1、“由惑到悟”的數學課堂教學模式的構建與應用謝全苗（浙江省上虞中學，浙江紹興312300）摘要：新課程理念下的數學課堂教學，迫切需要一種“既有理念又有模式”的教學范式.由“過河式”模型實現的“由惑到悟”的數學課堂教學是探索數學教學中學生認識的起源、發生、形成和發展的規律，符合人的認識規律的數學課堂教學的模式，它讓“三維目標”這一新課程的亮點正真成為既能提高成績，又能培養創新意識的“生長點”，并使我國基礎教學中許多好傳統與新理念能相輔相成、和諧統一.關鍵詞：課堂教學；由惑到悟；過河式模型；最近發展區；三維目標；設計與達成中圖分類號：G424.2文獻標識碼：A文章編號：1004電894（2009）0

2、3K087七4一個好教育既要有利于學生個人的發展，又要有利于國家的發展.個人希望的是求好職，國家急需的是創新.新課標提出的“三維目標”就是在除了與求職相關的傳統的知識能力的考察外，還要考察與創新有關的過程與方法目標、情感態度與價值觀目標.發展學生的創新意識、培養學生的創新思維和創造能力，是新一輪基礎教育數學課程的核心和評價觀的精髓所在.但就浙江省實施新課程兩年來的實踐看，教師對“三維目標”的設計和達成存在困難，一線教師善于把握“知識與技能目標”，不易把握“過程與方法目標”，更難于把握“情感態度與價值觀目標”.結果發現：不是條目越來越多，幾乎完成不了，就是如果什么都不能缺的話，那么課堂上就根本沒

3、法上課.這是因為一線教師是實踐者，難就難在他要考慮的是如何將每課的“三維目標”轉化成具體的、可操作的課堂教學目標，并通過教與學的過程得以有效地達成和自然地生成.黃曉學先生1論述了思維生惑點的教學價值，并把“從惑到識”2分為“惑、學、知、識”，得出“生惑、積學、致知、增識”的4個環節學習理論，并將其提升為數學教學原理，確給人以啟發，但短短的45分鐘的課堂教學難以分為4個環節，其目標也不僅僅是“增識”，新課程提出的“三維目標”是要讓學生在“過程與方法”中掌握“知識技能”、領悟數學本質，體驗“情感、態度與價值觀”.我們認為，新課程背景下的數學課堂教學的基本模式應是“由惑到悟”，構建“由惑到悟”數學課

4、堂教學是實施新課程理念、實現新課程目標的需要.1構建“由惑到悟”數學課堂教學模式的意義為什么要提出“由惑到悟”數學課堂教學模式？這既是由數學知識的建構性結累和實踐性運用所決定的，又是由數學教學中學生認識的起源、發生、形成和發展的規律所決定的.從廣義的認識論的角度來看，人的認識過程具有兩次飛躍：從無知到有知的飛躍和從知識到智慧的飛躍，新課程的核心在第二次飛躍.這是因為知識在本質上是一種結果，這種結果可能是經驗的結果，也可能是思考的結果，“單純追求知識的教育是一種結果教育，這種教育要走在時代前面是不可能的”，而“智慧并不表現在經驗的結果上，也不表現在思考的結果上，而是表現在經驗的過程，表現在思考的

5、過程中”3.因此，要實現兩個飛躍，特別是第二個飛躍，進而培養學生的創新能力，就必須注重過程、啟發思考、總結經驗、教會反思.但以往已有的教學環節過程理論對于解釋和指導當下數學教學中學生認識的起源、發生、形成和發展既顯得不夠鮮活，又不能反映與時俱進的精神，更沒有突出實現認識過程中的兩個飛躍的特征與程序，這樣的理論只適用于專家做研究和作報告，對一線教師像水中月、鏡中花，看得見、摸不著，更用不上.我們需要一種“既有理念又有模式”的教學范式，否則，新課改對于一線的絕大多數教師來講也許只是“換新書”，是“用老方法去教新教材”4.因此，探索數學教學中學生認識的起源、發生、形成和發展的規律，構建符合人的認識規

6、律的“由惑到悟”數學課堂教學的模式具有現實的指導意義，讓“三維目標”這一新課程的亮點真正成為既能提高成績，又能培養創新意識的“生長點”，并使我國基礎教學中許多好傳統與新理念能相輔相成、和諧統一.2數學課堂教學中的“由惑到悟”的詮釋惑與悟既是古老與常見的精神現象，又都具有多樣性，如若一分為二，可分為認知領域的惑與悟（包括知覺、理智方面的）和價值領域的惑與悟（包括情感、道德、信仰方面的），如孔子的“四十而不惑”是價值領域中的惑，而韓愈的“人非生而知之者，孰能無惑，惑而不從師，其為惑也，終不解也”，“師者，所以傳道授業解惑也”是以認知領域中的惑為主，但又二者兼而有之，因為教師要教書育人，要培養學生的

7、創新意識，傳統的“解惑”側重在認知領域，而新課標提出的“三維目標”：知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀，則是強調了以往被忽視的“過程與方法、收稿日期：2008T2N6基金項目：2008年浙江省教研規劃課題一一設計和達成三維教學目標的“過河式”模型的理論建構與應用研究（立項號212）作者簡介：謝全苗（1956）,男，浙江上虞人，正高級，主要從事數學教材、教法、命題等方面的研究.情感態度與價值觀”.因此，新課程理念教學中的惑與悟應是二者兼而有之，“解惑”、“達悟”則應二者并舉，惑是認知主體在其成長過程中，因與自然界和他人的相互作用，所表現出來的認知結構中的已有的闡釋系統紊亂而新的闡釋系統尚未

8、建立的一種過渡狀態的心理活動現象1.而“悟”，在說文中曰“覺也”.“悟性”，高級漢語大詞典指“對事物的理解和分析的能力”；英文savvy,本意之一為“機智”.這是一般而言的“悟性”.我們所理解的教學中的“悟性”，不只是一種天賦，也非僅指“天資聰穎”一類；而是一個人學識、智慧、感覺、實踐的綜合體.悟性并不是虛無縹緲的東西，它是一種善于對事物進行由表及里、由實及虛的融會貫通的思考和認識的能力，也是不斷地對自身實踐進行總結和升華的結果，是自己的思維由具體到抽象的過程.說透了，這是一個人綜合素質特別是創新思維的反映.悟性需要長期的實踐和積累，只有從實踐中去感悟，從積累中去融通.因而，悟性也是我們通過學

9、習、實踐來對事物規律的認知和感悟的過程.如果說惑境是學生認知的發源地，那么，悟境則是學生對所學知識本質的領悟以及自如運用基礎上的創新地.盡管數學教學中學生的認知是一個復雜的過程，難以線性表示出，但從教育的視角看，明確“由惑到悟”的幾個關鍵環節和過程階段，對促進數學教育實現“兩個飛躍”，培養學生的創新意識是可行和必要的.我們知道，在數學教學中學生的認知始終是在教師的引導下發現新的數學關系或對已知數學關系的新理解與感悟的過程，在這一過程中學生對教師呈現的暗示做出的心理反應主要有疑惑、問題、理解與感悟.但疑與惑是有區別的，“疑是對已有的闡釋系統的動搖，如果外界新的刺激得不到強化，得不到證實，被證明是

10、偶發的，則已有的闡釋系統得到強化，疑逐漸弱化直至消退；如果新的刺激不斷得到強化，不斷而來的新證據充分表明其產生的必然性和合理性，那么，疑就得到強化，繼而轉變為惑.惑是疑的轉化和發展，是對已有闡釋系統的革命和調整”5,是疑和問題的中介和紐帶.惑能激發認知活動，使主體認識到問題的存在，進而提出（或發現）問題.從喚起學生認知的興趣看，惑境是學生認知的發源地.困惑產生問題，問題來自困惑，學生只有有了疑惑，才會積極去搜尋和處理相關的知識和問題，從中才讓教師找到學生新知識的生長點.正是因為這樣，才有新課程下的新教材，無論是必修還是選修，是每冊、每單元，還是每章、每節甚至是每個課題前都有用從學生的思維生惑點

11、出發設計、提出的核心問題來提出學習任務、激發探究興趣.據我們統計，在人教版的數學2中，除了含有以問題形式出現的“觀察”出現了7次，“思考”出現了39次，“探究”出現了25次，“閱讀與思考”出現了5次，“探究與發現”出現了2次，“實習作業”出現1次外，還有一類以“？”型問題出現的有15次，其中P118上連續3個.新教材是通過這些問題來誘惑與解惑，在數學教學中教師應鼓勵學生把疑惑看成是自己成長與進步的動力，教師不但要注重“解惑”的傳統教學模式，更要注重“生惑”、“達悟”這一創新人才培養的關鍵.如果我們能開發和用好這些“問題”，不但可以有效地調節數學課堂教學的氣氛，有效達成與生成教學目標，而且能使傳

12、統教學與創新教學達到有機統一.然而，在數學教學過程中學生的“惑境”既不會自動分辨，也不會自動消退，更不會自動進入悟境，這就需要作為主導的教師能讓學生產生的惑是適度的，惑要誘得適度，導得得法，因為誘惑就是讓學生產生疑惑感，其目的是引導學生去思考和探究，而不是故意地去為難、甚至去難住學生，要讓學生“跳一跳能摘到桃子”，如用“問題串”或變式教學等形式出現的導就是架在惑與悟之間的一座思維的橋梁，導惑是為了讓學生達悟，但要因勢利導；當然這里更需要作為主體的學生以積極的態度或好奇心去進行探究，其中包括智力和意志上的努力.3用“過河式”模型實現數學課堂教學“由惑到悟”“過河式”模型能實現數學課堂教學“由惑到

13、悟”，“過河式”模型（如圖1）是我在一線教學實踐中為有效設計和達成“三維目標”而提出的一個簡單、直觀、形象的教學學習活動模式，比“三角式”模式（如圖2）具有更多的優點，能讓教師結合課堂教學的具體內容，來有效分析、設計和達成“三維目標”，能更有效地促進一線教師在新課程理念下對課堂教學的反思、實踐和研究.彼岸悟境：對新的知識與技能本質的領悟和自如運用基礎上的創新地河水過河情感態度與價值觀此岸惑境：舊的知識與技能以及運用它不能解決面臨的問題圖1“過河式”“三維目標”結構情感態度過程與方法與價值觀圖2“三角式”“三維目標”結構這里把舊的知識與技能以及運用它不能解決面臨的問題的惑境理解為河的此岸，把對新

14、知識與技能本質的領悟以及自如運用基礎上的創新地的悟境理解為河的彼岸，視“過河”過程與方法，“河水”情感態度與價值觀目標，將學生在教師的引導下從惑境出發，經歷數學情境，進行探究活動，體驗數學發現和創造的歷程，達到感悟數學本質以及自如運用基礎上的創新地的一次次升華，定位為課堂上的一次“過河”行動！這里說的是“過河”而不是“渡河”，更不是“渡船”，所以要強調這一點，就是“渡河”是“過河”的一種特例，“渡船”則是“渡河”的一種工具，若是用“船”“渡河”也是“過河”的一種特例.而“過河”（過程與方法）是靈活的，如何“過河”？就要視具體情況（如河水的緩急深淺、河面的大小寬窄與過河的對象、條件與任務等）而定

15、，既可直接讓學生涉水或游泳“過河”，也可用“船”或“竹排”過河，要是河上有橋就可從橋上“過河”，無橋也可架橋“過河”，來不及（或無條件）架橋也可像紅軍一樣去飛奪上流的瀘定橋“過河”，要是有飛行器當然也可從河面上飛過河去，教須有法，但教無定法.這里的“過”是“八仙過海”的“過"只有“八仙過海”，沒有“八仙渡海”說的就是“八仙”的水平體現在“過”上，要求每個老師能學學“八仙”，既能對不同的教學內容會用不同的過程與方法讓學生“過河”，又能對相同的內容，要是對象與條件不同，同樣會用不同的過程與方法來讓學生“過河”，題海無邊，但知識有限，“八仙”過的“海”看不到邊，而我們所過“河”卻能看到岸！

16、這個岸就是學生對所學知識本質的領悟以及自如運用基礎上的創新地.另外，這里的“過河式”模式有點像“最近發展區”，所以如此，這不但是由于“此岸”：舊的知識與技能以及運用它不能解決面臨問題的惑境，若用“最近發展區”的話來說是學生的“現有發展水平”與“潛在發展水平”，而這兩種水平之間的“最近發展區”是“教學的最佳期”，“教學的最佳期”進行的教學是促進學生發展的最佳教學7,而且是由于通常情況下我們大多是用最近發展區理論設計的“問題串”來進行教學和探究活動的，但它卻有別于“最近發展區”.因為“最近發展區”的核心是“發展”，而“過河式”模式的核心不只是“發展”，還要有“體驗”，它是將知識與技能目標、情感態度

17、與價值觀目標自然地融合在“過河”時的不同的“水情”、“河情”過程與方法之中，使預設與生成能相輔相成，因為“水情”、“河情”等是變化的，如“過河人”在經歷用船“過河”這一過程中，是風平浪靜，還是風云突變，突然打來幾個浪，遇到幾個旋渦或是船底破了等是誰也無法意料的，有時即使翻船下了水，其間在經歷的“過河”過程中所體驗到的情感態度與價值觀也是很有價值的.因此，在“過河式”模式中用最近發展區理論設計而來的每一個問題，既要使學生的知識與技能在各自的“最近發展區”內得到“發展”，又要讓學生在這一“過河”過程與方法之中去體驗數學發現，經歷創造過程，感悟數學本質，所以“過河式”模式有點像“最近發展區”，但不是

18、“最近發展區”.“最近發展區”只是在“過河”時要用到的一種理論或工具.“過河式”模式的最可貴之處是可這樣簡單、直觀、形象地讓我們清楚地看到：在三維目標中，過程與方法目標是“綱”，知識與技能目標、情感態度與價值觀目標是“目”，“綱”舉才能“目”張，從而使我們對自己的教學能從一個新的視角進行更深層面的反思、實踐和研究.下面以改進的高中必修1“用二分法求方程的近似解”的一次“過河”行動來看以“過河式”模型實現的“由惑到悟”的數學課堂教學8.此岸：惑境一一舊的知識與技能以及運用它不能解決面臨的問題.(1)學生已經掌握了函數零點的概念和函數零點附近兩側的函數值異號的特性，會求解簡單方程.(2)但面對方程

19、lnx+2x-600卻不知道是否有解？過河：過程與方法一一用問題串引導學習，適時插入小組合作交流.(河水：情感態度與價值觀.)問題1:方程lnx+2x6=0有解嗎？此問題來自教材“思考”，貫穿編者意圖，突現數學本質，符合認知基礎，適合學生探究，但學生卻不能用所學方法與公式求解一一生惑.學生欲罷不能，激發學生自主探索的欲望.問題2:能求出它的近似解嗎？此追問是引導學生思考.作兩種預設：一是讓學生說出思考方向；二是如果思路仍然受阻，需進一步啟發和暗示，可出示下一問題.問題3:能否用上堂課為出發點找到一個求解的方案？此問題是讓學生回顧上堂課知識：函數零點的概念和零點附近兩側的函數值異號的特性.(學生

20、恍然大悟)可以轉化為求函數y=lnx+2x-6的零點，用“試值法”可發現f(2)<0,f(3)>0,因此，在(2,3)上有零點一一解惑.教師順手畫圖，讓學生觀察初始區間，起到承上啟下的作用，為引導學生描述特征，完成刻畫作鋪墊.問題4:剛才我們只確定了零點的初始區間，接下來要解決什么問題？此問題暗示思考方向.學生：找出零點.問題5:那如何找零點呢？此追問引導學生探究.學生：先取任意一點，如2.1,利用計算器得f(2.1)<0,零點在(2.1,3)內，又f(2.2)<0,則零點在(2.2,3)內，如此等等.師：不錯，我們先試一試，看看能得到什么結論？生：f(2.1)到f(2

21、.5)都小于零，但f(2.6)>0,則零點在(2.5,2.6)內.師：很好！我們把零點所在區間從(2.1,3)縮小到了(2.5,2.6)內.向前邁進了一步，確是一個好方法或是好的思考方向.但我有一個問題：問題6:按這種方法，我取2.01或2.001甚至更小，你認為合理嗎？此問題引導反思.學生：不合理.問題7:那你認為怎樣取點才是最合理的呢？此追問暗示思考方向.學生：取2.5,得f(2.5)<0,取一次就可得到零點所在區間為(2.5,3).問題8:從2.5所處的位置上看，剛好是區間的中點，你認為是偶然的嗎？此問題暗示反思.學生：不是，中點把區間一分為二，f(2.5)值的符號唯一確定.

22、故零點必在兩區間之一內.問題9:現在，零點所在區間為(2.5,3),如果想進一步得到零點的近似值，你認為取哪一個點是最合理的？(小組合作交流)此問題暗示思考方向，啟發深入探究，引出近似思想，并借助函數圖像，引導學生探究逼近思想，促使“二分法”的形成，其中可能會涉及不同的分法，教師要有所準備，如三分法、四分法、黃金分割法等.引導學生得出它們的數學思想方法和“二分法”類似，但以“二分法”為最簡便，當然，若把區間分成多份，設計好算法程序利用計算機在多個區間內同時尋找方程的近似解，從速度上來說則更快.問題10:從所用的方法中，你能看到它的本質特征嗎？此追問深化了思考，引導學生去抓住“二分法”的本質.學

23、生：先縮小區間，再估計零點、逼近零點.師：很好！按照這種方法可以把區間縮到任意小，直到得到符合要求的零點.教師給出精確度工的定義.問題11:借助計算器，繼續縮小區間，小組合作，完成下表：零點所在區間中點的值中點函數近似值精確度(2,3)2.5_0.0841(2.5,3)2.750.5120.5(2.5,2.75)2.6250.2150.25問題12:從表格中，可求lnx+2x_6=0的近似解，精確度是0.1,結果是多少？精確度是0.01,結果是多少？這兩個問題都是讓學生感受精度與近似的相對統一，體驗它的算法思想，不斷深化對重點：“縮小區間，逼近零點”的理解和領悟.問題13:我們把區間一分為二的

24、方法叫做一一“二分法”(學生答)，你能給它下個定義嗎？此追問深化思考深度，學會形式化.問題14:剛才我們給出了“二分法”定義，你能講出用“二分法”求零點近似值的步驟嗎？此問題深化思考，引導學生總結，暗示操作的程序化.先由學生敘述，再由教師總結用“二分法”求零點近似值的步驟.彼岸：悟境一一對新的知識與技能本質的領悟以及自如運用基礎上的創新地.(1)通過具體的實例的探究，學會歸納概括發現的規律和結論，并能用準確的數學語言表達出來.(2)在求具體方程的近似解的過程中，體會用“二分法”求方程近似解的基本步驟和思想，從中體驗數學中“縮小區間、逼近零點”這一“二分法”的核心思想的意義和價值，參考文并能借助

25、機算器求相應方程的近似解.這一“由惑到悟”課堂教學是一個以“問題串”與小組合作交流的形式來實施的“過河”過程，不但其問題源于教材“思考”，貫穿編者意圖，凸顯數學本質，符合認知基礎，適合學生探究，并以學生不能用所學的方法與公式求解的方程來誘惑，而且每個后續問題始終是圍繞如何引導學生去探究發現“逼近”這個重要的數學思想和如何引導學生去探究縮小區間的“方法”來展開的，其設計又能從學生“思維的最近發展區”來考慮，使學生欲罷不能，激發了學生自主探索的欲望，從中領悟“縮小區間，逼近零點”這一“二分法”的核心思想方法.從用“過河式”模型實現的“由惑到悟”數學課堂教學看到：“三維目標”所強調的過程與方法，是引

26、領學生來感受具體“過河”的過程以及蘊涵其中的方法，教師要做的是如何讓學生從運用舊的知識與技能不能解決面臨的問題惑境出發，在親歷“過河”的過程中，在自己獨立思考與情感體驗的基礎上，能尋找同伴的支持、教師的援助，達到感悟數學本質的彼岸.在這次課堂“過河”行動中，知識技能與情感態度價值觀自然蘊涵在過河的過程以及過河的結果之中，“過河式”模型實現了數學課堂教學的“由惑到悟”.章建躍先生認為：“問題是創新的開始.以問題引導學習應當成數學教學的一條基本原則.”9在“由惑到悟”數學課堂教學中無論是用“問題串”、變式教學10或是自主探究等來“過河”，都是要通過恰到好處的提問，提好的問題，給學生提問的示范，使他

27、們領悟發現和提出問題的藝術，引導他們更主動、有興趣地學，富有探索地學，逐步培養學生的問題意識，孕育創新精神.獻1黃曉學.論思維生惑點與數學教學J.數學教育學報，2007,16(2):1618.2黃曉學.論“從惑到識”數學教學原理的建構J,數學教育學報，2007,16(4):971.3史寧中.數學課程標準的若干思考J,數學通報，2007,(5):1-5.4李廣修，吳紹兵.直面新的數學課程改革J,中學數學教學參考，2007,(11):7-9.5張亞詩.惑論一一教學過程中認知發展突變論M.重慶：西南師范大學出版社，2003.6謝全苗.設計和達成三維目標的“過河式"模型J.中學數學教學參考，2007,(12):19-22.7謝全苗.思維的“最近發展區”的開發與利用J.數學通報，2004,(8):17-20.8謝全苗.與中學數學青年數學教師談數學教育理論對中學數學教學工作的幫助J,數學通報，2000,(6):5-6.9章建躍.數學教育改革中幾個問題的思考(續)J.數學通報，2005,(7):6-8.10謝全苗，劉淑珍.變式教學一一研究性學習的一種模式J.中學數學教學參考，2004,(10):5-9.ConstructionofaNewMathematicsCl