1、算術平均數與幾何平均數一、復習舊知，以舊悟新：一、復習舊知，以舊悟新：一、復習舊知，以舊悟新：一、復習舊知，以舊悟新：1. 對稱性對稱性:abba 2. 傳遞性傳遞性: ,ab bcac 3. 加法性質及其推論加法性質及其推論:a ba c b c ,a bc da c c d 4. 乘法性質乘法性質:,0,0ab ca cb cab ca cb c0,0aba bc ddc 5. 除法性質除法性質:6. 乘方性質乘方性質:0nnabab7. 開方開方性質性質:0nnabab二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若二、

2、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a. 0)(2 baRbRa，若若二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a. 0)(2 baRbRa，若若. 222abba 展開整理得：展開整理得：二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a. 0)(2 baRbRa，若若. 222abb

3、a 展開整理得：展開整理得：( ( 何何 時時 取取 等等 號號 ？ ) )二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a. 0)(2 baRbRa，若若. 時取等號時取等號當且僅當當且僅當ba . 222abba 展開整理得：展開整理得：( ( 何何 時時 取取 等等 號號 ？ ) )定定 理：理：) ( . 2 , 22”時取“時取“當且僅當當且僅當那么那么如果如果 baabbaRba定定 理：理：1. 定理適用范圍：定理適用范圍：a, bR.2. 取取 “=” 的條件的條件 a = b.) ( . 2 , 22”時取“時取

4、“當且僅當當且僅當那么那么如果如果 baabbaRba定定 理：理：注意注意: :思思 考：考： 由定理猜測：若由定理猜測：若a, bR+, a + b會具備什么性質呢？會具備什么性質呢？思思 考：考： 由定理猜測：若由定理猜測：若a, bR+, a + b會具備什么性質呢？會具備什么性質呢？. 2, abbaRba 猜測：若猜測：若思思 考：考：定定 理：理：) ( . 2 , ”時取“時取“當且僅當當且僅當那么那么是正數是正數如果如果 baabbaba定定 理：理：1. 這個定理適用的范圍：這個定理適用的范圍：a , bR+ .) ( . 2 , ”時取“時取“當且僅當當且僅當那么那么是正

5、數是正數如果如果 baabbaba定定 理：理：注意注意: :. ., ,2 . 2們的幾何平均數們的幾何平均數小于它小于它個正數的算術平均數不個正數的算術平均數不兩兩這個定理可以表述為：這個定理可以表述為：的幾何平均數的幾何平均數為為的算術平均數，的算術平均數，為為稱稱baabbaba 的幾何解釋：的幾何解釋： 2abba . 2,2abCDbaabCDabCBCACDABDDCCABba 而半徑而半徑從而從而則則作弦作弦，過，過取一點取一點上上為直徑作圓，在直徑為直徑作圓，在直徑以以的幾何解釋：的幾何解釋： 2abba DBDACba三、理解定理，初步應用：三、理解定理，初步應用：2221. , , .a b cabcabbcca例已 知為 兩 兩不 相 等 的 實 數 ， 求 證 ：222abab證 明 ：222bcbc222acac222abcabbcac將以上三個同向不等式相加得：22222abab例2：求證：222abab證明：22222()2ababab2222()()abab兩邊同時除以兩邊同時除以4得：得：22222abab作業：作業：1已知a、b