222sin1)(sinsin1代入方程，并 用乘以兩邊： )()(/sin22221sin)(sinsinddddd是一個與 無關的常數。 ,0)sin()(sinsin12dddd022d三、 三方程的解R,1 方程的解022d2m0222md方程的解為：imAe)(波函數單值：

3、 )2()(2)2(imimimimeAeAeAe12sin2cos2mimeim3, 2, 1, 0m波函數歸一化：12*220220AdAd21Aime21)(3, 2, 1, 0m2 方程的解0)sin()(sinsin122mdddd關聯勒讓德方程。求解過程中發現，為了得到符合波函數標準條件的解，必須對 和 加以限制：m) 1( ll3 , 2 , 1 , 0lml 3, 2, 1, 0m方程的解為關聯勒讓德多項式： )(cos)(mllmlmPB3 , 2 , 1 , 0l3, 2, 1, 0m)!(2) 12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxdxdxlxP) 1()1 (

4、!21)(222cosx)(cos)(mllmlmPB)!(2) 12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxdxdxlxP) 1()1 (!21)(2220l2100B0m100P21001l1m2310Bcos01Pcos23101l0m4311Bsin11Psin43112l0m2520B) 1cos3(21202P) 1cos3(852203 方程的解R0) 1()4(2)(1202222RrllreEdrdRrdrdr關聯拉蓋爾方程，方程的解為關聯拉蓋爾多項式)()(1212lnlnlnlLeCR02nar102112!)!12()!1()!() 1()(lnkkkllnkklk

5、lnlnL330)!(2)!1()2(lnnlnnaCnl3 , 2 , 1n12 , 1 , 0nl22004mea 玻爾半徑只要給出了 、 的一對具體的數值，就可以得到一個満足標準條件的解。 nl四、四、H原子的波函數原子的波函數)()()(),(,mlnlnmlnrRr3 , 2 , 1n12 , 1 , 0nllm3, 2, 1, 0對應一組量子數 就能給出 波函數的一個具體形式，因此 確定了原子的狀態。mln ,),(,rmlnmln ,當 時， 取任何值都能使R滿足標準條件的解。所以正值的能量是連續的，相當于自由電子與H+離子結合為原子時釋放的能量。 0EE量子力學對氫原子運動狀態

6、的描繪量子力學對氫原子運動狀態的描繪mln ,一、量子數 的物理意義n1主量子數 與能量量子化0E224202)4(1nmeEn3 , 2 , 1n當 時， 自然得出:能量是量子化的。The abscissa denotes the position coordinate of the electron (the distance between the proton and electron), r , in units of the Bohr radius , where The ground state:The energy is quantised; En is continues w

7、hen n mmea10220010529. 04 2角量子數 和角動量角子化 角動量是量子化的，自然得出。 舊量子論： 當角動量很大時， ， ，二者一致， 所以玻爾理論給出了近似的結果。l) 1( llL12 , 1 , 0nlnp nn2 , 11 ll) 1( lL 3磁量子數 m 和空間量子化 個角動量在外場方向的分量也是量子化的，即空間取 向量子化，自然得出。lzmL lml2, 1, 012 l2lm = 00m = -1B(z)m = -22m = 1m = 22 zL6L6 2, 0ZL) 12( 2) 1(llLmLZlm ,2, 1,0由于薛定諤方程是非相對論的，沒有導出自

8、旋量子數 和自旋磁量子數 。 ssmp 解題得出三個量子數n,l,m。p 主量子數n=1,2,3, 主量子數n與電子的能量有關，具有相應能量的電子依次稱為K，L，M，N，O，P，主殼層的電子；p 角量子數l=0,1,2,n-1.角量子數l與電子的角動量有關，l=0,1,2,3,4,5,的態依次稱為s,p,d,f,g,h，態，處于這些態上的電子依次稱為s,p,d,f,g,h,，電子，也叫次殼層電子； p 磁量子數m=0,1，2，l. 磁量子數m與電子的磁矩有關，對應一個l，m可表示為ml，ml可取2l+1個值。 宇稱是描述微觀粒子波函數空間反演對稱性的一個物理量2( , , )( , , )nl

9、mnlmrr 222)()()(mlmnlrR因此，在 附近、 內找到電子的幾率為：在球坐標中 ，, rdVdVrnlm),(dVrRmlmnl222)()()(ddrdrdVsin2二、電子的幾率分布二、電子的幾率分布2)(m)(2lm)(2rRnl ：代表幾率隨角度的分布； ：代表幾率隨角度的分布； ：代表幾率隨矢徑的分布；dVrnlm),(1sin20*02022dddrrRmmlmnl歸一化：1)(022drrrRnl1sin02dlm120*dmmdddlmlm2)(21)(),(dddsinmlldd ， 之間的圓錐體的立體角 由 的值決定 對給定的 ， 它有確定的值。對不同的 、

10、 ， 不同。lmlmmlm1幾率隨幾率隨角的分布角的分布21)()(*mm- 幾率密度的分布幾率密度的分布繞繞Z軸旋轉對稱軸旋轉對稱2角向分布幾率角向分布幾率2作為的函數和對應的軌道 其圖形應是繞Z軸旋轉一周的一個旋轉體，表示概率密度與空間取向的關系。在這圖中還把用矢量模型畫的空間量子化圖附上，以資比較。可以看到其中有某種對應關系 dVrnlm),(dVrRmlmnl222)()()(222)()()(mlmnlrRddrdr sin2drrRdddrrRdrrnlmlmnlnl222200222sin)( 對于不同的 ， 不同，如圖所示。 ln,)(rnl3電子的徑向分布概率電子的徑向分布概

11、率, rdV在附近 、 內找到電子的幾率為：drrr-在離核 處的球形殼層內發現電子的幾率 1022drrRrnl 22rRrnl1n0l022302210104)()(arerarrRr0)22(4)(02023010arearradrrd0ar 0ar 在在 處有極大值。處有極大值。 在在 處有極大值。處有極大值。2n1l050422212124)()(arearrrRr0)4(241)(00435021arearradrrd04ar 04ar 用小黑點的密或稀形象地表示空間各處概率密度 的相對大小，概率大的地方黑點濃密，概率小的地方黑點稀疏，稱它們為“電子云”2電子在原子核外很小的空間內

12、作高速運動，其運動規律跟一般物體不同，它們沒有確定的軌道。因此，我們不能同時準確地測定電子在某一時刻所處的位置和運動的速度，也不能描畫出它的運動軌跡。因此，人們常用一三、電子云三、電子云種能夠表示電子在一定時間內在核外空間各處出現機會的模型來描述電子在核外的運動。在這個模型里，某個點附近的密度表示電子在該處出現機會的大小。密度大的地方，表明電子在核外空間單位體積內出現的機會多；密度小的地方，表明電子在核外空間單位體積內出現的機會少。由于這個模型很像在原子核外有一層疏密不等的“云”，所以，人們形象地把它叫做“電子云”。Planet model by RutherfordPlum-pudding

13、model by ThomsonElectron cloud modelBohrs model氫原子1s電子云氫原子n=2的各狀態的電子云圖 (a)2s; (b)l=1,ml=0; (c)l=1,ml=1 n=1,l=0n=2,l=0n=2,l=1n=3,l=0n=3,l=1n=3,l=2m=0m=1m=2n=4,l=0n=4,l=1n=4,l=2n=4,l=3m=0m=1m=2m=3n = 1 l = 0 m = 0 n = 2 l = 0 m = 0 l = 1 m = 0 & m = 1 n = 3 l = 0 m = 0 l = 1 m = 0 & m = 1 l =

14、2 m = 0 & m = 1 & m = 2 n = 6 l = 3 m = 0 n = 11 l = 6 m = 3 The probability density of the electrons of H atomn = 1, l = 0, m = 0, spherically symmetrical distributionsThe colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probabi

15、lity from small (zero) to large values.n = 2, l = 0, m = 0, spherically symmetrical distributionsThe colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 2, l = 1, m = 0, Dumbbell shaped dist

16、ribution along one axisThe colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 2, l = 1, m = 1, Dumbbell shaped distribution along one axisThe colors in the plots of the probability distribu

17、tions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 0, m = 0, spherically symmetrical distributionsThe colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability fro

18、m small (zero) to large values.n = 3, l = 1, m = 0, The colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 1, m = 1, The colors in the plots of the probability distributions vary fro

19、m blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 2, m = 0, The colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 2, m = 1, The colors in the plots of the probability distributions vary from blue to red corresponding to the increase of the probability from small (zero) to large values.n = 3, l = 2, m = 2, The colors in the plots