1、第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)和向量函數(shù)的多元函數(shù)和向量函數(shù)的極限與連續(xù)極限與連續(xù) n維向量空間的區(qū)域維向量空間的區(qū)域 多元函數(shù)和向量函數(shù)多元函數(shù)和向量函數(shù) 多元函數(shù)和向量函數(shù)的極限多元函數(shù)和向量函數(shù)的極限 多元函數(shù)和向量函數(shù)的連續(xù)多元函數(shù)和向量函數(shù)的連續(xù)維維向向量量空空間間的的區(qū)區(qū)域域一一、n的的度度量量nR)1(Rn 記記 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)全全體體所所成成的的集集合合。對(duì)對(duì)于于 個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)有有序序組組的的全全體體 12(,),1,2,nnjRxxxxxR jn ，如下：如下：可規(guī)定加法及數(shù)的乘法可規(guī)定加法及數(shù)的乘法1212112212(,),(,)(,)(,)nnnnnnnnxx xxRyy yyR

2、Rxyxy xyxyxxxxR 設(shè)設(shè)，定定義義；則則構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)線線性性向向量量空空間間。1,njjjx yx y 又又若若規(guī)規(guī)定定它它的的內(nèi)內(nèi)積積為為則則它它構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)積積空空間間。這這時(shí)時(shí)22212,nxx xxxxx 稱(chēng)稱(chēng)為為 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度或或度度量量，21()nnjjjxyxyRxy 稱(chēng)稱(chēng)為為中中的的點(diǎn)點(diǎn) 與與 的的距距離離。2( )nR 的的鄰鄰域域 12221211 2(,),( , )(,)(), ,nnnnnnjjjjaa aaRRarB a rxRxarx xxxarxR jn 設(shè)設(shè)中中到到 的的距距離離等等于于 的的點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體所所成成的的集集合合( ,

3、)arB a rar 稱(chēng)稱(chēng)為為以以 為為中中心心，半半徑徑為為 的的球球，又又稱(chēng)稱(chēng)為為 的的鄰鄰域域。22221122333()()()nxaxaxar 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，它它就就是是通通常常三三維維空空間間中中由由不不等等式式所所確確定定的的球球222112221()()(,)narxaxarnarar ar 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，它它就就是是二二維維平平面面以以 為為中中心心， 為為半半徑徑的的圓圓盤(pán)盤(pán)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，它它就就是是以以 為為中中心心， 為為半半徑徑的的區(qū)區(qū)間間的開(kāi)集和閉集的開(kāi)集和閉集nR)3(,( , ),( , )( , )nnARaRaB aAaAB aAB aAaAaAAaA 設(shè)設(shè) 是是的的子

4、子集集，若若存存在在以以 為為心心的的球球則則稱(chēng)稱(chēng) 是是 的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)；若若存存在在使使得得它它與與 沒(méi)沒(méi)有有交交點(diǎn)點(diǎn)，即即，則則稱(chēng)稱(chēng) 是是 的的外外點(diǎn)點(diǎn)，若若 既既非非 的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，又又非非 的的外外點(diǎn)點(diǎn)，則則稱(chēng)稱(chēng) 是是 的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)。 aA內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn))a(A a外點(diǎn)外點(diǎn))b(A a邊界點(diǎn)邊界點(diǎn))c (,AAIntAAAOutAAAA 集集 的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)全全體體稱(chēng)稱(chēng)為為 的的內(nèi)內(nèi)部部，記記作作。集集 的的外外點(diǎn)點(diǎn)全全體體稱(chēng)稱(chēng)為為 的的外外部部，記記作作集集 的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)全全體體稱(chēng)稱(chēng)為為 的的邊邊界界，記記作作。0,( ,AAAAB aAaAaaAAAAA 稱(chēng)稱(chēng)為為 的的閉閉包包。若若

5、），則則稱(chēng)稱(chēng) 是是 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)。這這時(shí)時(shí) 的的任任意意 鄰鄰域域都都含含有有 的的無(wú)無(wú)數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)， 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)可可能能是是 的的點(diǎn)點(diǎn)也也可可能能不不是是 的的點(diǎn)點(diǎn)，但但是是 的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)。 22 1011( , ), Ax y xyy 例例1 1，它它是是上上半半單單位位圓圓，包包括括直直徑徑26圖圖 01),(1),(0, 1),(222222 yyxyxyxyxOutAyyxyxIntA且且2221222222232224 0 1111126-3( , )( , )( , )( , )( , )()ccAAAAAAABx y xyRAx y xyRAx y xyARAx yxy若

6、若集集合合 的的每每一一點(diǎn)點(diǎn)均均是是 的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則稱(chēng)稱(chēng) 為為開(kāi)開(kāi)集集，若若的的余余集集是是開(kāi)開(kāi)集集，則則說(shuō)說(shuō) 是是閉閉集集。例例2 2是是的的開(kāi)開(kāi)集集單單位位圓圓外外部部的的開(kāi)開(kāi)集集是是的的閉閉集集閉閉單單位位圓圓既既非非開(kāi)開(kāi)集集，也也非非閉閉集集。 圖圖 11, 0),(01),(22 xyyxyyxyxA且且圖圖6-3有有界界集集和和無(wú)無(wú)界界集集)4(,0,.,.nx Ay ARARxAxRAAAAAdiamAdiamAMax xy 若若中中的的集集 包包含含于于某某個(gè)個(gè)球球內(nèi)內(nèi)部部 或或者者說(shuō)說(shuō)存存在在使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)便便有有則則稱(chēng)稱(chēng) 是是有有界界集集 否否則則稱(chēng)稱(chēng) 是是無(wú)無(wú)界界集

7、集設(shè)設(shè) 是是有有界界集集中中任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)距距離離的的最最大大值值稱(chēng)稱(chēng)為為 的的直直徑徑記記為為即即曲曲線線與與曲曲線線段段)5(31 2( ),( ),( ),( )(, , ),.( ) ,njjjRxx tyy t zz ttRxx tjntx tt 在在曲曲線線方方程程可可借借助助參參數(shù)數(shù)方方程程來(lái)來(lái)表表示示 若若則則可可得得到到一一段段曲曲線線曲曲線線段段 類(lèi)類(lèi)似似地地對(duì)對(duì)于于用用來(lái)來(lái)描描述述曲曲線線段段 有有時(shí)時(shí)也也簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)曲曲線線若若均均是是 在在的的連連, 續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) 則則說(shuō)說(shuō)曲曲線線段段 是是連連續(xù)續(xù)的的。3111122221211121212112121211101(,

8、)(,),(),(),()()RP x y zP xyzPPxxyyzztxxyyzzxt xtxyt ytyzt ztzt 由由空空間間解解析析幾幾何何知知道道，在在中中，連連接接和和兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的直直線線段段可可表表示示為為則則得得到到參參數(shù)數(shù)方方程程12111111,nniiiiniiiiinP PPRPPPPPPPPR 設(shè)設(shè)是是的的點(diǎn)點(diǎn)是是 為為始始點(diǎn)點(diǎn)為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的線線段段 則則是是由由這這有有限限條條線線段段首首尾尾依依次次相相接接而而成成 稱(chēng)稱(chēng)為為中中的的一一條條折折線線。,(),()nnnARx yAAxyAARR設(shè)設(shè) 是是的的子子集集 若若恒恒存存在在 中中一一條條折折線線或

9、或連連續(xù)續(xù)曲曲線線 連連接接 與與則則稱(chēng)稱(chēng) 是是一一道道路路連連通通集集 這這時(shí)時(shí)也也稱(chēng)稱(chēng) 在在是是連連通通的的。中中的的連連通通開(kāi)開(kāi)集集稱(chēng)稱(chēng)為為區(qū)區(qū)域域開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域 。區(qū)區(qū)域域連連同同邊邊界界稱(chēng)稱(chēng)為為閉閉區(qū)區(qū)域域，換換句句話(huà)話(huà)說(shuō)說(shuō)閉閉區(qū)區(qū)域域是是區(qū)區(qū)域域的的閉閉包包。區(qū)區(qū)域域與與閉閉區(qū)區(qū)域域)6( 22122222233224520141014( , ),( , )( , , ),( , ),( , ).Ax y xyAx yxyRAx y zxyzxyRAx y xyAx yxyR例例3 3都都是是的的開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域, ,是是的的開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域均均是是的的閉閉區(qū)區(qū)域域22,RRDCDDDD平平

10、面面中中的的不不自自交交的的連連續(xù)續(xù)曲曲線線稱(chēng)稱(chēng)為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單曲曲線線 若若在在中中的的區(qū)區(qū)域域 是是沒(méi)沒(méi)有有洞洞的的 即即它它的的任任一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線可可以以在在 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)地地收收縮縮成成一一點(diǎn)點(diǎn) 則則說(shuō)說(shuō) 是是單單連連通通域域若若區(qū)區(qū)域域 是是有有洞洞的的 則則說(shuō)說(shuō) 是是多多連連通通域域。221264ARAR 如如圖圖中中是是的的單單連連通通域域，是是的的多多連連通通域域。圖圖6-41222222235 =( ) | 0, 141 ( ,) |,( , ) |Dx yxyDx yxyDx y zxyzxy 例例，是是否否是是區(qū)區(qū)域域？2222 =( ) | (1+1(1+1

11、)Dx yxyxy 例例6 6，或或是是否否是是區(qū)區(qū)域域？22 =( ) | 0+1 Dx yxy例例4 4，是是否否是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域？多多元元函函數(shù)數(shù)的的概概念念01 121 :,( )(,),:,()( ),nnnDRnuf xf x xxxDRDRfDRxuDf Dy yf xxD定定義義設(shè)設(shè) 是是的的非非空空子子集集元元函函數(shù)數(shù)是是從從 到到實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集合合 的的一一個(gè)個(gè)映映射射其其中中 稱(chēng)稱(chēng)為為自自變變量量稱(chēng)稱(chēng)為為因因變變量量稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域 映映射射的的像像集集稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域 例例如如多多元元函函數(shù)數(shù)和和向向量量函函數(shù)數(shù)二二、.1,11,),(

12、 ,2),1(),1ln()1( ,122222222222222122221等均是多元函數(shù)等均是多元函數(shù) yxyxyxzRyxxyzyxuyxyxzxxxxxxunn22222211,ln()uxyzxyz 與與一一元元函函數(shù)數(shù)相相似似當(dāng)當(dāng)我我們們用用某某個(gè)個(gè)算算式式表表示示多多元元函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)凡凡是是使使算算式式有有意意義義的的自自變變量量組組成成的的點(diǎn)點(diǎn)的的集集合合稱(chēng)稱(chēng)為為這這個(gè)個(gè)多多元元函函數(shù)數(shù)的的自自然然定定義義集集或或自自然然定定義義域域。例例如如的的自自然然定定義義域域是是 222223 ( , , ),( , ),.x y z zxyx yRzxyR是是函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像 在

13、在幾幾何何上上它它是是中中的的一一張張旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面2222 2( , ).xyxuf x yxxy 例例7 7 求求的的自自然然定定義義域域 1212121222222222311 11(,(,),(,)( )(,),()( , , ),nnnnx xx u uf x xxx xxDuf xf x xxzxyxyx y z zxyxyR 稱(chēng)稱(chēng)集集合合為為多多元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像 如如的的圖圖像像是是它它表表示示空空間間的的上上半半單單位位球球面面 又又如如圖圖6-5.1)1(,41)21( ),(,1)1(41)21(,020222222222222 yxyxyxyxyxyxxxy

14、x且且故所求的自然定義域是故所求的自然定義域是即即函數(shù)自然定義域是函數(shù)自然定義域是解解 3 ( , ),( , )( , , )( , ),( , ).zf x yx yDx y z zf x yx yDR 一一般般地地，函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像是是 中中的的一一曲曲面面圖圖6-622 (,),( , ).yf xyxyf x yx 例例8 8 若若求求的的表表達(dá)達(dá)式式,11yuuvuxy vxyxvv 解解令令, , 則則222(1)1,( , )()()1111,1,0,(,)()(),(0, 1)0,uuvuvvf u vvvvyvuxyxyf xyxyxyfx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)即即因因?yàn)闉?/p>

15、所所以以故故 1, 0,01,1)1(),(2vuvvvuvuf 1, 0,01,1)1(),(2yxyyyxyxf向量函數(shù)向量函數(shù)02,( ( ), ( ), ( ),( ),( )( )( )( )( )xMx ty tz tr tOMr tx t iy t jz t kr tt 設(shè)設(shè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)在在空空間間中中運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)刻刻的的位位置置可可以以用用坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示 也也可可用用向向量量表表示示 即即稱(chēng)稱(chēng)向向量量是是 的的一一個(gè)個(gè)向向量量函函數(shù)數(shù)。 ,(),cos,sin,MZazvzvMxat yat zvt 例例9 9 當(dāng)當(dāng)空空間間中中的的一一質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)沿沿著著以以 軸軸為為中中心心 底底

16、面面半半徑徑為為 的的圓圓柱柱面面以以角角速速度度 繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 同同時(shí)時(shí)又又以以速速度度 沿沿平平行行于于 軸軸的的方方向向上上升升 其其中中 和和 都都是是常常數(shù)數(shù) 則則點(diǎn)點(diǎn)的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)軌軌跡跡是是一一條條螺螺旋旋線線 它它的的參參數(shù)數(shù)方方程程是是圖圖6-7kvtjtai tatr sincos)(用用向向量量函函數(shù)數(shù)表表示示成成).(,)(,)(,)(向向量量又又稱(chēng)稱(chēng)矢矢量量矢矢端端曲曲線線所所以以又又叫叫的的終終端端運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的軌軌跡跡它它是是向向量量空空間間曲曲線線在在幾幾何何上上表表示示向向量量函函數(shù)數(shù)由由此此可可見(jiàn)見(jiàn)顯顯然然trrtrrOMtr 33( ),( ),( ),

17、( ),( )( )( )( )( )().xyzxyzDAA tRAA tA tA tA tA tA t iA t jA t ktDDR 給給定定一一個(gè)個(gè)定定義義在在集集合合 的的向向量量函函數(shù)數(shù)它它在在的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中有有三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo) 即即 在在三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的投投影影 分分別別為為則則向向量量函函數(shù)數(shù)的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示式式為為它它是是 到到的的一一個(gè)個(gè)映映射射122 1 2(,)(, ,),njnA x xxjmRDmn 一一般般地地，有有定定義義設(shè)設(shè)是是定定義義在在的的子子集集 上上的的個(gè)個(gè) 元元函函數(shù)數(shù)12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),.m

18、meeeR 是是的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基底底 12112121221211221212(,)(,)(,)(,)(,),(,),(,),.nnnmnmnnmnnmA x xxA x xxeA x xxeAx xxeA x xxA x xxAx xxnRDmRD 是是 維維向向量量空空間間的的點(diǎn)點(diǎn)集集 到到 維維向向量量空空間間的的映映射射 稱(chēng)稱(chēng)為為定定義義在在 的的向向量量函函數(shù)數(shù)極限極限多元函數(shù)和向量函數(shù)的多元函數(shù)和向量函數(shù)的三三、多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限01記作記作時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)是是則稱(chēng)則稱(chēng)時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)且且外有定義外有定義可能除可能除的某鄰域的某鄰域在在設(shè)多元函數(shù)設(shè)多元函數(shù)定義

19、定義,)(,)(0, 0, 0,),()(:3000021xxxfAAxfxxxxxxxfxfun Axfxx )(lim0,.不不難難證證明明 一一元元函函數(shù)數(shù)極極限限的的四四則則運(yùn)運(yùn)算算 夾夾逼逼定定理理 有有界界量量與與無(wú)無(wú)窮窮小小量量的的乘乘積積為為無(wú)無(wú)窮窮小小量量等等命命題題對(duì)對(duì)多多元元函函數(shù)數(shù)仍仍然然成成立立000020000( , )(,)00( , )(,),( , )(,),( , )(,)( , ),lim( , ),( , )(,),( , ),lim( , ).x yxyx yxyx yRxyx yxyf x yAf x yAx yxyf x yf x y 應(yīng)應(yīng)當(dāng)當(dāng)指指

20、出出當(dāng)當(dāng)在在平平面面趨趨近近于于時(shí)時(shí) 它它的的趨趨近近道道路路是是無(wú)無(wú)窮窮多多的的 只只有有當(dāng)當(dāng)沿沿任任何何路路徑徑趨趨近近于于時(shí)時(shí)都都以以 為為極極限限 才才有有換換句句話(huà)話(huà)說(shuō)說(shuō)如如果果當(dāng)當(dāng)沿沿不不同同路路徑徑趨趨近近于于時(shí)時(shí)的的極極限限值值不不同同 則則不不存存在在2220 0 10( , )( , )( )( , ),lim( , )x yx yf x yf x yxy 例例1 10 0設(shè)設(shè)證證明明22)0,0(),()1ln(lim)2(yxxyxyx 求求)(211)1(22yxxy 解解法法,21),(022xyxxyxyxf . 0),(lim)0 , 0(),( yxfyx由夾

21、逼性質(zhì)得由夾逼性質(zhì)得22222201 (0)0 xxyyxyy 解解法法，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量。. 0)(lim),(lim222)0,0(),()0,0(),( yyxxyxfyxyx即即2220 (0),x yyxy ,cossin),(2222 yxyxyxf220 001( , )( , ),sin cossin cosx y 因因又又，故故當(dāng)當(dāng)0 0時(shí)時(shí)，是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量，所所以以. 0cossinlim),(lim20)0 , 0(),( yxfyx有有由由是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小與與解解)1(,)1ln()2(xyxy 22220 00 01 0( , )( , )

22、( , )( , )ln()()limlim.x yx yxxyx xyxyxy 向向量量函函數(shù)數(shù)的的極極限限0212,(,),nnDRxx xxD 設(shè)設(shè) 是是的的子子集集這時(shí)這時(shí)令令解法解法,sin,cos3 yx 0000012121212 1 2 ( )( ),( ),( )(),( )(,),lim( )(, ,),lim( )lim( ),lim( ),lim( ),mmjjnjjxxnxxxxxxxxnA xA x A xAxxDDRA xA x xxDnA xjmA xA xA xA x 是是 到到的的映映射射 其其中中是是定定義義在在 上上的的 元元函函數(shù)數(shù) 假假定定存存在在

23、則則定定義義連連續(xù)續(xù)多多元元函函數(shù)數(shù)和和向向量量函函數(shù)數(shù)的的四四、012001020004 ( )(,)(,),lim( )(),( )nnxxnuf xf x xxxxxxf xf xnuf xx 定定義義 設(shè)設(shè) 元元函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某鄰鄰域域有有定定義義 若若則則稱(chēng)稱(chēng) 元元函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 處處連連續(xù)續(xù)。2 123( ),( ) ( );( ) ( );( ) ( ).nuf xRDf xDf xDf xD 定定理理設(shè)設(shè)多多元元函函數(shù)數(shù)在在的的有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域 上上連連續(xù)續(xù) 則則在在 有有界界在在 可可取取到到最最大大值值與與最最小小值值在在 上上必必可可取取到到介介于于最最大大

24、值值與與最最小小值值之之間間的的任任何何值值2222220 000 0,( , ),( , ),( , ).xyxyxyf x yf x yxy 例例1 11 1 設(shè)設(shè)試試證證在在處處不不連連續(xù)續(xù)1 ().定定理理 多多元元連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的和和、差差、積積、商商 分分母母不不為為零零處處仍仍然然連連續(xù)續(xù)，多多元元連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)也也是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，一一切切初初等等多多元元函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)0 0 000,( , ),( , )( , ),.xyxyxyf x yf x yxy 例例1212 設(shè)設(shè)試試證證在在處處不不連連續(xù)續(xù)kkxkxxyx

25、fkkxxyyxxyx1lim),(lim),0)(0 , 0(),(:2320)0,0(),(2 則則趨近于趨近于沿路徑沿路徑令令證明證明0 00 00 0( , )( , ),( , )( , ),lim( , ),( , )( , ).x ykx yf x yf x y當(dāng)當(dāng) 取取不不同同值值時(shí)時(shí) 點(diǎn)點(diǎn)趨趨近近于于所所取取路路徑徑不不同同 上上述述極極限限值值也也不不同同 因因此此不不存存在在 從從而而在在處處不不連連續(xù)續(xù)0 00 0 01 010 0( , )( , ),( ,)( ,)()(),lim( , )lim,()( , )( , )( , ).x yxx yykxx kxkf

26、 x yk xx yf x y 注注記記 在在例例1 12 2中中 若若讓讓沿沿路路徑徑趨趨近近于于則則但但不不能能斷斷定定當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在.于于連連續(xù)續(xù)的的概概念念向向量量函函數(shù)數(shù)也也有有類(lèi)類(lèi)似似的的關(guān)關(guān)00005 1 1( ),lim( )()( . )( ).nnxxAA xRDxRA xA xA xx 定定義義設(shè)設(shè)是是定定義義在在的的集集合合 上上的的向向量量函函數(shù)數(shù)它它在在的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義 若若則則稱(chēng)稱(chēng)向向量量函函數(shù)數(shù)在在 處處連連續(xù)續(xù)可可推推出出和和由由向向量量函函數(shù)數(shù)極極限限的的定定義義)1 . 1( 120010201203 ( )( ),( ),(

27、 )(,)( ),( ),( ).mnnmA xA x A xAxxxxxRmmnA x A xAxx 定定理理向向量量函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)的的充充要要條條件件是是它它的的 個(gè)個(gè)分分量量即即 個(gè)個(gè) 元元函函數(shù)數(shù)同同時(shí)時(shí)在在點(diǎn)點(diǎn) 處處連連續(xù)續(xù).21,3等等和定理和定理如定理如定理本性質(zhì)本性質(zhì)類(lèi)似于多元函數(shù)的基類(lèi)似于多元函數(shù)的基容易推出向量函數(shù)也有容易推出向量函數(shù)也有由定理由定理連續(xù)連續(xù)線性度量空間的極限與線性度量空間的極限與五五、*線性度量空間線性度量空間016 10 2034,( , ),:( ) ( , );( ) ( , );( ) ( , )( , );( ), , ( , )(

28、 , )( , ) ()XxX yXx yx yx yxyx yy xx y zXx zx yy z 定定義義 設(shè)設(shè) 是是一一線線性性度度量量空空間間若若有有一一個(gè)個(gè)非非負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)且且滿(mǎn)滿(mǎn)足足四四個(gè)個(gè)條條件件三三角角不不等等式式).()(,(,),(或距離空間或距離空間是一個(gè)度量空間是一個(gè)度量空間簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)稱(chēng)的一個(gè)度量或距離的一個(gè)度量或距離是空間是空間則稱(chēng)則稱(chēng)XXXyx 1212211 1 2 3 4,(,),(,),( , )() ,( , ), ), ), ),.nnnnnnjjjnnXRxx xxRyy yyRx yxyxyx yRR 例例 設(shè)設(shè)定定義義則則滿(mǎn)滿(mǎn)足足定定

29、義義中中的的條條件件它它是是的的一一個(gè)個(gè)度度量量 這這樣樣就就是是一一度度量量空空間間NoImage1112222212121212122 1 2 3 4,( ,)()() ,), ), ), ),( ,),.CzxiyC zxiyCz zzzxxyyz zCC 例例 設(shè)設(shè) 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)全全體體所所成成的的集集合合定定義義它它滿(mǎn)滿(mǎn)足足定定義義中中的的條條件件所所以以是是復(fù)復(fù)平平面面 的的一一個(gè)個(gè)度度量量 這這時(shí)時(shí) 就就是是一一度度量量空空間間 3 102034 , ( ):( ) , , , , (, )( )( )(*) (, );) (, )( )( );) (, )( ,);)( ), ( )( ) , ,(, )( )( )( )( )( )(babbaaC a bf xf xa bfC a bgC a bf gf xg x dxf gf gf xg xf gg ff xg xh xC a bf hf xh x dxf xg x dxg xh x 例例設(shè)