1、1專題八二次函數(shù)綜合題類型一新定義問題例1§(2017 河南)如圖，直線y=2x+c與x軸交于點(diǎn)A(3, 0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=-4x2+bx 33+ c經(jīng)過點(diǎn)A, B.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)M(m, 0)為x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn) M且垂直于x軸的直線與直線 AB及拋物線分別交于點(diǎn) P, N.點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動，若以B, P, N為頂點(diǎn)的三角形與 APM相似，求點(diǎn) M的坐標(biāo)；點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動，若三個點(diǎn) M P, N中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外)，則稱M,巳N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.請直接寫出使得M巳N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值.例1題圖用

2、圖【分析】(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得c,則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)A, B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(2)由M點(diǎn)坐標(biāo)可表示點(diǎn) P, N的坐標(biāo)，從而可表示出 MA MP PN PB的長，分/ NBP= 90°和/ BNP= 90°兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得 m的值；用m可表示出點(diǎn) M P, N的坐標(biāo)，由題意可知有 P為線段MN勺中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的 中點(diǎn)，可分別得到關(guān)于 m的方程，即可求得 m的值.【自主解答】解：(1) ./= 2x+c過點(diǎn)A(3, 0),與y軸交于點(diǎn)B, 3，0=2+c,解得 c=

3、2, .B(0, 2). 拋物線 y= 4x2+bx + c 經(jīng)過點(diǎn) A, B,3-12+3b+c = 0,c= 2,£=竺，解得:3'lc=2,拋物線的解析式為 y=-4x2+ 10x + 2.33(2)由(1)可知直線的解析式為 y = -2x+2,32M(m 0)為x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn) M且垂直于x軸的直線與直線 AB及拋物線分別父于點(diǎn) 巳N. P(m, -m+32) , N(m, n2+m+ 2) , . PM= 1m+ 2, AM= 3 m PN= ：R+m+ 2 ( 1m+ 2)= 4m 3333333. BPN和APM相彳以，且/ BPN= /APM ./BNR=

4、 /AMP90° 或/ NBP= /AMP90°當(dāng)/BNR=90° 時，則有 BNLMN.N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,. 一4后+10m|+ 2 = 2,解得 m= 0(舍去)或“2.5 , .M(2.5, 0);當(dāng)/NBR= 90°時，過點(diǎn) N作Ndy軸于點(diǎn)C,例1題解圖則/NBCF/BNG= 90° , NO m BC= 4吊 + 竺m+ 22= 4n2 + 10m 3333/NBP= 90° , ./ NBCF Z ABO 90 ./ABO= / BNCRtANCB- RtABOANCBOF OAm2：4 2103m+411m= 0(舍去

5、)或m= 丁.811- M(, 0);8綜上可知，當(dāng)以 B, P,11N為頂點(diǎn)的二角形與 APM相似時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2.5 , 0)或(二，0)；8由可知 Mg 0), P(m, gm1+ 2), N(m, - 4mf+130n 2),M P, N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，當(dāng)P為線段MN的中點(diǎn)時，則有 2( -mvl- 2) = m+ -mi-1- 2,解得mi= 3(二點(diǎn)重合，舍去)或m=己； 3332當(dāng)M為線段PN的中點(diǎn)時，則有一 2m+ 2+(4n2+10m+ 2)=0,解得m= 3(舍去)或m= 1; 333當(dāng)N為線段PM的中點(diǎn)時，則有一 2m+ 2=2(4m2+黑m+ 2),解得m= 3(

6、舍去)或m= -1. 33341 ,1綜上可知，當(dāng) M, P, N二點(diǎn)成為 共諧點(diǎn) 時，m的值為2或一1或一7針對訓(xùn)練01. (2015 河南)如圖，邊長為8的正方形OABC勺兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn) A,點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A, C間的一個動點(diǎn)(含端點(diǎn))，過點(diǎn)P作PH BC于點(diǎn)F,點(diǎn)D, E的坐標(biāo)分別為(0, 6), ( 4,0),連接 PD, PE, DE.(1)請直接寫出拋物線的解析式;(2)小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對于任意一點(diǎn)P,PD與PF的差為定值，請你判斷該猜想是否正確，并說明理由;(3)小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：

7、若將“使PDE勺面積為整數(shù)”的點(diǎn) P記作“好點(diǎn)”，則存在多個“好點(diǎn)”，且使4PDE的周長最小的點(diǎn)P也是一個“好點(diǎn)”.請直接寫出所有“好點(diǎn)”的個數(shù)，并求出 PDE 周長最小時“好點(diǎn)”的坐標(biāo).yI EQ 1第1題圖備用圖22. (2018 崇仁一中二模)如圖，若拋物線 Li的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B在拋物線Li上(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合)，我們把這樣的兩拋物線Li, L2稱為“伴隨拋物線”，可見一條拋物線的“伴隨拋物線”可以有多條.(1)拋物線Li： y = x2+4x3與拋物線L2是“伴隨拋物線”，且拋物線L2的頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,求拋物線L2的表達(dá)式；(2)若拋物線y = ai(x

8、m)2+n的任意一條“伴隨拋物線”的表達(dá)式為y = a2(x - h) 2+ k,請寫出ai與a2的關(guān)系式，并說明理由；(3)在圖中，已知拋物線 Li： y=m)c-2mx- 3m(m>0)與y軸相交于點(diǎn)C,它的一條“伴隨拋物線”為L2,拋物線L2與y軸相交于點(diǎn)D.若CD= 4m,求拋物線L2的對稱軸.3. (2018 鄭州模擬)如圖，已知點(diǎn) C(0, 3),拋物線的頂點(diǎn)為 A(2, 0),與y軸交于點(diǎn)B(0, 1),點(diǎn)P是拋 物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn) P作PMLx軸于點(diǎn)M.(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)F在拋物線的對稱軸上，且縱坐標(biāo)為1,連接PF,PCCF,求證：對于任意點(diǎn)P,PF與

9、PM的差為常數(shù).記(2)中的常數(shù)為a,若將“使 PCF面積為2a”的點(diǎn)P記作“巧點(diǎn)”，則存在多個“巧點(diǎn)”，且使 PCF 的周長最小的點(diǎn) P也是一個“巧點(diǎn)”，請直接寫出所有“巧點(diǎn)”的個數(shù)，并求出 PCF 的周長最小時“巧 點(diǎn)”的坐標(biāo).4. (2017-焦作一模)如圖，直線y，x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn) A和點(diǎn)B(0 , 1),拋物線y = gx2 + bx + c經(jīng)過點(diǎn)B,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4.(1)請直接寫出拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)D在拋物線上，DE/y軸交直線AB于點(diǎn)E,且四邊形DFE助矩形，設(shè)點(diǎn) D的橫坐標(biāo)為x(0 <x<4),矩形DFEG勺周長為l ,求l與x的函數(shù)關(guān)系式

10、以及l(fā)的最大值；將4AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到AQB,點(diǎn)A,Q B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A, O,B.若 A QB的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”，請直接寫出“落點(diǎn)”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)1800時點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).圖圖類型二線段、角度數(shù)量關(guān)系探究司n (2016 河南)如圖，直線 y= ：x+n交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C(0, 4),拋物線y = ；x2+bx+c 33經(jīng)過點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B(0, 2).點(diǎn)P為拋物線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn) P作x軸的垂線PD,過點(diǎn)B作BDLPD于點(diǎn)D,連接PB,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)4

11、BDP為等腰直角三角形時，求線段 PD的長； 如圖，將 BDP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到 BD P',且旋轉(zhuǎn)角/ PBP = /OAC當(dāng)點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P'落在坐標(biāo)軸上時，t#直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).圖圖例2題圖備用圖【分析】先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2)由4BDP為等腰直角三角形，判斷出BD= PD,建立m的方程計算出 m從而求出PD;分點(diǎn)P'落在x軸和y軸兩種情況計算即可.當(dāng)點(diǎn) P'落在x軸上時，過點(diǎn)D'彳D' Nl±x軸，垂足為N, 交BD于點(diǎn)M,先利用互余和旋轉(zhuǎn)角相等得出/ DBD = /ND P' =

12、 / PBP ,進(jìn)而表示出ND的長度，通過構(gòu)造方程求解；的思路同.【自主解答】解：(1) .點(diǎn) C(0, 4)在直線 y = -4x+n±,3 n= 4,y= - -x+ 4.34當(dāng) y=0 時，0= ,x+4, 3解得 x=3, . A(3, 0).2 2,拋物線y=.x+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,父y軸于點(diǎn)B(0 , 2), 36+3b+ c=0,F=_ 2,b=-4，解得 3c=- 2,拋物線的解析式為y=2x2-4x- 2.33(2)點(diǎn)p為拋物線上一個動點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m P(m, 2m24m- 2), D(m, 2), 33.BD= |m| ,PD= |2m2-4m- 2 + 2|

13、=|mf-4m|. 3333BDP為等腰直角三角形，且 PDL BD .BD= PD.當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上方時，PD= |m2-m. 33(i)若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則 m<0, BD= - m.1.編一gm= mx331人，解得1 = 0(舍去)，m>=2(舍去).(ii) 若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，則 m>0, BD= m. 2二 4 一 .3m 3m= m,解得3= 0(舍去)，mt=7.2 2 4當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下萬時，m>0, BD= m, PD= 3m +3m.2 2 41.3m + 3m= m,解得 5= 0(舍去)，ms=2.八，一7,1,一一 一，,7,1綜上所述，

14、m= 2或2.即當(dāng) BDP為等腰直角三角形時，PD的長為2或7 (3)P1(一乖，4*+4), P2(/5, -4V5 + 4), P3(25, 11).338 32提示：. / PBP = / OAC OA= 3, OG= 4, ，AC= 5,.sin / PBP = 4, cos/PBP = 3. 55當(dāng)點(diǎn)P'落在x軸上時，過點(diǎn)D'作D' Nl±x軸，垂足為點(diǎn) N,交 BD于點(diǎn) M /DBD = /ND P/PBP .如解圖,例2題解圖. ND MD = 2,口82 24、，4、八即式m m) 一 ( cm)= 2 ； 5 335mF鄧（舍去）或m 一乖;

15、如解圖,例2題解圖一 一. 3 2 2 4. ND + MD = 2,即 5( 3m3m)+4 一5" 2,miF5或 miF 乖(舍去), P(-南，4次+ 4P(木,3)當(dāng)點(diǎn)P'落在y軸上時，如解圖，過點(diǎn)D'彳D'Mix軸，交BD點(diǎn)M,過點(diǎn)P'彳P'Nl±y軸，交MD的延長線于點(diǎn)N,例2題解圖DBD = /ND P' = / PBP. , P' N= BM4 2 2 43即 5( 3m 3m) = gm,25 .一 25 11 F百，-p(5 32)-針對訓(xùn)練.一 2 31 . (2014 河南)如圖，拋物線 y=

16、x+bx+c與x軸交于點(diǎn) A(-1, 0), B(5 , 0)兩點(diǎn)，直線 y=-4x+3與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn) P作PFx軸于點(diǎn)F,交直線CD 于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；(2)若PE= 5EF,求m的值；(3)若點(diǎn)E'是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn) 巳使點(diǎn)E'落在y軸上？若存在，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2. (2018-洛陽一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx 2(a W0)與x軸交于A(1 , 0),B(3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D,

17、點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, 1),該拋物線與 BE交于另一點(diǎn)F,連接BC.(1)求該拋物線的解析式;(2) 一動點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿與 y軸平行的方向向上運(yùn)動，連接 OM BM設(shè)運(yùn)動時間為t秒(t >0),在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，/ OMB90° ?(3)在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P,使彳導(dǎo)/ PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21、3 . (2018 新野一模)已知拋物線y= ax+bx + 2經(jīng)過A(1, 0), B(2 , 0), C二點(diǎn).直線y= m桿萬交拋物線于A, Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上直線 AQ上方的一

18、個動點(diǎn)，作 PF，x軸，垂足為F,交AQ于點(diǎn)N.(1)求拋物線的解析式;(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，線段 PN= 2NF,求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖，線段 AC的垂直平分線交 x軸于點(diǎn)E,垂足為D,點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線DE上是否存在一點(diǎn)G,使CMG勺周長最小？若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.圖E圖4 .如圖，拋物線 y=ax2+bx + 3(a W0)與x軸交于點(diǎn) A(-1, 0), B(3 , 0),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn) M使彳MBC的面積與 OBC的面積相等，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說

19、明理由；(3)點(diǎn)D(2, m)在第一象限的拋物線上，連接BD.在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)巳滿足/ PBC/DBC如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.類型三特殊圖形判定問題例3 (2018 河南)如圖，拋物線y = ax2+6x +c交x軸于A, B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線y = x5經(jīng)過點(diǎn)B,C.(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)A的直線交直線 BC于點(diǎn)M.當(dāng)AML BC時，過拋物線上一動點(diǎn) P(不與點(diǎn)B, C重合)，作直線AM勺平行線交直線 BC于點(diǎn)Q.若以點(diǎn)A MP, Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；連接AC,當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于/ ACB的

20、2倍時，請直接寫出點(diǎn) M的坐標(biāo).例3題圖備用圖【分析】(1)利用一次函數(shù)解析式確定 C(0, 5), B(5, 0),然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；2(2)先解萬程x + 6x5=0得A(1 , 0),再判斷 OCB為等腰直角二角形得到/ OBC= Z OCB= 45 ,則 AMB為等腰直角三角形，所以AM= 2啦，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ= AM= 272, PQLBC作PDLx軸交直線BC于D,如解圖，利用/ PDQ= 45°得到PA/2PQ= 4.設(shè)P(m,m2+6m 5),則Dgm 5),討論：當(dāng) P點(diǎn)在直線 BC上方時，PD= - n2+6m- 5-(m- 5

21、)=4;當(dāng)P點(diǎn)在直線 BC下方日PD- m- 5-(-n2 + 6m- 5),然后分別解方程即可得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo);作ANLBC于N, NHLx軸于H,彳AC的垂直平分線交 BC于M,交AC于E,如解圖，利用等腰三角形的1性質(zhì)和二角形外角性質(zhì)得到/AMB=2/ACB再確定 N(3, 2), AC的解析式為y = 5x-5, E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5 2),利用兩直線垂直的問題可設(shè)直線一1,15EM的解析式為y= gx+b,把E(2, 2)代入求出b得到直線EM,1的解析式為y = - 5xy = x _ 5,12、 I,則解萬程組彳 112y= _ 5x 5，得M點(diǎn)的坐標(biāo)；在直線BC上作點(diǎn)M關(guān)于N點(diǎn)的

22、對稱點(diǎn)M,如解圖，利用對稱性得到/ AM 2C= /AMB= 2/ACB設(shè) M(x , x-5),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到3 =13式+ x62,然后求出x即可得到點(diǎn) M的坐標(biāo)，從而得到滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).【自主解答】解：(1)當(dāng) x=0 時，y = x5=5;當(dāng)y=x5=0時，x=5，B(5, 0) , C(0, 5).將B, C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y= ax2+ 6x+ c中，得25a+ 30+ c,解得中 1，c= 5,|c=- 5,，拋物線的解析式為 y = x2+ 6x 5.(2)解方程一x2 + 6x 5= 0得 xi= 1, x2= 5,則 A(1, 0),. B(5, 0) , C(

23、0, - 5),OCB為等腰直角三角形，/OBC= /OCB= 45° .AML BCAMB為等腰直角三角形, .AM=AM/ PQ以點(diǎn)A, M, P, Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形, .PQ= AM= 2但 PQL BC作PDLx軸交直線BC于D,如解圖，則/ PDQ= 45° , .PA 啦PQ= 4,設(shè) P(m, m2+6m- 5),則 D(m, m- 5).當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時，22PD= m + 6m 5 (m 5) = m + 5m= 4,解得 m=1, n2= 4.當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時;PD= m 5 ( m2 + 6m- 5) = m25m= 4, 解得

24、 m = 2, m2= -2 綜上所述， P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 4或5+2或$ 2.作ANL BC于N, NHLx軸于H,彳AC的垂直平分線交 BC于M,交AC于E,如解圖.M1A= MC, ，/ACM=/CAM, ./AM B= 2/ACB. ANB為等腰直角三角形,，A+ bh= N+ 2, N(3, 2),一一 一.一,.,15易得AC的解析式為y=5x5, E點(diǎn)坐標(biāo)為（/，2）,設(shè)直線EM的解析式為y = - -x + b, 51 5. 一 15 . 一 12把E（5，5）代入，得布+b=5，斛得b= -M， 22102513_15 3s/y = x-5'J'十m 1317.

25、 .直線EM的斛析式為y = - 5x 12,斛方程組1112 得, 17 ,則M（6，-5|y6作直線BC上作點(diǎn)M關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)M,如解圖，則/ AM2C= 2/ACB設(shè) M(x , x-5),13石十x3=丁，23,x=-6''- 237、"，6)圖例3題解圖針對訓(xùn)練41. （2013 河南）如圖，拋物線y=x2 +一 1bx+c與直線y = 2x + 2交于C, D兩點(diǎn)，其中點(diǎn) C在y軸上，點(diǎn) D的坐標(biāo)為(3, 7),點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn) P作PUx軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時，以O(shè),

26、C,巳F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請說明理由;若存在點(diǎn)巳使Z PCF= 45° ,請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).第1題圖y備用圖y軸于的內(nèi)部求2. (2017 河南名校模擬)如圖，二次函數(shù)y = x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(1, 0)和B(3 , 0)兩點(diǎn)，且交點(diǎn)C, M為拋物線的頂點(diǎn).(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若將該二次函數(shù)圖象向上平移m(m> 0)個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在BOC (不包含邊界)，求m的取值范圍;(3)點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，PQ/ BC交x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)以點(diǎn)B, C, P, Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,點(diǎn)P的坐標(biāo).a jF,交直

27、線CD于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.其頂點(diǎn)為(1 , 4),P點(diǎn)作PF，x軸于點(diǎn)3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=ax2+bx + c與x軸交于A(1, 0)、B兩點(diǎn),直線y=x 2與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動點(diǎn)，過求拋物線的解析式;(2)若PE= 3EF,求m的值;連接PC,是否存在點(diǎn)巳使4PCE是以PE為底邊的等腰三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在,請說明理由.參考答案類型一針對訓(xùn)練1 .解：(1)二邊長為8的正方形OABC勺兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A, .C(0, 8), A(-8, 0),設(shè)拋物線的解析式為：y = ax2

28、+c,則尸解得：卜8, |64a+c=0,故拋物線的解析式為：y = -1x2+8. 8(2)正確，理由：設(shè) P(a, 1a2+8),則 F(a, 8), 8. D(0, 6),1- PD= a2+ (8a22) 2 =勺(8a2+2) 2 =8a2+ 2.1 2 c、 1 2PF= 8( - -a +8) = -a , 88 .PD- PF=2;(3)在點(diǎn)P運(yùn)動時，DE大小不變，則PE與PD的和最小時， PDE的周長最小, . PD- PF=2,PD= PF+ 2,.PE+ PD= PE+ PF+ 2,第1題解圖，如解圖，當(dāng) P、E、F三點(diǎn)共線時，PE+ PF最小，此時點(diǎn)P, E的橫坐標(biāo)都為

29、一4,將 x = 4 代入 y=x2+ 8,得 y = 6, 8 .P(-4, 6),此時 PDE的周長最小，且 PDE的面積為12,點(diǎn)P恰為“好點(diǎn),.PDE的周長最小時“好點(diǎn)”的坐標(biāo)為(一4, 6)由(2)得：P(a, -1a2+8),8 點(diǎn)D E的坐標(biāo)分別為(0, 6), (4, 0),第1題解圖如解圖，當(dāng)一4<a<。時,Sapdee= Sa peo+ Sapoid Sa doe=2*4x( 一 8a + 8) +X6X( 一 a) 一5X4x61 212=-a -3a+4=-(a + b) +13, 44 4V Spde 12.當(dāng) a=0 時)Sapde= 4;第1題解圖如解

30、圖，過點(diǎn) P作PNLx軸于點(diǎn)N, 當(dāng)一8vav 4 時)= (-1a2 + 8 + 6)x(-a)x 8Sapde= S 梯形 PNOD SPNE SaDOE11 ,.、 ，1 2 11 2 八.1,、2 一5一 2* 4X 6 ( a 4)x( - 8a +8)x =- 4a - 3a+ 4= 4(a + b) +13, 12V SapdeW 13;當(dāng) a= 8 時，Sapde= 12, .PDE的面積可以等于 4到13的所有整數(shù)，在面積為12時，a的值有兩個，面積為整數(shù)時好點(diǎn)有 11個，經(jīng)過驗(yàn)證周長最小的好點(diǎn)包含這11個之內(nèi)，“好點(diǎn)”共有 11個.綜上所述，共有11個，“好點(diǎn)”，P(-4,

31、 6).2.解：(1)由y= x2+4x3可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 1),將 x=4 代入 y= x2+4x 3,得 y= 3,.B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4 , - 3),設(shè)拋物線L2的解析式為y=a(x 4)23.將 A(2, 1)代入，得 1 = a(24)23,解得 a= 1,拋物線L2的表達(dá)式為y=(x4)23;(2)a 1 = a2,理由如下：,拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B在拋物線L1上， .、 2 .n= a2 (mi h) + k, .可列方程組=ai (h52+n, 整理，得(a i+a2)(m h) 2= 0.“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)不重合， mm h, . a i

32、= a2.(3)拋物線Li： y=mX22mx 3m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4m),設(shè)拋物線 L2的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 h,則其縱坐標(biāo)為,2mh 2mh- 3m,22拋物線 L2 的表達(dá)式為 y= m(x h) +mh 2mh- 3mi,化簡，得 y=mX+2mhx 2mh- 3m,.點(diǎn) D的坐標(biāo)為(0, 2mh- 3m),又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0 , 3m),|( - 2mh 3m)( 3m)| = 4ml,解得 h=±2,拋物線L2的對稱軸為直線x=±2.3. (1)解：設(shè)拋物線的解析式為y = a(x2)2.1將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得 4a=1,解得a =4.，拋物線的解析式為 y =

33、-(x 2)2, IP y = -x2 x+ 1. 4412(2)證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, (m 2),1 PMk 4(m-2)2, M(m 0).依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知PF=y (m- 2) 2+ ' (m-2) 2-1 2=q (m- 2) 2 + 看(m- 2) 4 2(m- 2) 2+1 =器(m- 2) 4+； ( m- 2) 2+1 = -< ( m- 2) 2+12 ="(m 2)2+ 1,4'''2 .PF- PM= 1.，對于任意點(diǎn) P, PF與PM的差為常數(shù).(3)解：設(shè)直線CF的解析式為y=kx+3,將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入，得

34、 2k+3=1,解得k=1,直線CF的解析式為y=-x+3.由兩點(diǎn)間的距離公式可知CF= 2 2. a= 1, .-2a= 2.1. 一設(shè)在4PCF中，邊CF的上的局線長為x,則2*2&=2,解得x=p如解圖，過點(diǎn) C作CGL CF,取CG= p.則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（ 1, 2）.fyO 、第3題解圖過點(diǎn)G作GH/ FG設(shè)直線 GH的解析式為y=-x+b,將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入，得1 + b=2,解得b=1, 直線GH的解析式為y=-x+1,令一x+1 =；（x 2）2,解得 x=0, .PCF的一個巧點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 1）.顯然，直線 GH CF的另一側(cè)時，直線 GHI拋物線有兩個交點(diǎn).F,

35、C為定點(diǎn)，二.CF的長度不變， 當(dāng)Pa PF最小時，4PCF的周長最小. . PF- PMk 1, .PO PF= PC+ P 1 , 當(dāng)C P、M在一條直線上時， PCF的周長最小.，此時 P（0, 1）.綜上所述， PCF的巧點(diǎn)有3個，4PCF的周長最小時，“巧點(diǎn)”的坐標(biāo)為（0, 1）.3 一，.4 .解：（1） ,直線 l : y = x+m經(jīng)過點(diǎn) B（0 , 1）,m= 1,，直線l的解析式為y=?x1.4;直線l : y = 1x 1經(jīng)過點(diǎn)C,且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,43 ,一.y= -X 4- 1 = 2.41 2，解得b5、c = 一 1.拋物線 y=2x+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) C(4,

36、 2)和點(diǎn) B(0, 1),1X42+4b+c= 22c= 11 9 5T；.拋物線的解析式為y=2x2-4x(2)令 y=0,則 3x1 = 0,解得 x = 4, 43.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4, 0), 3-4OA=5.3在 RtOAB中，OB= 1 ,.AB= oA+oB=(3 2+12=3.DE/y 軸, ./ABO= /DEFOB 3_ 在矩形 DFEG, EF= DEcos/DE巳 DE-麗=5DE DF= DE- sin / DEF= DE.OA 4AB= 5DE,14. . l = 2(DF+ EF) = 2( -+ -)DE= DE.5 55點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0 D(t , 11t

37、2-5t-1),E(t , |t-1), DE=(4t-1)-(2t T) =- 2+ 2t ,.14 .1 2 7 2 28 .l=WX ( 一t +2t) =- 5t +3,當(dāng)t =2時，1有最大值g.(3) “落點(diǎn)”的個數(shù)為 4,如解圖，解圖解圖，解圖所示.圖圖圖t3'圖第4題解圖4如解圖，設(shè)點(diǎn) Ai的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為mi+-, 3-m2 -mi- 1 = -(m+ 斗2 -(m+-) 1,242343'-7解得m=,4如解圖，設(shè)點(diǎn) Ai的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為mT+-, Bi的縱坐標(biāo)比點(diǎn) Ai的縱坐標(biāo)大1, 3. 1 2 5.1, . 4、2 5. 4

38、4. .m 4ml- 1 + 1 = 2(m+3) -4(m + 3) -1,斛得 nm= 3,，旋轉(zhuǎn)180°時點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為或1.12 3類型二針對訓(xùn)練得:1.解：(1)將點(diǎn)A, B的坐標(biāo)代入拋物線解析式,1-b+c=0,-25+5b+c = 0,解得b=4,c= 5,拋物線的解析式為 y= x2+ 4x + 5,(2)二點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為mx0)， . P(m, mi+4mi+ 5) , E(m, 4mi+ 3), F(m,23 、，2. 19 . PE= |y p yE| = |( m + 4mi+ 5) ( 4m 3)| = |m + -mi+ 2 ,_33EF=lyE-件1=1

39、(-九3)-。1 = 1 -產(chǎn)3|,2 19315由題思，得 PE= 5EF,即 | m + -mi+ 2| = 5| - 4mi+ 3| = | mi+ 15|.,2 1915-2右一m + Tnn+ 2 = - -mi+ 15,整理，得 2m17nn+ 26=0,. 一 .13解得nn= 2或nn=彳;219c ,15m + mi+ 2 = 一 ( "4m+ 15),整理，得 m2mi- 17=0,解得m=上普或m=上269 131- 69由題意，得m的取值范圍為-1vm<5,故m=萬，m= 一尸這兩個解不符合題意,- mi= 2 或 mi=(3)假設(shè)存在.作出示意圖如解圖

40、：點(diǎn) E、E'關(guān)于直線PC對稱， / 1 = /2, CE= CE , PE= PE .PE平行于 y 軸，1 = /3,.Z2=Z3, .1. PE= CE, .PE= CE= PE' =CE ,即四邊形 PECE是菱形.當(dāng)四邊形PECE是菱形存在時，3由直線CD的解析式y(tǒng)=-x+3,可得OD= 4, OC= 3,由勾股定理，得 CD= 5,過點(diǎn)E作EM/F/x軸，交y軸于點(diǎn)M,易彳# CEIVh ACD(O.ME CE |m|OdTCD 即彳CE5y,斛仔 CE= 4|m| ,一 5 一 一 219.PE= CE= 4|m| ,又由(2)可知：PE= | m + m+ 2|

41、 ,2 , 19 ,5, -I - m + mi+ 2| =4|m|.若一m2+Mm+ 2 = 4mi 整理，得 2m27m-4=0,解得 mi= 4 或 m=若一m2+Mm+ 2= 4m,整理，得 m2 6m 2=0,解得 田=3+幣1, m2=3一51.由題意，得 m的取值范圍為1vm<5,故m= 3 + /這個解舍去，當(dāng)四邊形PECE是菱形這一條件不存在時，此時P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0, E, C, E'三點(diǎn)重合于y軸上，也符合題意，.P(0, 5).1 11綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P,可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, 5)或(2或1)或(4, 5)或(35，2>/ii-3).第1題

42、解圖2.解：二.拋物線 y=ax2+bx 2(a W0)與 x 軸交于 A(1 , 0), B(3 , 0)兩點(diǎn),2a+b-2=0,”一3,i解得,8 b =b 3'9a+ 3b2 = 0,，拋物線的解析式為y=-|x2+8x-2；33(2)如解圖，由(1)知 y=2x2+8x 2 = 2(x 2)2 + ：; 3333,.,D為拋物線的頂點(diǎn), .D(2, 3).3 一動點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿平行與 y軸平行的方向向上運(yùn)動,“2 設(shè) M(2, m)(m>-),3 .OM=n2 + 4, BM2=n2+1, OB= 9. . ZOMB900 , .OM+ bM= o

43、B,.1)12+4 + 吊+ 1= 9, 解得m=近或 m=心(舍去)， .M(2,啦)，.MD=3.圖圖第2題解圖 存在點(diǎn)P,使彳導(dǎo)/ PBF被BA平分，如解圖，/ PBOZ E BQ EQ, 1),，在y軸上取一點(diǎn) N(0, 1). B(3, 0),1_，直線BN的解析式為y=-x+1(D.3點(diǎn)P在拋物線y=-2x1y=o + 8x 2上,33聯(lián)立，得1 1 一y =于 + 1,2 2 8 門I y=- ox +?2,3 3x = 3或 ,ly = 03 ，P(2,12)-3 x = 23.解：(1) .拋物線 y=ax2+bx+2 經(jīng)過 A(-1, 0), B(2 , 0),，將點(diǎn)A和點(diǎn)

44、B的坐標(biāo)代入，得fa- b+2=0, /口 a=- 1,解得4a+2b+2=0,b=1,，拋物線的解析式為y=-x2+x+2.1、(2)直線y = mx+ 2交拋物線與A,1Q兩點(diǎn)，把A(1, 0)代入解析式，得 m= 2,11，直線AQ的解析式為y = 2x + 2.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n,則P(n,27-11n +n+2) , N(n, 2n+2)， F(n , 0),2. J 12 1311 . PNh n + n+2 (2n + 2) = n+2n+2, NF= 2n + -.2 13111. PNh 2NF, . 一 n + 2n + 2 = 2X ( 2n+2),解得 n=1 或2.1

45、解得3 lb=2當(dāng)n=- 1時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意舍去.一 _，1 9. 點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2，4).(3) - y=- x?+x+2, =一 (x、/+彳, 1 m(2，4) .如解圖所示，連接 AM交直線DE與嵐G連接CG CMlt匕時，4CMG的周長最小.第3題解圖1 9設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為 y=kx + b,且過A(1, 0), M£, 4), c3k+b=0,k = 2，33 直線am的函數(shù)解析式為y = 2x+3. D為AC的中點(diǎn)，1 D(-2, 1).設(shè)直線AC的解析式為y = kx + 2,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得一 k+2=0,解得k=2, 直線AC的解析式為y

46、 = 2x+2. 1 1. 一 3設(shè)直線DE的解析式為y= 2x+c,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，得+ c= 1,解得c = ,13直線DE的解析式為y=-2x+4.將 y= ；x+3與 y=3x+3聯(lián)立，解得 x = -3, y=15, 2422816 在直線 DE上存在一點(diǎn) G 使4CMG勺周長最小，此時 G(-|, 15).8 164.解：(1) .拋物線 y=ax2+bx + 3(a W0)與 x 軸交于點(diǎn) A( 1, 0), B(3, 0),a b + 3 = 0,9a+3b+3 = 0,a= - 1, b=2,，拋物線的表達(dá)式為y= x+2x + 3;(2)存在.,拋物線的表達(dá)式為y= x2

47、+2x + 3, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0 , 3), C(0, 3), B(3, 0), ,直線BC的解析式為y=-x+3,過點(diǎn)O與BC平行的直線y = - x,與拋物線的交點(diǎn)即為M解方程組X；, C . C |y= - x + 2x+ 3,3+ 21 x=2-,2可得y =y =3 十年(y ,i),M(孑第4題解圖存在.如解圖，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)G. 點(diǎn)D(2, m)在第一象限的拋物線上，.當(dāng) x=2 時，m= - 22+2X2+ 3= 3, 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2 , 3),把 x=0 代入 y= x2+ 2x + 3,得 y = 3, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0 , 3), .CD/x 軸，CD= 2, 點(diǎn)

48、B(3, 0), .OB= OC= 3, /OB及 /OCB= 45/ DCB= / OB及 / OCB= 45又./PBG= /DBC BC= BC, .CGB2 CDB(ASA) .CG= CD= 2.OG= OC- CG= 1,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0 , 1),設(shè)直線BP的解析式為y = kx+1,將 B(3 , 0)代入，得 3k+ 1 = 0,解得k=一：,3直線BP的解析式為y=-1x+1,3令-1x+ 1 = - x2+2x + 3, 3一 2 一斛得 X1= X2= 3,3點(diǎn)P是拋物線對稱軸 x=?= 1左側(cè)的一點(diǎn)，即XV 1,2a2x=- 32 .把x=- 3代入拋物線 y=- x

49、 + 2x+ 3中，-11解得y=-9"， 9 2 11 一一，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, §)時，滿足/ PBO /DBC.類型三針對訓(xùn)練11 .解：(1)在直線解析式y(tǒng)=x+2中，令x=0,得y=2,0(0, 2).點(diǎn) 0(0, 2), D(3, 7)在拋物線 y= x2+bx + c 上，c= 2,79 + 3b + c = 2?b=7解得b 2,C=2,，拋物線的解析式為 y=-x2+7x+2.圖圖第1題解圖(2) PF/ OC且以 O, C, P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，PF= OC= 2,1 一，、，將直線y=2x + 2沿y軸上、下平移2個單位之后得到的直線

50、，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)即為所求,由解圖可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個，一八、11將直線y=2x + 2沿y軸向上平移 2個單位，得到直線 y = 2x+4,1 一y = 2x + 4，聯(lián)立解得x1=1, x2=2;I y = -x2+-x+2,211將直線y=2x + 2沿y軸向下平行移2個單位，得到直線 y = 2x,1y = 2x,聯(lián)立y = - x2+ -x+ 2, 2-3+173-17 一 人,解得x3=一2, x4=-2(不舍題意，舍去)，當(dāng)m的值為1或2或3十弁時,以O(shè), C, P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.存在.2 7_1理由：設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 m 則P(m, - m + 2m+ 2) , F(m, -m 2)如解圖所示，過點(diǎn)