1、高 等 數 學第5章 多元函數微積分主要內容: 一、空間幾何簡介 二、多元函數 三、偏導數與全微分 四、多元復合函數與隱函數求導法那么 五、多元函數極值 六、二重積分一、空間幾何簡介1、空間直角坐標系 規定：通常：xyzO2規定：另外如以下圖： yz Ox坐標面xOy坐標面yOz坐標面zOxxyzQRMOPxyz點的坐標xyzQRMOPxyz反之，將zyx,分別稱為點M在zyx,軸上的坐標。 + +，+ +，+ +- -，+ +，+ +- -，- -，+ + +，- -，+ + + +，+ +，- -+ +，- -，+ +- -，- -，- -+ +，- -，- - 規律：2、空間恣意兩點間的

2、間隔定義了空間點的坐標，就可以利用坐標計算空間恣意兩點間的間隔. ABP1P2xyz由圖：2222121BPABAPPP,21221xxAP,2122yyAB21222zzBP21221221221zzyyxxPP根據平面上兩點間的間隔公式可知：從而有：此即為空間恣意兩點間的間隔公式. 222zyxOP),(zyxP)0 , 0 , 0(O特別地，任一點與原點的間隔為：證明：22221123147MM1422232231275MM622213312354MM61332MMMM例1解MBMA )914, 0 , 0(M點例2定義：xyzO3、曲面與方程例3) 1 , 2 , 1 (1P) 3 ,

3、 1 , 2(2P求與兩定點和等間隔點的軌跡方程.222222312121zyxzyxPPPP21和等間隔的點為，由空間兩點間的間隔公式得：1P2P),(zyxP解：設與點解：設與點依題意有042zyx化簡得： 可以證明，一切空間平面都可以用三元一次方程表示； 反過來，任何一個三元一次方程的圖形都是空間的一個平面。 由此稱三元一次方程：0DCzByAx為平面的普通式方程。 幾種常見的曲面方程： 2202020Rzzyyxx),(0000zyxM以點為球心，以R為半徑的球面方程為：1球面方程：2橢圓柱面：方程12222byax表示橢圓柱面，當 a=b=R 時， 222Ryx中不含z，即z可任取，

4、在空間直角坐標系中該方程表示母線平行于z軸的圓柱面. 3橢圓拋物面：22yxz4圓錐面：5雙曲拋物面：6雙曲柱面：7拋物柱面：222yxz22yxz12222byax022pyx二、多元函數1、多元函數的概念自變量的取值稱為定義域；對應的函數值的集合稱為值域。類似地，由于三元及三元以上函數的許多性質及其微分法與二元函數完全類似，所以，在此主要研討二元函數。并先引見一些相關概念。 其定義域：留意區域：由平面上一條曲線或多條曲線圍成的 一部分平面稱為區域.邊境：圍成區域的曲線稱為邊境. 鄰域： ),(000yxp0),(yxp0p),(0pN把以點為圓心，為半徑的組成的區域稱為點的鄰域，記為圓內一

5、切的點內點：假設點 p 的某個鄰域內的點都屬于區域 D， 那么稱點 p 為區域 D 的內點. 外點：假設點 p 的某個鄰域內的點都不屬于區域 D ，那么稱點 p 為區域 D 的外點. 邊境點：假設點 p 的任一個鄰域內的點，既有屬 于區域 D 的點，又有不屬于區域 D 的 點，那么稱點 p 為區域 D 的邊境點. 閉區域：由一切內點和以閉曲線為邊境的一切 邊境點組成的區域稱為閉區域.開區域：只需內點組成的區域稱為開區域. 求函數21yxz的定義域. 例4解：欲使函數z有意義，自變量x，y必需滿足 不等式： 02 yx2 xy即：所以，其定義域D為： 2,xyyxD例5 求函數的定義域. )ar

6、csin()ln(22yxyxz解：欲使函數z有意義，自變量x，y必需滿足 不等式組： 1022yxyx所以，其定義域D為： 1, 0,22yxyxyxD例6解：函數z在點 0 , 0處的函數值為： 函數z在點 aln, 0處的函數值為： 9800)0 , 0(00ef88ln0)ln, 0(ln0aaeafaxyzxyzOMP二元函數的幾何意義：2、二元函數的極限與延續性1二元函數的極限1上述極限的定義實踐上是一元函數極限定義的推廣，所以有關一元函數的極限運算法那么同樣可以推行到二元函數.留意3上述極限定義不能用以求二元函數的極限，但可以用該定義斷定二元函數的極限不存在，即：只需有兩條途徑極

7、限不同，該函數極限就不存在. 求.11lim00 xyxyyx 例7解：一元函數求極限的方法中有分子解：一元函數求極限的方法中有分子(母母)有理化有理化的方法，該方法也適用于二元函數求極限的運算。的方法，該方法也適用于二元函數求極限的運算。211lim1111lim11lim000000 xyxyxyxyxyxyyxyxyx例8kxxxkxkxxyxyxyxyxyx222002200limlimkkkxkkyx111)1 (1lim200待續續yxyxyxz222二元函數的延續性),(),(lim0000yxfyxfyyxx二元延續函數也具有一元延續函數的一樣性質，如延續函數的和、差、積、商、

8、復合仍是延續函數；多元初等函數在其定義域內是延續函數等。因此，要求多元初等函數在其定義域內任一點處的極限值，只需求求出函數在該點的函數值即可。 求極限.32lim2221yxyxyx 例9解：1232212132lim222221yxyxyx 2yxxyz三、偏導數與全微分1、偏導數若xzxx0lim存在，則稱此極限為zyxf,在點00, yx處對x的偏導數 計算方法：一元函數的求導法那么及其公式同樣適用于多元函數求偏導數。顯然，解xfxfxzxyx2 , 12 ,1lim021xxxx4164116lim208例10待續yfyfyzyyx2 , 12 , 1lim021法二yyyy41621

9、23lim207yxxz32 yxyz23 821yxxz， 721yxyz續解xxyxyz22cos2xyx2cos23yxyxxyxxz22cos2sin22xyyxxyx2cos22sin22例11留意xzdxdy等為一整體記號，不象可視為分子分母之商解1yyxxz， xxyzylnyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxxz2例12xyzOyxfz,0M0y0, yxfz xT0 xyTyxfz,0幾何意義過點0M的切線有無窮多條，即一個平面，在這里僅兩個方向的切線 留意由于：可導與延續的關系：又如：0 , 0 xf如：對于二元函數yxfz,，由于其偏導數仍是yx,的函

10、數，如果它們仍然對yx,可導，則稱其為函數yxfz,的二階偏導數 定義：,22xxxxzyxfxzxzxyyyyzyxfyzyzy,22xyxyzyxfyxzxzy,2,2yxyxzyxfxyzyzx2、高偏導數解yyyxxz32233xxyyxyz239222xz26xyxyz219622yyxyxz219622yyx22yzxyx182333xz26y例13例14求函數xyxyzln2的二階偏導數. ,12xyxzyxyyz12,1222xxzyyxz22,12222yxyzyxyz22解： 定理5.1：對于更多元或更高階依然成立.yxz2xyz2由上例，兩個混合偏導數雖然求導次序不同，其

11、結果卻相等，但是并非在一切情況下這個結論都成立。關于混合偏導數，有以下定理： 證明22yxyyz22xz222222yxxxyx22222yxxy22yz222222yxyyyx22222yxyx例15全增量：3、全微分若函數yxfz,在點yx,處的全增量可表示為： OyBxAz 解yxyz22xyxeyz212exzyx， 2122eyzyxdyedxedzyx221, 22:所以例17解例16例18解yzzeyyu2cos21， yzyezuyyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(運用全微分進展近似計算：yyxfxyxfyxfyyxxfyx,dzz (1)(2)(3)這

12、三個是常用的近似計算公式. 解, 2y,04. 0 x02. 0y,1yxyxf,lnxxfyy02 , 1, 22 , 1ffx02. 0004. 02108. 1例19四、多元復合函數與隱函數求導法那么),(),(yxvvyxuu若 函 數 tvtu,在 點t可 導 ，vufz,在點t對應點vu,具有連續偏導數，則復合函數 ttfz,在點t可導，且： 定理dtdvvzdtduuzdtdzzuvt1、多元復合函數求導法那么鏈法那么若函數 )(,twwtvvtuu在點t可導，wvufz,在點t對應點wvu,具有連續偏導數，則復合函數 )(,twtvtufz 在點t可導，且 有：zuvtwdtd

13、wwzdtdvvzdtduuzdtdzdtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz同理設vufz,，yxuu,，yxvv,，則其復合函數 yxvyxufz,的偏導數有： zuvxyxvvzxuuzxzyvvzyuuzyz推行留意答：zuvxywxwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyz練習答：xymzuvnxmmuuzxzxnnuuzxmmvvzxnnvvzymmuuzyzynnuuzymmvvzynnvvz練習：答：xyzuxuuzxzxfyuuzyzyf記號在右邊用f對應關系，而不用z以免混淆 練習：留意解xvvzxuuzxz1cossinveyveuuyxyxyexycos

14、sinyvvzyuuzyz1cossinvexveuuyxyxxexycossinzuvxy例20解xzzuxuxfyxzezyxsin222222222zyxxeyxyxeyxx2422sin22sin212yzzuyuyfyxzezyxcos222222222zyxyeyxyxeyyxy2422sin4cossin2xyuz例21解tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossin ttetettcossincostttetcossincoszuvt例22解21fyzfwuvxyz例23續212fyzfzzxwzfyzf yzf221zuufzf11zvvf11211fxyf z

15、uufzf22zvvf22221fxyf 1211fzxyf 2222f yf zxy 解xywuxfxuuwxwxuufxxw22xfxxuufxxuxufxfx例24續xuxufxuuf 22222xuuf222xfxuuxfxuufyyxw2xfyxuufyxuyufxfyxuyufyuuf 222yxuuf2yxfyuuxf22dxxvvzxuuzdyyvvzyuuzdvvzduuzdzdyyudxxuuzdyyvdxxvvzdvvzduuz全微分方式的不變性即：dyyzdxxzdzdvvzduuzdz解veddzusinvdvevdueuucossinxdyydx yxddv,dyd

16、x dydxveucosdxvevyeuucossindyvevxeuucossindxyxyxyexycossindyyxyxxexycossin例25多元隱函數求偏導數與一元函數求導數方法類似，其本質都是運用復合函數的求導法那么。 2、多元隱函數求導方法 0 xyzez求由方程所確定的隱函數),(yxfz .,yzxz的偏導數例26下面經過實例來求多元隱函數的偏導數。xzxyyzxzezxyeyzxzzxyexzyzz所以同理可得例2704222zzyx求由確定的函數),(yxfz yzxz,的偏導數 0422xzxzzxzxxz2zyyz2求偏導數得：x解：方程兩邊同時對所以：同理可得：

17、五、多元函數極值函數的極值對于許多實踐問題有著重要的意義，在一元函數微分學中，用導數來求函數的極值。如今將借助于偏導數來討論多元函數的極值問題。由于三元以上的多元函數的極值與二元函數類似，為此只討論二元函數的極值問題。1、極值xyzOxyzO類似地，證明xf00, yx0 定理5.3CAyxfxx00,，Byxfxy00,，Cyxfyy00,， 定理5.4 (充分條件) 從上述定理得求極值的步驟：解2426yyxfxyxxfy24620 , 0、4 , 0、2 , 3、0 , 6、4 , 6 yxfxy234,262xxfyy例28續解0 , 1、2 , 1、0 , 3、2 , 3 ，0 xy

18、f ，66yfyy 例28續解題的步驟和斷定的方法留意：2、最值解例29續引例 xOyDz),(yxfz 曲頂柱體的體積 六、二重積分xOyDz),(yxfz i、分割化整為零xOyDz),(yxfz i、取近似不變代變xOyDz),(yxfz i、求和積零為整xOyDz),(yxfz 、取極限無限逼近定義5.10f x y dD,=lim, 01fiiiin (max, , ,ii12 3) 即：了解DdyxfV0,DdyxM0,幾何意義：2.(,),f x yg x y df x y dg x y dDDD 二重積分的性質：DDdyxfdyxf,MdyxfmD,iiDfdyxf,xyOa x1 x2bxyO x1 x2ab二重積分的計算：xyO y2 y1dcxyO y2 y1dc假設zxyOyxfz,ab0 x x1 x20 xA01x02xyxfz,0如圖：0201,00 x