1、第1章隨機事件及其概率（1）排列組合公式P：=從m個人中挑出n個人進行排列的可能數。（m一n）!cm=“唧、從m個人中挑出n個人進行組合的可能數。n!（m-n）!加法和乘法原埋加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m#7法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原埋（兩個步驟分別不能完成這件事）：記n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m#方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由鏟n種方法來完成。一些常見排列重復排列和非重復排列（有序）對立事件（至少有一個）順序問題（4）隨機試驗和隨機事件如果一個試驗在相同條

2、件卜可以重復進行，而每次試驗的可能結果不止個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現哪個結果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件,它具有如下性質：每進行一次試驗，必須發生且只能發生這組中的個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，肋表示。一個事件就是由c中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A,B,C,表示事件，它們是c的子集。G為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為

3、零的事件不一定是不可能事件;同埋，必然事件（Q）的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關系與運算關系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發生必后事件B發生）：AUB如果同時有A=B,BnA,則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B:A=BA、B中至少有一個發生的事件：AUB,或者A+R屬于A而不屬于B的部分所構成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表示為A-A域者AB,它表示A發生而B不發生的事件。AB同時發生：AQB,或者ABAQB?則表示A與B不可能同時發生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。C-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件

4、，記為周。它表示A不發生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算：結合率：A（BC）=（AB）CAJ（BUC）=（AUB）UC分配率：(AB)UC=(AJC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)J(BC)德摩根率：nAi=UAiA=AnB，A7=AUBi1LI設為樣本空間：a為事件，對每一個事件A都有一個實數P(A)：若滿足下列三個條件：(7)概率的公理化定義1 0WP(A)W,2 P(Q)=13 對于兩兩互不相容的事伍i,A2,有oO、oOPUAi=£P(Ai)(i4Ji4常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。-_1C=也1,色2n)一12P(0i)=P®2)P(

5、71;n)=。(8)古典概型n設任一事件A,它是由明產28m組成的，則有P(AA'Ci)(-2)(m)=P(-l)P(2)P(m)m_A所包含的基本事件數基本事件總數幾何概型若隨機試驗的結果為無限不可數并且每個結果出現的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件A,P(A)=器'其中L為幾何度量(長度、面積、體積)b(10)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公當P(AB)=0時，P(A+B)=P(A)+P(B)式(11)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當B=A時，P(A-B)=P(A)-P(

6、B)當A=Q日qP(B)=1-P(B)定義設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱(12)條件概率P(AB)P(A)為事件A發生條件下，事件B發生的條件概率，記為P(B/A)=P落。條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1=P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)乘法公更一般地，對事件Al,AA,若P(AAr-A-1)>0,則有式P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)。兩個事件的獨立性B是相互獨立設事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A、(

7、14)的。獨立性若事件A、B相互獨立，且P(A)0,則有P(B|A)=P(AB)=P(A)P(B)=P(B)名事件A、b相互獨立，則口傳到a與B、AB、A與B也都相互獨立。必然事件c和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設AB0三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。(15)全概公式設事件Bl,B2,，Bn滿足1Bi,B2，Bn兩兩互不相容,P(Bi)A0(i=1,2,，n),n2AuUBi,

8、L1則有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn)。(16)貝葉斯公式設事件B1,B2,，Bn及A滿足1B1,B2,，Bn兩兩互不相容,P(Bi)>0,i=1,2,，n,n2AuUBi,P(A)>0,i4則P(B/A)舊尸小)P(Bi/A)-n,i=1,2,-no工P(Bj)P(A/Bj)jm此公式即為貝葉斯公式。P(B),(i=1,2,，n),通常叫先驗概率。P(Bi/A),(i=1,2,，n),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規律，并作出了“由果朔因”的推斷。(17)伯努利概型我們作了n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可

9、能結果，a發生或A不發生；n次試驗是重復進行的，即a發生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發生與否與其他次試驗a發生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗。用P表示每次試驗A發生的概率，則A發生的概率為1-p=q，用Pn(k)表示n重伯努利試驗中a出現k(0k<n)次的概率，Pn(k)=Cnpkqn”,k=0,1,2,，n。第二章隨機變量及其分布(1)離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量X的可能取值為X(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=X)的概率為P(X=x)=pk,k=1,2，則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律。有時也用分布

10、列的形式給出：X,x1,x2，xk,|。P(X=xk)p1,p2,，pk,顯然分布律應滿足卜列條件：qQ(1)pk>0,k=1,2,，(2)£pk=1。連續型隨機變量的分布密度設F(x)是隨機變量X的分布函數，若存在非貝函數f(x),對任意實數X,有xF(x)=ff(x)dx，則稱X為連續型隨機變量。f(x)稱為X的概率將度函數或省度函數，簡稱概率密度。密度函數具有卜面4個性質：1 f(x)之0。2 f(x)dx=1。Lao離散與連續型隨機變量的關系P(X=x)上P(x<X<x+dx)歸f(x)dx積分元f(x)dx在連續型隨機變量理論中所起的作用與P(X=xk)=

11、pk在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。分布函數設X為隨機變量，x是任意實數，則函數F(x)=P(X<x)稱為隨機變量X的分布函數，本質上是一個累積函數。P(a<XMb)=F(b)-F(a)可以得到X落入區間(a,b的概率。分布函數F(x)表示隨機變量落入區間(-s,x內的概率。分布函數具有如下性質：1 0<F(x)<1,_g<xM十*;2 F(x)是單調不減的函數，即x1Mx2時，有F(x1)WF(x2)；3 F(-«)=limF(x)=0F(")=limF(x)=1.4 F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續的；5 P(X=x)=F

12、(x)F(x0)。對于離散型隨機變量，F(x)=pk；xk/'x對于連續型隨機變里，F(x)=ff(x)dx。皿(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項分布在n重貝努里試驗中，設事件A發生的概率為P。事件A發生的次數是隨機變量，設為X,則X可能取值為0,1,2,，n。P(X=k)=Pn(k)=C：pkqn”，其中q=1-p,0cp<1,k=0,1,2,，n,則稱隨機變量X服從參數為n,P的二項分布。記為XB(n,p)。當n=1時，p(x=k)=pkq，k=0.1,這就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二項分布的特例。泊松分布設隨機變量X的分布律為.kp(

13、X=k)=Je功，九：>0,k=0,1,2一，k!則稱隨機變量X服從參數為九的泊松分布，記為Xn(K)或者P(?J。泊松分布為二項分布的極限分布(np=x,n-8)。超幾何分布P(Y1八CMCN。k=0,1,2-,1CN'l=min(M,n)隨機變量X服從參數為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布P(X=k)=qk,p,k=1,2,3，其中p>0,q=1-p。隨機變量X服從參數為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設隨機變量X的值只落在a,b內，其密度函數f(x),1一在a,b上為吊數，即b-a1awx<bf(x)=b-a,甘,0,其他，則稱隨機變量

14、X在a,b上服從均勻分布，記為xu(ab)。分布函數為0,x<a,x-ab-aa<x<b1xF(x)=(/(x)dx=1,x>b。當aWx1<x2Wb時,X落在區間(x1,x2)內的概率為_x2一x1P(x1<X<x2)-21°b-a指數分布>啟飛,x>0,f(x)=0,x<0,J其中九A0,則稱隨機變量X服從參數為九的指數分布。X的分布函數為1e少，x之0,F(x)=00,x<0。記住積分公式：-boJxne，dx=n!0正態分布設隨機變量X的密度函數為,(xj2一.1一"f(x);e,-00<x&l

15、t;+a0>J2n仃其中N、。>0為常數，則稱隨機變量X服從參數為K、仃的正態分布或圖斯(GausS分布，記為.2XN”。)。f(x)具有如下性質：1 f(x)的圖形是關于x=N對稱的；一.1、，一,一2 當xN時為取大值；/2兀仃若XN(Ncr2)，則X的分布函數為1'x一號F(x)=fe2O2dt°°J2s-參數N=0、仃=1時的正態分布稱為標準正態分布，記為XN(0,1),其密度函數記為W,，一平(x)=e2，笛<x<+R,分布函被*1x£(x)=.fe2dt。J2nq9(x)是不口未積函數，具函數值，已編制成表口供查用。1(

16、-x)=1-0(x)且(0)=一。X-k2如果XN儼產2),貝U口N(0,1)。P(Xi<X裝)-屈-"。1CT1ICT1X>>(6)分位數下分位表：P(XW%)=a;上分位表：P(XANj=a。函數分布離散型已知X的分布列為XX1,X2,，Xn,P(X=Xi)p1,p2,，pn,，Y=g(X)的分雷列(*=g("且不相等)如下：Yg(x1),g(X2),，g(xn),P(Y=yi)p1,p2,，pn,'若由某些g(xi)相等，則應將對應的pi相加作為g(xi)的概率。連續型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數F(y)=P(g(X)wy),

17、再利用變上下限積分的求導公式求出fy)。第三章二維隨機變量及其分布(1)聯合I離散型如果二維隨機向量】(X,Y)的所有可能取值為分布至多可列個有序對僅,y),則稱U為離散型隨機量。設之=(X,Y)的所有可能取值為(xi,yj)(i,j=1,2,)，且事件七=(x,yj)的概率為pj,稱P(X,Y)=(Xi,yj)=Pij(i,j=1,2,)為之二(X,Y)的分布律或稱為X和Y的聯合分布律。聯合分布有時也用下面的概率分布表來表示：工小y2yjX1pnp12p1jX2p21p22pj3aa-aXip1pij99a-9這里pij具有下面兩個性質:(1)叱0(i,j=1,2,);ZIpj=1.連續型D

18、對于一維隨機向量U=(X,Y),如果存在非負函數f(x,y)(*<x<y<+=c),使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區域D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y)eD=口f(x,y)dxdy,D則稱X為連續型隨機向量；并稱f(x,y)為X=(X,Y)的分布密度或稱為X和Y的聯合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面兩個性質：f(x,y)>0;C0(x,y)dxdy=1.二維隨機變量的本質X=x,Y=y)W(X=xCY=y)(3)聯合分布函數設(X,Y)為二維隨機變量，對于任意實數x,y,二元函數F(x,y)=PX<x

19、,Y<y稱為二維隨機向量(X,Y)的分布函數，或稱為隨機變量X和Y的聯合分布函數。分布函數是一個以全平面為其定義域，以事件(網,切2)|-0c<X(必)<x,-°0<Y®2)£處的概率為函數值的一個實值函數。分布函數F(x,y)具有以下的基本性質：(1)0<F(x,y)<1;F(x,y)分別對x和y是非減的，即當x2>xi時，有F(x2,y)>F(xi,y);當y2>yi時,有F(x,y2)>F(x,yi);(3) F(x,y)分別對x和y是右連續的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x

20、,y+0);(4) F(f)=F(-«,y)=F(x,-«)=0,F(",z)=1.(5)對于x1<x2,y1<y2,F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(xny2)+F(xny1)之0.(4)離散型與連續型的關系P(X=x,Y=y)電P(x<XWx+dx,y<YWy+dy)f(x,y)dxdy(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為P“=P(X=X)=£Pij(i,j=1,2,).j，Y的邊緣分布為P#=P(Y=yj)=SPij(i,j=1,2,)。連續型X的邊緣分布密度為fX(x)=Ljay)dy；Y的邊緣分布密度為fy(y)=亡

21、f(x,y)dx.(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PijP(Y=yj|X=Xi)=；Pi.在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PjP(X=Xi|Y=yj)=±L,Pd連續型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)=3.fY(y)'在已知X=x的條彳下，Y的條件分布密度為f(x,y)f(y|x)=fX(x)(7)獨立性一般型F(X,Y)=FXx)FMy)離散型Pij=P4有零不獨立連續型f(x,y)=f乂x)f乂y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區間為矩形二維正態分布1辿'|2/_«)(y串)里121_#)

22、|l*f(x,y)-:-e-、21ra'i。2Vl一PP=0隨機變量的函數若X,X2，汽Xm+廠-相互獨立，h,g為連續函數，則：h(X,用篇)和g(Xn+廠-乂)相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h(X)和g(Y)獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。（8）二維均勻分布設隨機向量（X,Y）的分布密度函數為1，、C（x,y）uDSdf（x,y）0,其他其中SD為區域D的面積，則稱（X,Y）服從D上的均勻分布,記為（XY）U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y圖3.1圖3.2D3二維正態分布圖3.3設隨機向量(X,Y)的分布密度函數為_1x_、12一;(x&quo

23、t;)(y-2),y-221-2(1-；2)I',1一；二：2。2f(x,y)-e-,2二二1,.1-P其中艮1,與,%>0產2%0,1p|<1是5個參數,則稱XY）服從二維正態分布，記為（XY）N（1,2,；4,7）.由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態分布的兩個邊緣分布仍為正態分布，即XN（1,二12）,YN（2二2）.但是若XN（）,。12）,丫N。；），（X,Y）未必是二維正態分布。(10)函數分布Z=X+Y根據定義計算：Fz(z)=P(Zwz)=P(X+Ywz)-bo對于連續型，fz(z)=Jf(x,zx)dx兩個獨立的正態分布的租仍為正態分布(»+卜

24、2,仃1+仃2)。n個相互獨立的正態分布的線性組合，仍服從正態分布。_2_22C=HCiB仃=£Ci5i'iZ=max,min(Xi,X2，X)若X1,X2Xn相互獨立，其分布函數分別為F%(x),鼠鼠，貝UZ=max,min(XX2,)的分布函數為：Fmax(x)=Fx1(x).Fx2(x)-Fxn(x)Fmin(x)=1-1-Fx1(x)1-Fx2(刈1Fxn(x)工2分布設n個隨機變量X1,X2，Xn相互獨立，且服從標準正態分布，可以證明它們的平方和n一2w=zXiiz!的分布密度為12_u-u2e2u>0,f(u)=Qdni0,u<0.我們稱隨機變量WI艮

25、從自由度為n的X分布，記為W?2(n),其中四=廣x2,e«dx。所謂自由度是指獨立止態隨機變量的個數，它是隨機變量分布中的一個重要參數。72分布滿足可加性：設丫-*(n)則kZ=£Yi72(n+n2+nji=1t分布F分布設X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，且XN(0,1),Y2(n),可以證明函數T=X%Y/n的概率密度為n1f(t)=一2(-二：二t：二二).2我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。ti-.(n)-t.(n)設*(必)>*(山)，且X與Y獨立，可以證明X/nFY7-的概率密度函數為n2,v-02；nil2fnini.，、311v2

26、1+vf(y)=<g；H'"n2/<n2NE0,y<0我們稱隨機變量F服從第一個自由度為ni,第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(ni,n2).(i)一維隨機變量的數字特征離散型連續型期望期望就是平均值設X是離散型隨機變量，其分布律為P(X=Xk)=pk,k=i,2,n,nE(X)=£XkPkk=i(要求絕對收斂)設X是連續型隨機變量，其概率密度為f(x),-boE(X)=Jxf(x)dx(要求絕對收斂)函數的期望Y=g(X)nE(Y)=Eg(Xk)PkkTY=g(X)-boE(Y)=fg(x)f(x)dx方差D(X)=EX-E(X)：標準差仃(

27、X)=V'D(X),D(X)=£Xk-E(X)2Pkk-boD(X)=fx-E(X)2f(x)dxFi_：.(ni,n2)iF;.(n2,ni)第四章隨機變量的數字特征矩對于正整數k,稱隨機變量X的k次哥的數學期望為X的k階原點矩，記為Vk,即,kk丫k=E(X)=、XiPi,k=1,2,.對于正整數k,稱隨機變量X與E(X)差的k次哥的數學期望為X的k階中心矩，記為即也=E(X-E(X)k.=£(Xi-E(X)kpii，k=1,2,.對于正整數k,稱隨機變量X的k次哥的數學期望為X的k階原點矩，記為Vk,即丫k=E(X)=J8xkf(x)dx,0k=1,2,.對于

28、正整數k,稱隨機變量X與E(X)差的k次哥的數學期望為X的k階中心矩，記為即k九=E(X-E(X).一k.=j(x-E(X)kf(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式設隨機變量X具有數學期望E(X)=w,方差D(X)=一，則對于任意正數£,后卜列切比雪夫不等式2P(|X邑”)，切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率P(|X一耳之君)的一種估計，它在理論上有重要意義。)期望)的惶質)4)E(C)=CE(CX)=CE(X)nnE(X+Y)=E(X)+E(Y)E(£GXi)=£GE(Xj)iTIE(XY)=E(X)E(Y),充分條件：X和Y獨立；充要條件：

29、X和Y不相關。)方澄)的性)質4)5)D(C)=QE(C)=C_2_D(aX尸aD(X);E(aX)=aE(X)_2_D(aX+b)=aiD(X);E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X)-E2(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y)充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。D(X土Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y尸E(X)+E(Y)無條件成立。常見分布的期望和期望方差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二項分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(K)九九幾何分布G(p)1p1-p2p方差超幾何分布H(n,

30、M,N)nMNnMNJ)NJ，Nn)、N-1均勻分布U(a,b)a+b2(b-a)212指數分布e(八)1T1鏟正態分布N(巴02)p2x2分布n2nt分布0nn2(n>2)n2二維隨機變量的數字特征期望nE(X)=£XiPqiAnE(Y)=£yjP.-boE(X)=JxfX(x)dx-boE(Y)=yfY(y)dy函數的期望EG(X,Y)=工工G(Xi,yj)PjEG(X,Y)=-be-beGG(x,y)f(x,y)dxdyoO-oO方差D(X)=£xD(Y)=£xi-E(X)2pi.-E(Y)2p4-boD(X)=x-E(X)2fx(x)dx_

31、n0-bo2D(Y)=fy-E(Y)2fY(y)dy協力差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩%為X與Y的協萬差或相關矩,記為0xy或cov(X,Y),即Oxy=巳1=E(XE(X)(YE(Y).與記號Oxy相對應，X與Y的方差D(X)與D(Y)也可分別記為。XX與。YY。相關系數(對于隨機變量X與Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,則稱仃XYVDX5VDY5為X與Y的相關系數，記作Pxy(有時可簡記為P)。|P|W1,當|P|=1時，稱X與Y完全相關：P(X=aY+b)=1人正相關，當P=1時(a>0),兀王'口大、負相關，當P=-1時(a<0),而當P

32、=0時，稱X與Y不相關。以卜五個命題是等價的： /XY=。； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y);3)D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).協方差矩陣XXXYSJ(J,<YXYYJ混合矩對于隨機變量X與Y,如果有E(XkY)存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點矩，記為vh;k+l階混合中心矩記為：Ukl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)lj.6、耳徹質l協差性cov(X,Y)=cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(X1+X,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E

33、(Y).獨立和不相關若隨機變量X與Y相互獨立，則Pxy=0；反之不真。若(X,Y)N(七,匕，52,tt；,p),則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關。第五章大數定律和中心極限定理(1)大數定律X切比雪夫大數定律設隨機變量Xi,K,相互獨立，均具有有限方差,且被同一常數C所界：D(X)<C(i=1,2,)，則對于任意的正數e,有111n1n'limPI-ZXi-ZE(Xi)=1.nel|nyn匕/特殊情形：若X,X(X)=p,則上式成為111n'limP!ZXiR<名=1.fgm；具有相同的數學期望E伯努利大數定律設w是n次獨立試驗中事件A發生的次數,p是事件A

34、在每次試驗中發生的概率，則對于任意的正數e,有伯努利大數定律說明，當試驗次數n很大時，事件A發生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即limP1p之J=0.廿Qn|/這就以嚴格的數學形式描述了頻率的穩定性。辛欽大數定律設X,X，X,是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E(X)=p,則對于任意的正數e有limPZXi<z=1.nTUnim/(2)中心極限定理_2XN(J)n歹I維林德伯格定理莫一普斯理棣弗拉拉定limP<n-CXn-np、np(1-p)t2Xe2dt.(3)二項定理(4)泊松定理(N').設隨機變量X,X,相互獨立，服從同一分布,且具有相同的數學期望和方差：E(

35、Xk)=出D(Xk)=。2#0(k=1,2，)，則隨機變量n'Xk-nY_k-n.n。的分布函數Fn(x)對任意的實數X,有n、XXknNt2k/I1X；TlimFn(x)=limP-xe2dt.n,二二、n二-2二二IJ此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。設隨機變量Xn為具有參數n,p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數X,有若當Nts時,M-ap(n,k不變)則N7kn-kCMCNJMckknAnCnp(1-p)CN超幾何分布的極限分布為二項分布。若當nT8時,np->人A0,則kC：pk(1-p)n"-e-，(n：).k!其中k=0,1,2,，n

36、,。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數理統計的基本概念總體在數理統計中，常把被考察對象的某一個(或多個)指標的全體稱為總體(或母體)。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量(或隨機向量個體總體中的每一個單兀稱為樣品(或個體1樣本我們把從總體中抽取的部分樣品X1,X2，Xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結果時，Xi,X2，Xn表示n個隨機變量(樣本);在具體的一次抽取之后，X1,x2,，人表小n個具體的數值(樣本值)。我們稱之

37、為樣本的兩重性。樣本函數和統代設Xi,X2，Xn為總體的一個樣本，稱9=*(Xi，XQ為樣本函數，其中平為一個連續函數。如果中中不包含任何未知參數，則秤(Xi,X2，Xn)為一個統代。常見統計量及其性質-1n樣本均值x=_£Xi.ny樣本方差4n_S2=z(Xi-X)2.n-1i=i樣本標準差S=J7f(Xi-x)2.n-1y樣本k階原點矩11kMk=-EXi,k=1,2，.ni4樣本k階中心矩1 n-kMk=£(Xi-X),k=2,3，.ny2E(X)=R,D(X)=J,n2 2_2n12E(S2)-。2,E(S*)-仃,n一.01一其中s*2=Z(Xi-X)2,為二階中

38、心矩。ny(2)正態總體下的四大分布正態分布設X1,X2，Xn為來自正態總體N(2,。2)的一個樣本,則樣本函數defXNu一一r-N(0,1).仃7nt分布設X1,X2，為來自正態總體N(邑,。2)的一個樣本,則樣本函數defxNtt(n1),s/4n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。/2分布設”,X2，為來自正態總體N(地。2)的一個樣本,則樣本函數_2def(n-1)S弋2w=2/2(n-1),CT其中，2(n-1)表示自由度為n-1的2分布。F分布設X1,X2，Xn為來自正態總體N(巴仃2)的一，個樣本，而y1,y2,，yn為來自止態總體n但。2)的一個樣本，則樣本函數def

39、S12/a12F-V-4F(n1-1,n2-1),s；/仃2其中c21n1-2c21n2-2S2=-Z(Xi-X)2,S；=-z(yi-y)2;n1-1i9n2-1iF(n1-1,n；-1)表示第一自由度為n1一1，第二自由度為n；-1的F分布。(3)正態總體下分布的性質X與S2獨立。第七章參數估計矩估計(1)點估計設總體X的分布中包含有未知知1,3,，力，則其分布函數可以表成f(X；q,可以，8m).它的k階原點矩Vk=E(Xk)(k=1,2,，m)中也包含了未知參數由也，2m,即Vk=丫八日1色,，6m)。又設X1,X2，Xn為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為1nk'、Xi

40、(k=1,2,m).ni1這樣，我們按照“當參數等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方程，即有1nV1(11,口2，m)Xi,ny10v2(71112,m)xi,ny1nmV(111)JqXmvm(1,2,m),Xi.nim由上面的m個方程中,解出的m個未知參數禽C,，e：)即為參數(%,%,，£)的矩估計量。若金為a的矩估計，g(X)為連續函數，則g(國為g(8)的矩估計。極大似然估計當總體X為連續型隨機變量時，設其分布密度為f（X；8i62,，8m）,其中年,82,，0m為未知參數。又設Xi,X2，Xn為總體的一個樣本，稱nL,02,，em）=nf（Xi；&

41、包，Hm）i-i為樣本的似然函藏，簡記為Ln.當總體X為離型隨機變量時，設其分布律為PX=X=p（X；8i,仇，Hm）,則稱nL（Xi,X2，Xn；%。,用m）=口P（Xi；&0，3）iU為樣本的似然函數。若似然函數L（Xl，X2，XnOQ,，渠）在品命，,fm處取到最大值，則稱Si,/,6m分別取1。,包的最大似然估計值，相應的統皆稱為最大似然估代。"Ln八.2=0,i=1,2,，m澗今若$為日的極大似然估計,g（X）為單調函數，則g（的為g。的極大似然估計。估計量的評選標準無偏性設8=e（X1,X2,-,Xn）為未知參數日的估“皇。右E（8）-8,則稱4為e的無偏估的。E

42、（X）=E（X）,E（S2）=D（X）后效性設仇=仇國,X,2,Xn）和日2=02（X1,X,2,Xn）ZE未知參數日的兩個無偏估計貨。若D（$、1）<D（A）,則稱£比$2有效。一<性設箱是8的一串估代，如果對于任意的正數E,都有AHmoP（|0n-0|>E）=O,則稱Sn為H的T估,（或相合估的）。若$鄧的無偏估計，且D（囪T0（nTg）,則4為的T估計。只要總體的E（X）和D（X）#在，一切樣本矩和樣本矩的連續函數都是相應總體的一致估的。區間估計置信區間和置信度設總體X含有個待估的未知參數石。如果我們從樣本X1,X,2，Xn出發，找出兩個統計量1=3（X1,X,2，Xn）與2=82（X1,X,2，Xn）（4<3）,使得區間。1,。2以1-a（0<a<1）的概率包含這個待估參麴,即PR<e<62=1-%那么稱區間區,3為日的置信區間，1為該區間的置信度（或置信水平）。單正態總體的期望和方差的區間估計設X1,X,2，Xn為總體XN(巴仃2)的一個樣本,在置信度為1-a下