1、11 引言,0,1,iixf xin第六章 插值問題的提出: 知一組離散數據 ,希望由此得到x , y之間的(近似)關系y = f ( x ).,ijx y處理問題的思緒: 尋覓一個比較簡單的函數 來“近似 f ( x ).當然這里的近似可以有不同的意義.本章討論在如下意義下的近似:要求近似函數在知點上與原來的函數值相等,即:這種意義下的近似問題稱為插值問題. yx if xxxR xf xx,0,1,ix in插值問題的提法:給出f ( x )在n+1個點 上的函數值在某種函數類中求一個函數 使 (),0,1,iixfxin(),0,1,if xin x稱為被插函數稱為插值函數稱為插值節點稱

2、為插值余項(誤差函數)插值問題的幾何意義:對于曲線y = f ( x )尋覓一條曲線 要求 經過點 yx yx,0,1,iixfxin x由于多項式是一種簡單且性質較好的函數.假設把插值函數類取為多項式,即 是n次多項式,這樣的問題稱多項式插值(代數插值)問題. 稱為插值多項式.以后記為 x nPx3 本章討論的是多項式插值問題.首先要討論多項式插值的三個根本問題:1.滿足插值條件的插值多項式能否存在?能否獨一?2.假設存在如何求?3.怎樣估計誤差函數R ( x )?1.設滿足插值條件的插值多項式為 1110nnnnnPxa xaxa xa 1110,0,1,nniinnn iniiiPxPx

3、fxina xaxa xafx應滿足即：這是一個n+1個方程個n+1未知數的線性方程組,由于其系數行列式是不等于0,所以有獨一解,即插值多項式插值是存在且獨一的.4再討論誤差函數R( x )的表示式記: 11010,nnninnnnRxf xPxRxRxK xxxxxxxxx 1nng tf tPtK xt 1111 !1 !nnnnffK xRxxnn令: 那么 有n+2個零點 所以根據羅爾定理 有n+1個零點反復用羅爾定理可得: 有獨一的零點由此可得 g t01,nxxxx g t 1ngt5 一 根本插值多項式01,0,1,2,if xf xin給出：2 Lagrange插值 01,0,

4、1,2,nninxPxinPx求滿足條件：P的 12001020nnnxxxxxxPxlxxxxxxx則：記為： 0111121100,1,2,kknkkkkknxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxkn類似可得：稱之為根本插值多項式.6 11120kkjlxnkjlxkj是次的多項式；二 拉格朗日插值多項式 0nnkkniiknPxlx f xP xf xLx就是滿足條件的插值多項式。記為：根本插值多項式的性質:稱為拉格朗日插值多項式100 10, 121144115已知：=11,=12分別用一次和二次插值求：的近似值，并估計誤差。7 1nnPxPx基本思想：修正項4 Newton插值

5、差分與差商 定義： 1iiiif xf xf xxxf x稱為在處的一階向前差分，記為 11kkkiiiif xf xf xf xxx 稱為在處的k+1階向前差分 1iiiifxfxf xxxfx稱為在處的一階向后差分，記為 11kkkiiiif xf xf xf xxx稱為在處的k+1階向后差分8差分與差商的性質： 1111,iiiiiiiifxfxfxxxf x xxx稱為在處的一階差商，記為 11121,iii kiii kiii kii kf x xxf xxxf x xxxxf x 稱為的k階差商.性質1：差商與節點的次序無關；性質2：性質3：性質4：kkii kf xf x 01,

6、!kkf x kff xxxk如果階可導，則必存在常數 使001,!kikkf xf xxxk h如果x 之間是等距節點，則：9 定義：二 牛頓根本插值 000000,f xf xf x xf xf xxxf x xxx001011001101,f x xf xxf x xxxxf x xf xxxxf x xx 00010101,f xf xxxf xxxxxxf x xx 0001010101000,nnnnnnf xxxf xxxxxxf x xxxxxxf xxxxxxf x xxNxRx10 nNx滿足:1是n次多項式 00112,nnnnnNxf xNxf xNxf x所以 是滿足

7、插值條件的插值多項式。稱為牛頓根本插值多項式，它滿足遞推關系： nNx 101101,kkkkNxNxxxxxxxf xxx,0,1,niiNxfxin11三 等距節點下的牛頓插值在等距節點的情況下，在牛頓根本插值中用向前差分替代商，就可以得到牛頓前插公式： 02000202000012!11!12!11!nnnnxxthf xf xNxf xthth thhhf xth thtnhn ht tf xt f xf xt ttnf xn 令12再根據向前差分與向后差分之間的關系，就可以得到牛頓后插公式： 0212!11!iiinnnnnnnf xf xxxtht tNxf xt f xf xt

8、ttnf xn 令133向量組的秩 定義5(向量組的秩與極大無關組) 四 關于插值的幾個問題: 1.關于多項式插值的方式和獨一性的問題以及誤差問題. 2.當f ( x )本身就是次多項式時,那么 3.關于節點的選擇問題和外推問題. 4.關于反插值的問題. 5.關于多項式次數的問題. nPxf x14 5 分段插值當節點很多很密的情況下,為了提高插值的整體效果,可以采用分段插值的方法.根本思想:把插值區間a , b分成n個小區間,在每個小區間上做低 次的插值.特點:不是用一個高次的多項式去近似被插函數,而是用一個分 段的低次多項式去近似被插函數.一 分段一次插值把插值區間a , b分成個n小區間

9、 ,在每一個小區間 上做一次插值:1,1,2,iixxin11111,1,2,iiiiiiiiiixxxxfxfxxxxinxxxx1,iixx15這樣我們就用一個分段的一次多項式:去近似被插函數. 1012121nnnLxxxxLxxxxL xLxxxx其中:分段一次插值的幾何意義就是用一條折線去近似替代原來的曲線. 11111,1,2,iiiiiiiiiiixxxxLxf xf xxxxinxxxx16類似的有分段二次插值,分段三次插值等.分段插值的優點是:插值曲線在整體上可以很好地逼近原曲線, 防止了高次插值帶來的一些問題.但分段插值最大的問題是:插值曲線不光滑,在節點處不可導, 這就能

10、夠破壞了原曲線的一些性質.17為使插值曲線更好地逼近原曲線,不僅要求兩條曲線的節點處的函數值相等(經過同一個點),再進一步要求在節點處導數值也相等(有公切線,一樣的凹向等等) Hermite 插值:給出個點上的函數值以及導數值求一個多項式H(x)使得這樣的問題稱為Hermite 插值問題,H(x)稱Hermite 插值多項式. Hermite 插值多項式的存在性,獨一性與前面的插值問題類似.6 Hermite插值 ,1,2, ;1,2,mmiiiiH xf xHxfxin mk ,0,1,2, ;1,2,miifxfxin mk1801,0,1,2, ,0,0,1,ijf xf xin fxj

11、nHermite 插值多項式的求法也有兩類根本方法,分別類似于前面的拉格朗日插值即構造根本插值多項式的方法和類似牛頓插值添加修正項的方法.構造Hermite根本插值多項式 給出2(n+1)個條件: 求一個2n+1次的多項式h(x),滿足:由于 是h(x)的二重零點,所以再由01,0,1,2, ,0,0,1,ijh xh xin h xjn,1,2,ix in 2222120nh xaxbxxxxxxaxb lx/10000121,01niiaxxh xhxbax 19性質1，2 類似可構造出這樣就可求得 200010112niih xxxlxhxxx，記為：00001,0,0,1,2, ;0,

12、1,ijhxhxhxin jn滿足：1,0,0,;0,1,kkkikjhxhxhxik jn滿足： ,0,1,khx kn2001,0,1,2, ,0,0,1,ijfxfxin f xjn再給出2(n+1)個條件: 求一個2n+1次的多項式 ,滿足:由于 是 的二重零點,且 是單重零點，所以再由 這樣就可求得00001,0,1,2, ,0,0,1,ijhxhxin hxjn,1,2,ix in 2220012nhxc xxxxxxxx0011hxc 0hx 0hx0 x 2222001200nhxxxxxxxxxxxlx21性質1，2 類似可構造出這樣就得到了2(n+1)個2n+1次的多項式，

13、稱之為Hermite根本插值多項式。由這2n+2個根本插值多項式，就可以很容易地構造出普通的Hermite插值多項式：00001,0,0,1,2, ;0,1,ijhxhxhxin jn滿足：1,0,0,;0,1,kkkkijhxhxhxik jn滿足： ,0,1,khx kn 0nkkkkkH xhx f xhx fx,0,1,jjjjxf xHxfxjn滿足：H22 01,HnHRxfxH xx xxRx是Hermite插值的余項記: 的二重零點故有:令: 反復用羅爾定理,可得: 21HnRxK xx 21ng tf tH tK xt 2222 !nfK xn23 0120121xxxfxfxfxfx添加修正項的方法. 先求出不帶導數的牛頓插值,然后每加一個導數就添加一項修正項.用這種方法可方便地求出更普通的Hermite 插值例:給出數據表求滿足插值條件的三次Hermite 插值多項式 .令:顯然:再利用條件:就可以求出常數A