1、上頁下頁鈴結束返回首頁一、有界性與最大值最小值定理二、零點定理與介值定理 閉區間上連續函數的性質上頁下頁鈴結束返回首頁v最大值與最小值v 對于在區間I上有定義的函數f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有vf(x)f(x0) (f(x)f(x0) v則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值) 最大值與最小值舉例: 函數 f(x)=1+sinx在區間0 2p上有最大值 2 和最小值 0 一、有界性與最大值最小值定理上頁下頁鈴結束返回首頁 函數y=sgn x 在區間(- +)內有最大值1和最小值-1 但在開區間(0 +)內 它的最大值和最小值都是1 最大值與最小值舉例:一、有界性

2、與最大值最小值定理v最大值與最小值v 對于在區間I上有定義的函數f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有vf(x)f(x0) (f(x)f(x0) v則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值) 上頁下頁鈴結束返回首頁 并非任何函數都有最大值和最小值 例如，函數f(x)=x在開區間(a b)內既無最大值又無最小值 應注意的問題:一、有界性與最大值最小值定理v最大值與最小值v 對于在區間I上有定義的函數f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有vf(x)f(x0) (f(x)f(x0) v則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值) 上頁下頁鈴結束返回首頁說明:v定

3、理1(最大值和最小值定理)v 在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值 又至少有一點x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值 至少有一點x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值 定理說明 如果函數f(x)在閉區間a b上連續 那么上頁下頁鈴結束返回首頁應注意的問題: 如果函數僅在開區間內連續 或函數在閉區間上有間斷點 那么函數在該區間上就不一定有最大值或最小值 例如 函數f(x)=x在開區間(a b)內既無最大值又無最小值 v定理1(最大值和最小值定理)v 在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值 上頁下頁鈴結束返回首頁 又如 如下函

4、數在閉區間0 2內既無最大值又無最小值 21 31 110 1)(xxxxxxfy 應注意的問題: 如果函數僅在開區間內連續 或函數在閉區間上有間斷點 那么函數在該區間上就不一定有最大值或最小值 v定理1(最大值和最小值定理)v 在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值 上頁下頁鈴結束返回首頁v定理2(有界性定理)v 在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界 證明 設函數f(x)在閉區間a b上連續 根據定理1 存在f(x)在區間a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b滿足mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函數f(x)在a b上有界 v定理1(

5、最大值和最小值定理)v 在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值 上頁下頁鈴結束返回首頁注: 如果x0使f(x0)=0 則x0稱為函數f(x)的零點 v定理3(零點定理)v 設函數f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)與f(b)異號 那么在開區間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0二、零點定理與介值定理上頁下頁鈴結束返回首頁 例1 證明方程x3-4x2+1=0在區間(0 1)內至少有一個根 證明 設 f(x)=x3-4x2+1 則f(x)在閉區間0 1上連續 并且 f(0)=10 f(1)=-20 根據零點定理 在(0 1)內至少有一點x 使得 f(x)=0 即 x

6、3-4x 2+1=0 這說明方程x3-4x2+1=0在區間(0 1)內至少有一個根是x 二、零點定理與介值定理v定理3(零點定理)v 設函數f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)與f(b)異號 那么在開區間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0上頁下頁鈴結束返回首頁v定理4(介值定理)v 設函數 f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)f(b) 那么 對于f(a)與f(b)之間的任意一個數C 在開區間(a b)內至少有一點x 使得f(x)=C二、零點定理與介值定理v定理3(零點定理)v 設函數f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)與f(b)異號 那么在開區間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0上頁下頁鈴結束返回首頁二、零點定理與介值定理v定理3(零點定理)v 設函數f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)與f(b)異號 那么在開區間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0推論 在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值v定理4(介值定理)v 設函數 f(x)在閉區間a b