1、第5章正弦穩態電路分析 第5章正弦穩態電路分析 5.1正弦信號的根本概念正弦信號的根本概念 5.2正弦信號的相量表示正弦信號的相量表示 5.3三種根本電路元件三種根本電路元件VAR的相量方式的相量方式 5.4基爾霍夫定律的相量方式和電路的相量模型基爾霍夫定律的相量方式和電路的相量模型 5.5阻抗與導納阻抗與導納 5.6正弦穩態電路的相量法分析正弦穩態電路的相量法分析 5.7正弦穩態電路的功率正弦穩態電路的功率 *5.8三相電路三相電路 習題習題5 第5章正弦穩態電路分析 5.1正弦信號的根本概念正弦信號的根本概念5.1.1正弦信號的三要素正弦信號的三要素正弦信號是指隨時間按正弦規律變化的正弦信

2、號是指隨時間按正弦規律變化的電壓或電流，它是周期信號。所謂周期信號，電壓或電流，它是周期信號。所謂周期信號，是指每隔一定的時間間隔是指每隔一定的時間間隔T反復變化且無始反復變化且無始無終的信號。圖無終的信號。圖5.1-1給出了幾種常見的周期給出了幾種常見的周期信號的波形。信號的波形。第5章正弦穩態電路分析 圖5.1-1幾種周期信號的波形第5章正弦穩態電路分析 周期信號的數學表達式為f(t)=f(t+kT)k=0，1，2， (5.1-1)我們把周期信號在單位時間內反復變化的次數稱為頻率，用f表示，單位為赫茲(Hz)。根據上述周期和頻率的定義，有正弦信號通常有兩種表述方法: 一種是三角函數表達式，

3、另一種是波形圖。以電流為例，正弦信號的三角函數表達式為i(t)=Im cos(wt+y) (5.1-3)其波形如圖5.1-2所示。1fT(5.1-2)第5章正弦穩態電路分析 圖5.1-2正弦電流信號波形圖第5章正弦穩態電路分析 式(5.1-3)中，Im稱為正弦信號i(t)的振幅值或最大值，它表示正弦信號i(t)所能到達的最大值；wt+ y稱為正弦信號i(t)的相位角，簡稱相位，單位為弧度或度，它反映了正弦信號每一瞬間的形狀。相位每添加2 p弧度，正弦信號閱歷一個周期，即 w(t+T)+ y(wt+ y)=2p解上式得(5.1-4)22fT第5章正弦穩態電路分析 【例5.1-1】試繪出正弦信號

4、的波形圖。解由標題告知的i(t)表達式可得：振幅Im=50 mA，角頻率w=100p rad/s，初相。畫i(t)波形時，取縱坐標為i(t)，橫坐標為wt。 由三角函數的性質可知, 正振幅Im出如今，即時，正振幅出現點確定以后，根據正弦信號的波形特征，便可畫出i(t)的波形，如圖5.1-3所示。 50cos 100 mA3i t3 10003t 3t 第5章正弦穩態電路分析 圖5.1-3例5.1-1用圖第5章正弦穩態電路分析 【例5.1-2】知電壓波形如圖5.1-4所示。(1) 試求振幅、周期和角頻率。(2) 寫出u(t)的表達式。圖5.1-4例5.1-2用圖第5章正弦穩態電路分析 解(1)

5、由波形圖可知：振幅為 Um=100 V周期為T=22.5-2.5=20 ms (兩峰值之間的時間間隔)由式(5.1-4)得角頻率為322100 rad/s20 10T第5章正弦穩態電路分析 (2) 要寫出正弦信號u(t)的表達式，必需知道其三要素：振幅、角頻率和初相。由波形圖可知，從坐標原點(即時間起點)到第一個正最大值所需時間為2.5 ms，那么初相的絕對值為301002.5 10 rad/s4t第5章正弦穩態電路分析 5.1.2相位差相位差設兩個同頻率正弦信號為設兩個同頻率正弦信號為u1(t)=U1m cos(wt+y1)u2(t)=U2m cos(wt+y2) 它們的相位分別為它們的相位

6、分別為wt+y1和和wt+y2，它們的相位之差為，它們的相位之差為j12=(wt+y1)(wt+y2)=y1y2 (5.1-5)假設相位差假設相位差j12=y1j20，那么表示，那么表示u1(t)超前于超前于u2(t)，或或u2(t)滯后于滯后于u1(t)，如圖，如圖5.1-5(a)所示。所示。假設相位差假設相位差j12=y1y20，那么表示，那么表示u1(t)滯后于滯后于u2(t)，或或u2(t)超前于超前于u1(t)，如圖，如圖5.1-5(b)所示。所示。第5章正弦穩態電路分析 圖5.1-5兩同頻率正弦信號超前或滯后表示圖第5章正弦穩態電路分析 在對同頻率正弦信號相位差的計算中，有時會遇到

7、以下三種特殊情況，如圖5.1-6所示。 圖5.1-6同頻正弦信號同相、正交和反相表示圖第5章正弦穩態電路分析 【例5.1-3】知兩同頻正弦電壓分別為試求它們的相位差，并指出其超前、滯后相位關系。解u1(t)是cos函數，u2(t)是sin函數，計算相位差時應將它們化為同名函數。將u2(t)化為cos函數方式 110cos V6u tt 2sin V6utt 22( )sincoscos V6623utu tttt 第5章正弦穩態電路分析 由u1(t)和u2(t)函數的表達式知初相那么相位差1263，1212636 第5章正弦穩態電路分析 【例5.1-4】知同頻正弦電流分別為試畫出它們的波形圖，

8、并計算相位差。 11m3cos A4i tIt 22mcos A2itIt第5章正弦穩態電路分析 解由i1(t)和i2(t)的函數表達式可畫出其波形圖如圖5.1-7所示。由i1(t)和i2(t)的表達式可知初相那么相位差12342，121235424 第5章正弦穩態電路分析 圖5.1-7例5.1-4用圖第5章正弦穩態電路分析 5.1.3周期信號的有效值周期信號的有效值周期信號的有效值是這樣定義的：設有兩個阻值相等周期信號的有效值是這樣定義的：設有兩個阻值相等的電阻的電阻R，分別通以周期電流，分別通以周期電流i(t)和直流電流和直流電流I(見圖見圖5.1-8)，假設在一樣時間假設在一樣時間T內，

9、兩個電阻耗費的能量相等，那么稱直內，兩個電阻耗費的能量相等，那么稱直流電流流電流I為周期電流為周期電流i(t)的有效值。的有效值。圖5.1-8有效值定義用圖第5章正弦穩態電路分析 由圖(a)可知，電阻R在時間T內耗費的能量為由圖(b)可知，電阻R在時間T內耗費的能量為假設兩能量相等 22000dddTTTWp ttRittRitt 2200ddTTWp ttRItRI T 220dTRittRI T第5章正弦穩態電路分析 那么有類似地，同樣可給出周期性電壓u(t)的有效值為正弦信號是周期信號，將正弦電流信號i(t)=Im cos(wt+y)代入式(5.1-6)中，可得正弦電流信號的有效值為 2

10、01dTIittT 201dTUuttT22m01cosdTIIttT2m011 cos2d2TIttTmm0.7072II(5.1-7) (5.1-6) 第5章正弦穩態電路分析 即同理可得正弦電壓信號的有效值(5.1-8) mm0.7072IIImm0.7072UUU(5.1-9) 第5章正弦穩態電路分析 5.2正弦信號的相量表示正弦信號的相量表示5.2.1復數的相關知識復數的相關知識設設A為一復數，為一復數，a和和b分別為其實部和虛分別為其實部和虛部，那么復數部，那么復數A可表示為可表示為A=a+jb (5.2-1)復數復數A在復平面上可用一帶箭頭的線段在復平面上可用一帶箭頭的線段表示，如

11、圖表示，如圖5.2-1所示。所示。第5章正弦穩態電路分析 圖5.2-1復數A在復平面上的表示第5章正弦穩態電路分析 由圖5.2-1可得復數A的另一表示方式A=|A| cosq+j|A| sinq (5.2-2)式(5.2-2)稱為復數A的三角方式表示。根據歐拉公式ejq=cosq+j sinq式(5.2-2)可寫為A=|A|ejq (5.2-3)式(5.2-3)稱為復數A的指數方式表示。在工程上常把式(5.2-3)簡寫為A=|A|q (5.2-4)第5章正弦穩態電路分析 【例5.2-1】將復數A=3+j4化為指數表示方式。解復數A的指數表示方式為A=|A|q=553.122345A 4arct

12、an53.13第5章正弦穩態電路分析 【例5.2-2】將復數A=1030化為直角坐標方式。解 103010cos30jsin3031 10j105 3j532A 第5章正弦穩態電路分析 5.2.2用相量表示正弦信號用相量表示正弦信號 設正弦電壓為設正弦電壓為u(t)=Um cos(wt+uu) 顯然可把它看做一個復數的實部，寫為顯然可把它看做一個復數的實部，寫為式中式中 jjjmmjmReeReee Reeuutttu tUUUjmmmuuUU eU(5.2-5) (5.2-6) (電壓振幅相量) 第5章正弦穩態電路分析 相量是一個復數，在復平面上可用一條帶箭頭的線段表示，如圖5.2-2所示。

13、相量在復平面上的圖示稱為相量圖。圖5.2-2相量圖第5章正弦穩態電路分析 式(5.2-5)中，ejwt稱為旋轉因子，相量 與ejwt的乘積是時間t的復函數，在復平面上可用一個以恒定角速度w逆時針方向旋轉的相量表示，如圖5.2-3所示。 mUjjmmeeuttUU第5章正弦穩態電路分析 圖5.2-3旋轉相量及其在實軸上的投影第5章正弦穩態電路分析 同樣地，正弦電流可表示為式中 jmmjjjmmcosRee ReeeReeiititti tItIIImmmijiII eI(5.2-7) (電流振幅相量) 第5章正弦穩態電路分析 【例5.2-3】知正弦電流i1(t)和i2(t)分別為i1(t)=5

14、cos(314t+60) Ai2(t)=10 sin(314t+120) A試寫出i1(t)和i2(t)對應的振幅相量和有效值相量，并作相量圖。解用相量表示正弦信號時，該正弦信號必需是cos函數方式。將i2(t)化為cos函數方式i2(t)=10 sin(314t+120)= 10 cos(314t+210) =10 cos(314t150)A 第5章正弦穩態電路分析 于是振幅相量有效值相量振幅相量圖如圖5.2-4所示。 11m5 60 Ai tI 22m10150 AitI1560 A2I 210150 A2I 第5章正弦穩態電路分析 圖5.2-4例5.2-3用圖第5章正弦穩態電路分析 【例

15、5.2-4】試計算4 cos2t+3 sin2t。解先將同頻正弦信號用相應的相量表示，用相量進展運算(即復數運算)，最后再將相量的運算結果復原為正弦信號，這樣就避開了繁瑣的三角函數運算，使運算過程得以大大簡化。將正弦信號化為一致的cos函數方式：4 cos2t+3 sin2t=4 cos2t+3 cos(2t90) 寫出對應相量，作相量運算:40+390=4 cos0+j4 sin0+3 cos(90) +j3 sin(90)=4j3=536.9于是，得4 cos2t+3 sin2t=5 cos(2t36.9)第5章正弦穩態電路分析 5.3三種根本電路元件三種根本電路元件VAR的相量方式的相量

16、方式1. 電阻元件電阻元件圖圖5.3-1(a)所示為電阻元件的時域模型，所示為電阻元件的時域模型，uR和和iR取關聯參考方向。設經過電阻的正弦取關聯參考方向。設經過電阻的正弦電流電流iR(t)=Im cos(wt+yi)根據歐姆定律，電阻兩端的電壓根據歐姆定律，電阻兩端的電壓uR(t)=RiR(t)=RIm cos(wt+yi)=Um cos(wt+yu) 上式闡明：電阻上的電壓上式闡明：電阻上的電壓uR與電流與電流iR是同頻是同頻率、同相位的正弦信號。它們的振幅值和相率、同相位的正弦信號。它們的振幅值和相位具有如下關系位具有如下關系第5章正弦穩態電路分析 又因所以由式(5.3-2)可畫出電阻

17、元件的相量模型如圖5.3-1(b)所示。電阻元件的電壓相量與電流相量的相位關系如圖5.3-1(c)所示。mmuiURImmmmuiUURIRImmURIURI或(5.3-2) (5.3-1) 第5章正弦穩態電路分析 圖5.3-1電阻元件的時域模型、相量模型及電壓和電流的相量圖第5章正弦穩態電路分析 2. 電感元件圖5.3-2(a)所示為電感元件的時域模型，uL和iL取關聯參考方向，有由上式可見，在正弦穩態電路中，電感元件的電壓uL(t)與電流iL(t)是同頻率的正弦信號，且電壓超前于電流90，它們的振幅與相位關系是(5.3-3) d( )dLLiutLtmm2uiULI(5.3-4) 第5章正

18、弦穩態電路分析 又因所以由式(5.3-5)可畫出電感元件的相量模型如圖5.3-2(b)所示。電感電壓和電流的相量圖如圖5.3-2(c)所示。 (5.3-5) mmmmmjj2uiiUULILILImmjjULIULI或第5章正弦穩態電路分析 圖5.3-2電感元件的時域模型、相量模型及電壓和電流的相量圖第5章正弦穩態電路分析 3. 電容元件電容元件圖圖5.3-3(a)所示為電容元件的時域模型，所示為電容元件的時域模型，uC和和iC取關聯取關聯參考方向，有參考方向，有由上式可見：在正弦穩態電路中，電容元件的電流由上式可見：在正弦穩態電路中，電容元件的電流iC(t)與與電壓電壓uC(t)是同頻率的正

19、弦信號，且電流超前于電壓是同頻率的正弦信號，且電流超前于電壓90，或，或電壓滯后于電流電壓滯后于電流90。它們的振幅與相位關系是。它們的振幅與相位關系是(5.3-7) d( )dCCuitCtm2miuICU(5.3-6) 第5章正弦穩態電路分析 普通將上式寫為由式(5.3-8)可畫出電容元件的相量模型如圖5.3-3(b)所示。電容電壓和電流的相量圖如圖5.3-3(c)所示。(5.3-8) mm11jjUIUICC或第5章正弦穩態電路分析 圖5.3-3電容元件的時域模型、相量模型及電壓和電流的相量圖第5章正弦穩態電路分析 5.4基爾霍夫定律的相量方式基爾霍夫定律的相量方式和電路的相量模型和電路

20、的相量模型5.4.1基爾霍夫定律的相量方式基爾霍夫定律的相量方式基爾霍夫定律指出：對于集總參數電路基爾霍夫定律指出：對于集總參數電路中的任一節點，在恣意時辰，流出或流入該中的任一節點，在恣意時辰，流出或流入該節點的一切支路電流的代數和恒等于零。節點的一切支路電流的代數和恒等于零。KCL的時域表達式為的時域表達式為i(t)=0 在正弦穩態電路中，一切的鼓勵和呼應在正弦穩態電路中，一切的鼓勵和呼應都是同一頻率的正弦信號，設都是同一頻率的正弦信號，設i(t)=Im cos(wt+y) 那么那么第5章正弦穩態電路分析 要使上式對恣意時間t都成立(等于零)，必有同理可得，基爾霍夫電壓定律KVL的相量方式

21、為j()mmjm( )cos()Re Re0eetti tItIIm00II或m00UU或(5.4-2) (5.4-1) 第5章正弦穩態電路分析 5.4.2電路的相量模型電路的相量模型前面我們討論了正弦信號的相量表示，三種根本電路前面我們討論了正弦信號的相量表示，三種根本電路元件元件R、L、C的電壓相量與電流相量的關系，以及基爾霍的電壓相量與電流相量的關系，以及基爾霍夫定律的相量方式，它們是建立電路相量模型和列寫電路夫定律的相量方式，它們是建立電路相量模型和列寫電路相量方程的根本根據。下面以一個簡單例子來闡明電路相相量方程的根本根據。下面以一個簡單例子來闡明電路相量模型的建立。量模型的建立。圖

22、圖5.4-1(a)所示為一正弦穩態電路。所示為一正弦穩態電路。第5章正弦穩態電路分析 圖5.4-1電路的時域模型和相量模型第5章正弦穩態電路分析 【例5.4-1】知正弦穩態電路的時域模型如圖5.4-2(a)所示，試畫出其相量模型。解將時域模型中的正弦量is(t)、i1(t)、uC(t)用它們對應的相量表示，根本電路元件R、L、C用它們的相量模型替代，得圖5.4-2(b)所示的電路的相量模型。s1CIIU、 、第5章正弦穩態電路分析 圖5.4-2例5.4-1用圖第5章正弦穩態電路分析 5.5阻阻 抗抗 與與 導導 納納5.5.1阻抗阻抗圖圖5.5-1(a)所示為無源二端正弦穩態電路。所示為無源二

23、端正弦穩態電路。 在正弦穩態時，定義無源二端電路端口在正弦穩態時，定義無源二端電路端口的電壓相量與電流相量的比值為該無源二端的電壓相量與電流相量的比值為該無源二端電路的阻抗，記為電路的阻抗，記為Z，即，即其等效電路模型如圖其等效電路模型如圖5.5-1(b)所示。阻抗的單所示。阻抗的單位為歐姆位為歐姆()。式。式(5.5-1)亦可寫為亦可寫為mmUUZZII或mmUZIUZI或(5.5-2) (5.5-1) 第5章正弦穩態電路分析 圖5.5-1無源二端正弦穩態電路及其阻抗第5章正弦穩態電路分析 阻抗是一個復數，將代入式(5.5-1)，有在5.4節中我們討論了三個根本電路元件VAR的相量方式，在關

24、聯參考方向下，它們是(5.5-3) uiUUII ，()juuiziUUUZZRXIII第5章正弦穩態電路分析 將其與阻抗定義式(5.5-2)對照，可得電阻、電感、電容的阻抗分別為(5.5-4) RRURIjLLULI1jCCUICjj1jjRLLCCZRZLXZXC 第5章正弦穩態電路分析 5.5.2導納導納仍以圖仍以圖5.5-1(a)所示的無源二端正弦穩態電路為例。所示的無源二端正弦穩態電路為例。在正弦穩態時，定義無源二端電路端口的電流相量與在正弦穩態時，定義無源二端電路端口的電流相量與電壓相量的比值為該無源二端電路的導納，記為電壓相量的比值為該無源二端電路的導納，記為Y，即，即顯然，導納

25、等于阻抗的倒數，導納的單位為西門子顯然，導納等于阻抗的倒數，導納的單位為西門子(S)。式。式(5.5-5)也可寫為也可寫為(5.5-6) mmIIYYUU或mmIYUIYU或(5.5-5) 第5章正弦穩態電路分析 導納也是一個復數，將代入式(5.5-5)，有由三個根本電路元件電阻、電感和電容的VAR的相量方式，可得它們的導納分別為(5.5-7) uiUUII ，()jiiuYuIIIYYGBUUU111jjjjjRLLCCYGRYBLLYCB (5.5-8) 第5章正弦穩態電路分析 5.5.3無源單口正弦穩態電路的等效阻抗與導納計算無源單口正弦穩態電路的等效阻抗與導納計算1. 阻抗串聯阻抗串聯

26、設有設有n個阻抗串聯，如圖個阻抗串聯，如圖5.5-2(a)所示，它可等效為圖所示，它可等效為圖5.5-2(b)，其等效阻抗為，其等效阻抗為式式(5.5-9)闡明闡明, 阻抗串聯的等效阻抗等于各串聯阻抗之和。阻抗串聯的等效阻抗等于各串聯阻抗之和。因此，凡是串聯的元件，用阻抗來表征較為方便。因此，凡是串聯的元件，用阻抗來表征較為方便。分壓公式為分壓公式為(5.5-9) eq121nnkkZZZZZeqkkZUUZ(5.5-10) 第5章正弦穩態電路分析 圖5.5-2阻抗的串聯及等效第5章正弦穩態電路分析 2. 導納并聯設有n個導納并聯，如圖5.5-3(a)所示，它可等效為圖(b)，其等效導納為式(

27、5.5-11)闡明，導納并聯的等效導納等于各并聯導納之和。因此，凡是并聯的元件，用導納來表征較為方便。分流公式為(5.5-12) eq121nnkkYYYYYeqkkYIIY(5.5-11) 第5章正弦穩態電路分析 圖5.5-3導納的并聯及等效第5章正弦穩態電路分析 在兩個元件并聯時，如圖5.5-4所示，由式(5.5-11)和式(5.5-12)不難得出端口的等效阻抗為分流公式為(5.5-14) 12eq12Z ZZZZ21121212ZIZZZIZZ(5.5-13) 第5章正弦穩態電路分析 圖5.5-4兩個阻抗并聯第5章正弦穩態電路分析 3. 無源單口正弦穩態混聯電路的等效化簡無源單口正弦穩態

28、混聯電路的等效化簡【例【例5.5-1】正弦穩態電路如圖】正弦穩態電路如圖5.5-5(a)所示，知所示，知w=3 rad/s，求，求ab端口的輸入阻抗，并指出電壓與電流的相位關端口的輸入阻抗，并指出電壓與電流的相位關系。系。圖5.5-5例5.5-1用圖第5章正弦穩態電路分析 解首先作出其相量模型，如圖5.5-5(b)所示。仿照電阻混聯電路的處置方法，可得ab端口的輸入阻抗為1.5j1/(1j2)j1(1j2)2j11.51.5j1 1j21j1(2j1)(1j1)1j31.51.5(1j1)(1j1)22j1.52.5 36.9 abZ = =第5章正弦穩態電路分析 【例5.5-2】正弦穩態電路

29、的相量模型如圖5.5-6所示，求ab端的輸入阻抗。圖5.5-6例5.5-2用圖第5章正弦穩態電路分析 解這是一個含受控源的無源單口電路。根據電阻電路部分的處置方法，用外加鼓勵法求該單口電路的輸入阻抗。在端口施加一源電壓 ，求該端口電流，找出端口的VAR式。沿端口所在回路列KVL方程結合式(1)、(2)，有111 ()2UIII 1j1UI1111j1 1j1IIIIIUI(1)(2)第5章正弦穩態電路分析 將上式代入式(2)中，得于是ab端口的輸入阻抗111j1(j )1j122UII 11j0.5 2135 22abUZI 第5章正弦穩態電路分析 5.6正弦穩態電路的相量法分析正弦穩態電路的

30、相量法分析 5.6.1相量分析法的普通步驟相量分析法的普通步驟用相量分析法分析正弦穩態電路的步驟用相量分析法分析正弦穩態電路的步驟可歸納如下：可歸納如下：(1) 由電路的時域模型畫出對應的相量模由電路的時域模型畫出對應的相量模型。型。(2) 仿照電阻電路的分析方法建立相量方仿照電阻電路的分析方法建立相量方式的電路方程，求出呼應相量。式的電路方程，求出呼應相量。(3) 將求得的呼應相量變換成對應的時域將求得的呼應相量變換成對應的時域瞬時值表達式。瞬時值表達式。下面舉例闡明相量分析法的運用。下面舉例闡明相量分析法的運用。【例【例5.6-1】正弦穩態電路如圖】正弦穩態電路如圖5.6-1(a)所示，知

31、鼓勵所示，知鼓勵，求電流，求電流i(t)。s( )10 2cos2 Vu tt第5章正弦穩態電路分析 圖5.6-1例5.6-1用圖第5章正弦穩態電路分析 解(1) 由電路的時域模型畫出電路的相量模型，如圖5.6-1(b)所示。圖(b)中：(2) 仿照電阻電路的分析方法建立相量方式的電路方程并求解。由圖(b)可知s10 0 Vjj 2 2j4 11j2 jj 2 0.25ULC s10 02.5 245 Aj42j22j2UI第5章正弦穩態電路分析 (3) 寫出電流相量對應的時域瞬時值表達式：【例5.6-2】知正弦穩態電路的相量模型如圖5.6-2所示，求支路電流。圖5.6-2例5.6-2用圖I(

32、 )2.5 22cos(245 )5cos(245 ) Ai ttts30 45 VI 12II和第5章正弦穩態電路分析 解由阻抗分流公式(5.5-14)，得或由KCL相量方式，可求得為1sj4j430 451245 3j4j43II2s343j430 455 53.110 4550 98.1 A3j4j43jII 2I298.1 III第5章正弦穩態電路分析 5.6.2電路的根本分析法和電路定理在正弦穩態電路中的電路的根本分析法和電路定理在正弦穩態電路中的運用運用1. 節點分析法和回路分析法用于正弦穩態電路的分析節點分析法和回路分析法用于正弦穩態電路的分析對于具有對

33、于具有3個獨立節點和個獨立節點和3個獨立回路個獨立回路(網孔網孔)的正弦穩態的正弦穩態相量模型電路，可得到相量方式的節點方程和回路方程為相量模型電路，可得到相量方式的節點方程和回路方程為111122133s11211222233s22311322333s33Y UY UY UUY UY UY UUY UY UY UU(5.6-1) 第5章正弦穩態電路分析 【例5.6-3】正弦穩態電路如圖5.6-3(a)所示，知，試用節點分析法求電流i(t)。(5.6-2) 111213s11212223s22313233s33ABCABCABCZ IZ IZ IIZ IZ IZ IIZ IZ IZ IIs(

34、)10 2cos2 i tts( )20 2cos2 Vu tt 第5章正弦穩態電路分析 圖5.6-3例5.6-3用圖第5章正弦穩態電路分析 【例5.6-4】圖5.6-4(a)所示的正弦穩態電路中，知，求電流i(t)。圖5.6-4例5.6-4用圖3s1( )10 2cos(10 ) Vutt3s2( )10 2sin(10 ) VUtt第5章正弦穩態電路分析 2. 電路定理用于正弦穩態電路的分析電路定理用于正弦穩態電路的分析在電阻電路部分曾講過，一個線性含源單口電路在電阻電路部分曾講過，一個線性含源單口電路N，就，就其端口來看，可等效為一個理想電壓源串聯電阻支路其端口來看，可等效為一個理想電壓

35、源串聯電阻支路(或理或理想電流源并聯電阻組合想電流源并聯電阻組合)，即戴維南等效電路，即戴維南等效電路(或諾頓等效電或諾頓等效電路路)。類似地，在正弦穩態電路中，也可將一個線性含源單。類似地，在正弦穩態電路中，也可將一個線性含源單口電路口電路N的相量模型等效為戴維南等效電路的相量模型等效為戴維南等效電路(或諾頓等效電或諾頓等效電路路)相量模型，如圖相量模型，如圖5.6-5所示。所示。第5章正弦穩態電路分析 圖5.6-5線性含源單口電路等效相量模型第5章正弦穩態電路分析 【例5.6-5】知正弦穩態電路如圖5.6-6所示，求電流。圖5.6-6例5.6-5用圖(一)I第5章正弦穩態電路分析 解將待求

36、電流支路移去，求余下含源單口電路的戴維南等效電路。(1) 求端口開路電壓。作對應電路如圖5.6-7(a)所示。圖5.6-7例5.6-5用圖(二)ocU第5章正弦穩態電路分析 【例5.6-6】正弦穩態電路如圖5.6-8所示，知，求電流iR(t)。 圖5.6-8例5.6-6用圖(一)s( )5 2cos5 A i tts( )5 2cos10 Vu tt第5章正弦穩態電路分析 解此題為多頻鼓勵源作用下求取正弦穩態呼應。可運用疊加原理，按同一頻率鼓勵源分別單獨作用于電路，求出各分呼應瞬時值，再將分呼應瞬時值疊加即為各鼓勵源共同作用所產生的呼應。(1) 電流源單獨作用(w=5 rad/s)，對應電路相

37、量模型如圖5.6-9(a)所示，此時us(t)=0，視作短路。s( )5 2cos5 Ai tt第5章正弦穩態電路分析 圖5.6-9例5.6-6用圖(二)第5章正弦穩態電路分析 5.6.3正弦穩態電路的相量圖分析正弦穩態電路的相量圖分析【例【例5.6-7】RC并聯正弦穩態電路如圖并聯正弦穩態電路如圖5.6-10(a)所示，所示，知知I=2.5 A，I2=2 A。(1) 求電流求電流I1； (2) 假設電壓假設電壓u(t)=20 cos105t V，求電容，求電容C的值。的值。第5章正弦穩態電路分析 圖5.6-10例5.6-7用圖第5章正弦穩態電路分析 【例5.6-8】正弦穩態電路相量模型如圖5

38、.6-11(a)所示，是一個丈量電感線圈電感和電阻的電路。知R1=50 ，用電壓表測得電壓U=110 V，U1=60 V，U2=70 V， 電路的任務頻率f=50 Hz，求電感線圈的電感Lx和電阻Rx。圖5.6-11例5.6-8用圖第5章正弦穩態電路分析 5.7正弦穩態電路的功率正弦穩態電路的功率 5.7.1單口網絡的功率單口網絡的功率正弦穩態單口網絡正弦穩態單口網絡N如圖如圖5.7-1所示，設所示，設端口電壓端口電壓u(t)和端口電流和端口電流i(t)取關聯參考方向，取關聯參考方向，其表達式分別為其表達式分別為u(t)=Um cos(wt+yu)i(t)=Im cos(wt+yi)1. 單口

39、網絡單口網絡N的瞬時功率的瞬時功率 p(t)=u(t)i(t)=UmIm cos(wt+yu) cos(wt+yi)根據三角公式根據三角公式1coscoscos()cos()2第5章正弦穩態電路分析 圖5.7-1單口網絡第5章正弦穩態電路分析 p(t)可寫為式中，j=yuyi。電壓u(t)、電流i(t)和瞬時功率p(t)的波形如圖5.7-2所示。mm( )cos()cos(2)2uiuiU Ip ttcoscos(2)uiUIUIt(5.7-1) 第5章正弦穩態電路分析 圖5.7-2單口網絡的瞬時功率波形第5章正弦穩態電路分析 2. 單口網絡N的平均功率 瞬時功率在一個周期內的平均值稱為平均功

40、率，記為P，其計算式為 將式(5.7-1)代入上式，得(5.7-2) 01( )dTPp ttT01coscos(2) dTuiPUIUIttTcosUI第5章正弦穩態電路分析 假設單口網絡N內不含獨立源(無源單口網絡)，那么可以等效為一個阻抗Z，此時式(5.7-2)可寫為P=UI cosjZ (5.7-3)設無源單口網絡的等效阻抗為即將上式代入式(5.7-3)，有P=I2R (5.7-4)cosjsinjZZZUUUUZRXIIIIcos cosZZURURII第5章正弦穩態電路分析 同理，由無源單口網絡的等效導納表達式可導出P=U2G (5.7-5)由平均功率計算式(5.7-3)、式(5.

41、7-4)、式(5.7-5)可見，無源單口網絡的平均功率只與電阻有關，與電抗無關。也就是說，一個無源單口網絡N的平均功率本質上就是該網絡中各電阻所耗費的平均功率之和，即P=PR (5.7-6)第5章正弦穩態電路分析 3. 單口網絡N的視在功率和功率因數 單口網絡N端口的電壓有效值與電流有效值的乘積稱為視在功率，用S表示，即S=UI (5.7-7)視在功率的單位為伏安(VA)，以區別于平均功率。由平均功率表達式(5.7-2)與視在功率表達式(5.7-7)可看出，平均功率是在視在功率上打了一個折扣，這個折扣就是cosj，稱為功率因數，用l表示，即=cosPS(5.7-8)第5章正弦穩態電路分析 4.

42、 單口網絡單口網絡N的無功功率的無功功率式式(5.7-1)可寫為可寫為 上式闡明，瞬時功率是由兩個分量組成的，這兩個分上式闡明，瞬時功率是由兩個分量組成的，這兩個分量的波形分別如圖量的波形分別如圖5.7-3所示。所示。( )coscos(2) coscoscos2sinsin2 cos1 cos2sinsin2 RXp tUIUItUIUItUItUItUItpp第5章正弦穩態電路分析 圖5.7-3瞬時功率的兩個分量第5章正弦穩態電路分析 第二個分量pX是以角頻率2w在橫軸上下動搖的交變分量，其正、負半周與橫軸之間構成的面積分別代表等量的吸收能量和釋放能量，其平均值為零，是一個在平均意義上不能

43、作功的無功分量。這個分量反映了網絡與外部電路之間能量往返交換的速率，我們把它的最大值定義為無功功率，用Q表示，即Q=UI sinj (5.7-9)假設單口網絡N內不含獨立源，那么式(5.7-9)可寫為Q=UI sinjZ (5.7-10)第5章正弦穩態電路分析 類似于平均功率計算式(5.7-4)和式(5.7-5)的推導，同樣可根據阻抗和導納定義式導出無源單口網絡無功功率的另外兩個計算式：Q=I2X=U2B (5.7-11)由以上分析可見，無源單口網絡的無功功率只與電抗有關，與電阻無關。也就是說，一個無源單口網絡的無功功率等于網絡中各電抗的無功功率之和，即Q=Qk (5.7-12)第5章正弦穩態

44、電路分析 5. 單口網絡N的復功率 視在功率、有功功率、無功功率和功率因數角可以用一個復數來一致表達，這個復數稱為復功率。 設單口網絡端口的電壓相量和電流相量為且電流相量的共軛 那么定義端口的電壓相量與電流相量的共軛的乘積為復功率，用表示，即 , uiUUII iII U*I*()uiSUIUIUIS (5.7-13) 第5章正弦穩態電路分析 將式(5.7-13)寫成復數的直角坐標方式，有由式(5.7-13)和式(5.7-14)可見，復功率的模就是視在功率，復功率的輻角就是功率因數角，故復功率的單位與視在功率的單位一樣，都是伏安(VA)，復功率的實部為有功功率P，虛部為無功功率Q，從而可將它們

45、之間的關系用圖5.7-4所示的功率三角形表示。由功率三角形可得以下關系式：(5.7-15) cosjsinjSUIUIPQ22costanSPQPQQP(5.7-14) 第5章正弦穩態電路分析 圖5.7-4功率三角形第5章正弦穩態電路分析 前面討論有功功率和無功功率時，導出式(5.7-6)和式(5.7-12)，現結合式(5.7-14)有但【例5.7-1】電路如圖5.7-5所示，輸入端電壓相量，求該無源二端網絡的平均功率P、無功功率Q、視在功率S和功率因數l。111jjnnnkkkkkkSPQPQS1nkkSS(5.7-16) 100 0 VU第5章正弦穩態電路分析 圖5.7-5例5.7-1用圖

46、第5章正弦穩態電路分析 【例5.7-2】電路如圖5.7-6所示，知，求網絡N吸收的平均功率PN。圖5.7-6例5.7-2用圖10j5 VU 2j1 AI 第5章正弦穩態電路分析 6. 功率因數的提高功率因數的提高可以從兩個方面來提高負載的功率因數：一方面是改可以從兩個方面來提高負載的功率因數：一方面是改良用電設備的功率因數；另一方面，由于工農業消費和日良用電設備的功率因數；另一方面，由于工農業消費和日常家用電氣設備絕大多數為感性負載。常家用電氣設備絕大多數為感性負載。【例【例5.7-3】圖】圖5.7-7(a)為一日光燈電路模型，任務頻為一日光燈電路模型，任務頻率為率為50 Hz，知端電壓，知端

47、電壓U=200 V，日光燈功率為，日光燈功率為40 W，額定，額定電流為電流為0.4 A。(1) 試求并電容前電路的功率因數試求并電容前電路的功率因數cosjZ、電感、電感L和電阻和電阻R。(2) 假設要將功率因數提高到假設要將功率因數提高到0.95，試求需求在，試求需求在RL支路支路兩端并聯的電容兩端并聯的電容C的值。的值。第5章正弦穩態電路分析 圖5.7-7例5.7-3用圖第5章正弦穩態電路分析 5.7.2最大功率傳輸定理最大功率傳輸定理電路如圖電路如圖5.7-8所示，圖中電壓源所示，圖中電壓源 串聯內阻抗串聯內阻抗Zs是實是實踐電壓源模型，可以為是任何一個線性含源二端電路踐電壓源模型，可

48、以為是任何一個線性含源二端電路N的戴的戴維南等效電路，維南等效電路，ZL是負載阻抗。是負載阻抗。設電源內阻抗為設電源內阻抗為Zs=Rs+jXs負載阻抗為負載阻抗為ZL=RL+jXL由圖由圖5.7-8可知，電路中的電流為可知，電路中的電流為sUsssLsLsL()j()UUIZZRRXX第5章正弦穩態電路分析 圖5.7-8求最大功率傳輸用圖第5章正弦穩態電路分析 于是，電流的有效值為由此得負載吸收的平均功率為s22sLsL()()UIRRXX22sLLL22sLsL()()U RPI RRRXX(5.7-17) 第5章正弦穩態電路分析 由式(5.7-17)可見，XL只出如今分母中，顯然對恣意RL

49、值，當Xs+XL=0(即XL=Xs)時分母最小，此即為所求的XL值。在XL選定后，功率變成為確定使上式中PL為最大的RL值，將PL對RL求導數并令其為零，即(5.7-18) 2sLL2sL()U RPRR22sLLsLLs4LsL()2()d0d()RRRRRPURRR第5章正弦穩態電路分析 上式要成立，分子必為零，所以有(Rs+RL)22RL(Rs+RL)=0解得RL=Rs 因此，在電源給定的情況下，負載ZL獲得最大功率的條件是：即(5.7-19) LsLsXXRR *LsZZ第5章正弦穩態電路分析 將式(5.7-19)代入式(5.7-17)，得在共軛匹配條件下負載獲得的最大功率為在某些情況

50、下，負載阻抗的實部和虛部以一樣的比例增大或減小，即阻抗角堅持不變，只改動阻抗的模|ZL|。可以證明，在這種情況下，負載獲得最大功率的條件是：|ZL|=|Zs| (5.7-21)(5.7-20) 2sLmaxs4UPR第5章正弦穩態電路分析 【例5.7-4】電路如圖 5.7-9(a)所示，ZL為負載阻抗，試求在以下情況下負載ZL獲得的最大功率。(1) 負載ZL的實部和虛部均可調理。(2) 負載為純電阻RL。第5章正弦穩態電路分析 圖5.7-9例5.7-4用圖第5章正弦穩態電路分析 5.8三相電路三相電路5.8.1三相電源三相電源1. 對稱三相電源對稱三相電源三相電源是由三相發電機獲得的。圖三相電

51、源是由三相發電機獲得的。圖5.8-1(a)所示是三相發電機的表示圖，它主要所示是三相發電機的表示圖，它主要由轉子和定子組成。圖中，由轉子和定子組成。圖中，AX、BY、CZ是是完全一樣而彼此相隔完全一樣而彼此相隔120的三個定子繞組，的三個定子繞組，每個繞組稱為一相，分別稱為每個繞組稱為一相，分別稱為A相、相、B相和相和C相，其中相，其中A、B、C稱為始端，稱為始端，X、Y、Z稱為稱為末端，定子是固定不動的，它普通由硅鋼片末端，定子是固定不動的，它普通由硅鋼片疊成。三相發動機中部的磁極是轉動的，稱疊成。三相發動機中部的磁極是轉動的，稱為轉子。為轉子。第5章正弦穩態電路分析 圖5.8-1三相發電機

52、表示圖和三相電源模型第5章正弦穩態電路分析 當轉子在汽輪機或水輪機驅動下以角速度勻速旋轉時，三個定子繞組中便會感應出隨時間按正弦方式變化的電壓。這三個電壓的頻率一樣，幅值相等，相位彼此相差120，相當于三個獨立的正弦電壓源，稱為對稱三相電壓源，其模型如圖5.8-1(b)所示，它們的瞬時值表達式分別為pmppmppmp( )cos2cos( )cos(120 )2(cos120 )( )cos(120 )2(cos120 )ABCutUtUtutUtUtutUtUt(5.8-1) 第5章正弦穩態電路分析 式中，Upm為每相電壓的振幅，Up為每相電壓的有效值。由式(5.8-1)可寫出對稱三相電壓的

53、相量分別為圖5.8-2是對稱三相電壓源的波形圖和相量圖。顯然，對稱三相電壓源的瞬時值之和為零，即uA+uB+uC=0 (5.8-3)由圖5.8-2(b)可知，它們的相量之和為零，即(5.8-2) ppp0120120ABCUUUUUU0ABCUUU(5.8-4) 第5章正弦穩態電路分析 圖5.8-2對稱三相電壓源的波形圖和相量圖第5章正弦穩態電路分析 2. 對稱三相電源的銜接對稱三相電源的銜接1) 星形銜接星形銜接(Y銜接銜接)將對稱三相電源的末端將對稱三相電源的末端X、Y、Z銜接在一同成為節點銜接在一同成為節點N，稱為中性點稱為中性點(簡稱中點簡稱中點)，由中點引出的導線稱為中線，由中點引出

54、的導線稱為中線(零線零線)，由始端由始端A、B 、C引出的三根導線與輸電線相接，保送電能引出的三根導線與輸電線相接，保送電能到負載，這三根導線稱為端線到負載，這三根導線稱為端線(或火線或火線)，如圖，如圖5.8-3(a)所示。圖所示。圖5.8-3(a)所示的供電方式稱為三相四線制所示的供電方式稱為三相四線制(三根火線三根火線和一根中線和一根中線)。圖。圖5.8-3(a)中，假設沒有中線，那么稱為三相中，假設沒有中線，那么稱為三相三線制。三線制。第5章正弦穩態電路分析 圖5.8-3對稱三相電源的Y銜接及相量圖第5章正弦穩態電路分析 圖5.8-3中，端線與中線之間的電壓(即每相電源的電壓)稱為相電

55、壓，用uA、uB和uC表示; 兩條端線之間的電壓稱為線電壓，用uAB、uBC和uCA表示。由圖5.8-3(a)可見，線電壓與相電壓有如下關系：用相量表示為ABABBCBCCACAuuuuuuuuuABABBCBcCACAUUUUUUUUU(5.8-5) 第5章正弦穩態電路分析 將式(5.8-2)代入式(5.8-5)中，得相電壓和線電壓的相量圖如圖5.8-3(b)所示。由圖5.8-3(b)可得線電壓的有效值為同理可得由此可見，假設相電壓是對稱的，那么線電壓也是對稱的，而且線電壓的有效值是相電壓的有效值的倍。設線電壓的有效值用表示，那么(5.8-6) p2cos303ABAUUUp3BCUU3p3

56、lUU第5章正弦穩態電路分析 根據相量圖(見圖5.8-3(b)不難看出，對稱三相線電壓相量與相電壓相量之間的相位關系如下：2) 三角形銜接(銜接)將對稱三相電源的始端與末端依次相連，即X與B、Y與C、Z與A相連構成一個閉合回路，由三個銜接點引出三根端線向外供電，就構成了銜接，如圖5.8-4(a)所示。這種接法是沒有中線的。(5.8-7) 3 303 303 30ABABCBCACUUUUUU第5章正弦穩態電路分析 圖5.8-4對稱三相電源的銜接及相量圖第5章正弦穩態電路分析 在銜接中，由于每相電源直接銜接在兩端線之間，所以線電壓就等于相電壓，即也即 Ul=Up (5.8-9)(5.8-8) A

57、BAABABCBBCBCACCACUUuuuuUUuuUU或第5章正弦穩態電路分析 5.8.2對稱三相電路的計算對稱三相電路的計算對稱三相電路是由對稱三相電源銜接對稱三相負載組對稱三相電路是由對稱三相電源銜接對稱三相負載組成的電路。所謂對稱三相負載，是指三個負載的參數完全成的電路。所謂對稱三相負載，是指三個負載的參數完全一樣，它們也可接成星形和三角形，如圖一樣，它們也可接成星形和三角形，如圖5.8-5所示。所示。第5章正弦穩態電路分析 圖5.8-5對稱三相負載的銜接第5章正弦穩態電路分析 首先分析圖5.8-6所示的對稱三相電路，稱為三相四線制Y-Y供電系統。圖中，NN為中線; ZN為中線阻抗；

58、端線電流稱為線電流，其有效值用Il表示；流過各相負載的電流稱為相電流，其有效值用Ip表示。顯然，在負載為Y銜接時，相電流等于線電流，即Ip=Il (5.8-10) 第5章正弦穩態電路分析 圖5.8-6三相四線制Y-Y供電系統第5章正弦穩態電路分析 設每相負載阻抗Z=|Z|jZ，由于圖5.8-6所示的電路只需兩個節點N和N，因此采用節點分析法分析較為方便。選N為參考節點，節點N到N的電壓為UNN，列節點方程為即1111CABN NNUUUUZZZZZZZ31ABCN NNUUUUZZZ第5章正弦穩態電路分析 由于電源對稱，即所以有UNN=0 (5.8-11)0ABCUUU第5章正弦穩態電路分析

59、由圖5.8-6可知，各線電流(也即各相電流)為根據KCL，中線電流為AABBCCUIZUIZUIZ0NABCIIII(5.8-13) (5.8-12) 第5章正弦穩態電路分析 每相負載的平均功率為Pp=UpIp cosjZ (5.8-14)在負載作Y形銜接時，有Il=Ip 于是：三相負載總的平均功率為P=3Pp=3UpIp cosjZ (5.8-15)p 3lUUpcos3llZUPI第5章正弦穩態電路分析 【例5.8-1】對稱三相三線制電路如圖5.8-7所示。知對稱三相電源的相電壓為220 V，對稱三相負載阻抗Z=1045W，求三相負載的電流和耗費的總功率。圖5.8-7例5.8-1用圖第5章

60、正弦穩態電路分析 下面我們分析另一類典型的三相電路，即三角形銜接的對稱三相負載與對稱三相電源組成的電路。三相電源能夠是Y形銜接，也能夠是銜接。當只需求分析負載的電流和電壓時，只需知道線電壓即可。圖5.8-8(a)所示是銜接的對稱三相負載。第5章正弦穩態電路分析 圖5.8-8銜接的對稱三相負載及其相量圖第5章正弦穩態電路分析 圖5.8-8中，、是線電流，其有效值用Il表示； 、是負載的相電流，其有效值用Ip表示。設線電壓由圖5.8-8(a)可知，各相負載的相電壓等于線電壓，于是得負載的相電流為AI 0 120 120ABlBClCAlUUUUUUBICIABIBCICAI(5.8-16) 第5章