1、高等數學1 教案編號:課時安排：2 學時教學課型：理論課日實驗課口 習題課 其它口題目（教學章、節或主題）： § 1.1 映射與函數教學目的要求（分掌握、熟悉、了解三個層次）：1 .理解函數的概念，掌握函數的表示法。2 . 了解函數的有界性、單調性、奇偶性和周期性。3 .理解復合函數、反函數的概念。4 .熟練掌握基本初等函數的性質及其圖形。5 .會建立簡單應用問題中的函數關系式。教學重點、難點：重點：函數的概念，基本初等函數和初等函數的概念，復合函數的概念；難點：函數的概念及性質教學方式、手段、媒介：由于本次課是本章的基礎課，概念性東西較多，同時部分也是以前高中就學過的知識，所以1、

2、 本次課以ppt演示為主，重要的地方輔以板書注解2、 課堂提問，活躍氣氛，增加同學的上課積極性3、 理論知識講解結合實例，讓同學能更好的掌握知識教學過程：（含復習上節內容、引入新課、中間組織教學以及如何啟發思維等）一集合1定義具有某種特定性質的事物的總體；組成這個集合的事物稱為該集合的元素，元素a屬于集 合A,記作aA,元素a不屬于集合A, a"2集合的表示法：（提問交流）3集合間的關系：（提問交流）4常見的數集N-自然數集；Z-整數集；Q-有理數集；R-實數集它們間關系：N Z, Z Q, Q R.5例子2A=1,2, C=xx 3x+2=0,貝ljA=C不含任何元素的集合稱為空集

3、，記作。例如,x xW R,x2 +1 =0 =0規定空集為任何集合的子集.6運算(提問交流)5)其運算律(1) A B= B A A.B =B.A(2) (AjB ) 2c =Aj(B cC) , (A cB尸 A(B cC)(3) (AjB ) c C =(Ac C ) u(B c C)(A - B ) - C =(A - C ) (B - C)(4) (A - B)c = AC - BC,(A - B)c = Ac 一 Bc注意A與B的直積A>B u (x,y) I x A且y三B例如：R W=(x,y) IxWR且 yWR表示xoy面上全體點的集合，R父R常記為R27鄰域：設a與

4、b是兩個實數且6 >0 ,稱集合x|a -6 <x<a + 6為點a的6鄰域。點a叫 做這鄰域的中心，6叫做這鄰域的半徑。記作U§(a) =x| a-6Mx <a+6點 a的去心 6 鄰域記做 U0(a) , Ud(a)=x0 <|x-a<6。注意：鄰域總是開集。二、映射1 .映射的概念定義設X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法 則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射，記作f : X，Y,其中y稱為元素x(在映射f下)的像，并記作f(X),即y=f(x),而元素X稱為元素y(在映射f下)的一個

5、原像；集合X稱為映射f的定義域,記作Df,即 Df=X;X中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f的值域，記為Rf,或f(X),即 Rf=f (X) =f (x)| x X).注意：(1) 三個要素：集合X,即定義域Df=X;集合Y,即值域的范圍：RfUY;對應法則f ,使對每個xwX,有唯一確定的y=f(x)與之對應.(2) 對每個xwX,元素x的像y是唯一的；而對每個ywRf,元素y的原像不一定是 唯一的；映射f的值域Rf是Y的一個子集，即Rf cY,不一定Rf=Y .例1 設f :叫R對每個xR f(x)=x2.例 2 Xg(x, y)| x2+y2=l, Y4x, 0)| x|<1

6、), f : X t Y,對每個(x, y)wX 有 唯一確定的(x, 0)正丫與之對應.例 3 f ： _1；T 1, 1, 對每個 xw 之芻，f(x)=sin x .2 22 2滿射、單射和雙射：提問：上述三例各是什么映射？2 .逆映射與復合映射逆映射：設f是X到Y的單射，則由定義，對每個yRf ,有唯一的x運X 適合f(x)方，于是，我們可定義一個從Rf到X的新映射g,即g : Rf >X,對每個ywRf,規定g(y)=x,這x滿足f(x)=y.這個映射g稱為f的逆映射，記作f,其定義域D - =Rf , 值域R1=X .按上述定義，只有單射才存在逆映射.上述三例中哪個映射存在逆

7、映射？復合映射：設有兩個映射g : X，Y1,f : Y2，Z,其中Y1CY2.則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應法則，它將每個xWX映射成 fg(x) -Z .顯然，這個對應法則確定了一個從 X到Z的映射，這個映射稱為映射g和f構成的復合映射，記作f o g,即f o g: X，Z,( f o g)( x) =fg(x),x X .討論：映射g和f構成復合映射的條件是什么？例 4 設有映射 g : Z-1,1, 對每個 xwR g(x)=sin x,映射 f : 1, 1t0, 1,對每個u可-1,1, f(u)=v'h ,則映射g和f構成復映射f o g:X0, 1, 對 每

8、個xwR有(f g)(x) =fg(x) =f (sinx) = 1-sinx0=0x=0. -1x：0稱為符號函數.其定義域為DK-00,")，值域為Rf=-1,0, 1.例 設x為任上實數.不超過x的最大整數稱為x的整數部分，記作x .函數y = x 稱為取整函數.其定義域為 X*, f 值域為Rf =Z.x =|cosx|.三、函數1定義：設非空數集DuR,則稱映射f: Dt R為定義在D上的函數，通常簡記為 y = f (x) , xw D，其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df,即Df = D注意:(1)記號f和f(x)的含義是有區別(2)函數的兩要素：例：

9、求函數y=L-d乒二的定義域.x介紹單值函數與多值函數的概念。表示函數的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法(公式法)函數的例子:例.函數yx|= x xx -0x <0稱為絕對值函數.其定義域為 4(3"），值域為Rf =0, f.例.函數y =sgnx申，“2"， n=3, -1=-1, -3. 5 =4.分段函數：在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數稱為分段函數.例。函數 y = 324 0yl.1 +x x >1這是一個分段函數，其定義域為 d0, 1 50,收)=0, g).當 0女W1 時，y=2“'X；當 x>1

10、 時，y=1+x.例如 f(1)=2j，=v2； f(1) =2<T=2; f(3) =1+3=4.2函數的幾種特性1)有界性：若f(x)在I上有定義，3M >0 , Vxw I有f(x) WM成立則稱函數f(x)在I上有界， 否則稱無界。2)單調性設函數f(x)在區間I上有定義，如果對于區間I上任意兩點x1<x2,恒有f (x1) < f (x2)則稱函數f(x)在區間I上是單調增加的；包有f (x1) A f (x2)則稱函數f(x)在區間I上 是單調減少的。3)奇偶性設D關于原點對稱，對于VxW D ,有f (x) = f (x),稱f(x)為偶函數。設D關于原點

11、對稱，對于VxWD,有f(-x) = -f (x),稱f(x)為奇函數。4)周期性設函數f(x)的定義域為Df(x),如果存在一個不為0的常數T ,對任意的xWD均有F(x+T) =f(x)則稱f (x)為周期函數，T為f(x)的周期。(通常說周期函數的周期是 指其最小正周期)3 .反函數與復合函數反函數:設函數f:DT f(D)是單射，則它存在逆映射f：f(D)T D,稱此映射f為函數f的反函數。一般地，y=f(x), xwD的反函數記成y=f(x), xwf(D).討論：什么樣的函數必存在反函數？相對于反函數y(x)來說，原來的函數y=f(x)稱為直接函數.把函數y=f(x)和1它的反函數

12、.y=f (x)的圖形圓在同一坐標平面上，這兩個圖形關于直線y=x是對稱的.(原因是什么？)復合函數：設函數y = f (u)的定義域為Di ,函數u = g(x)在D上有定義g(D)a D1,則由下式 確定的函數y = f幻(x) I xw D稱為由函數u =g(x)和函數y = f(u)構成的復合函數，它的定義域為 D,變量u稱為中間變量。函數 g與函數f構成的復合函數通常記為 f °g,即(f °g) (x) = f b (x) 1 討論兩個函數能構成復合函數的條件?例 如,y=f(u) =arcsinu, 的定 義域為一1, 1,u=g(x)=2jl-x2 在dn-

13、i,-q“巧3,1上有定義，且g(D1-1, 1, 則g與f可構成復合函數y =arcsin2 1 -x2 , x D提問：函數ywrcsinu和函數u=2+x2能否構成復合函數？為什么?4 .函數的運算和(差)f ±g ： ( f 土g)( x)=f (x)%(x), xD(f g)( x) =f(x) g(x), x D(g)(xfx Dx|g(x)=0.上的偶函數g(x)及奇函例11設函數f(x)的定義域為(-1, l),證明必'存在(-1, l) 數h(x),使得f(x)=g(x) h(x).分析 如果 f(x) p(x) +h(x),則 f( -x) =g(x) -h(x),于是1 .1 .g(x) = f (x) f (-x) , h(x) = f (x) - f (-x).2 25.初等函數基本初等函數：幕函數：yB» （ NwR是常數）；指數函數：y=ax（a>0且a*1）;對數函數：y=log ax （ a>0且a.1,特別當a=e時，記為y=ln x）；三角函數：y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x； 反三角函數：y=arcs