1、4. 4解直角三角形的應用第1課時俯角和仰角問題教學目標【知識與技能】比較熟練地應用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關的實際問題.【過程與方法】通過學習進一步掌握解直角三角形的方法.【情感態度】培養學生把實際問題轉化為數學問題的能力.【教學重點】應用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關的實際問題.【教學難點】選用恰當的直角三角形，分析解題思路.教學過程一、情景導入，初步認知海中有一個小島 A,該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在 A島南 偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達該島的南偏西 25°的C處，之后，貨輪繼續往 東航行，你認為貨輪繼續向東

2、航行途中會有觸礁的危險嗎？你是如何想的？與同伴進行交流.【教學說明】經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決實際問題 中的應用.二、思考探究，獲取新知1 .某探險者某天到達如圖所示的點A處，他準備估算出離他的目的地一一海拔為3500m的山峰頂點B處的水平距離.你能幫他想出一個可行的辦法嗎？分析：如圖，BD表示點B的海拔，AE表示點A的海拔，ACL BD垂足為點 C先測量出 海拔AE再測出仰角/ BAC然后用銳角三角函數的知識就可以求出A B之間的水平距離 AC【歸納結論】當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，在水平線下方的角叫作俯角.線 T-

3、 水2 .如圖，在離上海東方明珠塔底部1000m的A處，用儀器測得塔頂的仰角為25。，儀器距地面高為1.7m.求上海東方明珠塔的高度.（結果精確到1m）解：在 RtABC中，/ BAC= 25° , AC= 1000m,因此 tan25BC BCAC 1000BC= 1000X tan25 ° 466.3（m）,，上海東方明珠塔的高度 （鄉勺）為466.3 + 1.7 =468米.【教學說明】利用實際問題承載數學問題，提高了學生的學習興趣.教師要幫助學生學 會把實際問題轉化為解直角三角形問題，從而解決問題.三、運用新知，深化理解1 .如圖，某飛機于空中平面控制點B的俯角a

4、=16（精確到1米）31',求飛機 A到控制點B的距離.A處探測到目標 C此時飛彳T高度 AC= 1200米，從飛機上看地16分析：利用正弦可求.角的在 RtAABC sinACB= ABAB=ACsin B12000.28434221（米）答：飛機A到控制點B的距離約為4221米.3 .熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30。，看這棟高樓底部的俯角為60° ,熱氣球與高樓的水平距離為120m.這棟高樓有多高（結果精確到0.1m）?分析：在RtAABD, a=30° , AD= 120.所以可以利用解直角三角形的知識求出BD類似地可以求出 CD進而求

5、出BC解：如圖，a =30° , 3 =60° , AD= 120. tan tan 3 =tEAD AD，BD= ADan a =120xtan30° =120x 乎=40#, CD= ADtan § =120xtan60° =3120X 3= 120 3.BD= BN CD= 40/3+ 120/3= 160 M = 227.1答：這棟高樓約高 277.1m.4 .如圖，在離樹BC12米的A處，用測角儀測得樹頂的仰角是 30° ,測角儀AD高為1.5 米，求樹高BC（計算結果可保留根號）分析：本題是一個直角梯形的問題，可以通過過點

6、D作DEI BC于E,把求CB的問題轉化求BE的長，從而可以在 BD計利用三角函數.解：過點D作DEL BC于E,則四邊形DEC勰矩形，.D AC= 12米.CE= AD= 1.5米.在 直角 BED43, / BDE= 30° ,tan30BEDEBE= DE- tan30 ° = 4艱米.3、BC= BE+ CE= (44 + 2)米.5 .廣場上有一個充滿氫氣的氣球 P,被廣告條拽著懸在空中，甲乙二人分別站在E、F處，他們看氣球的仰角分別是 30°、45° , E點與F點的高度差AB為1米，水平距離 CD為 5米，FD的高度為0.5米，請問此氣球有

7、多高？(結果保留到0.1米)分析：由于氣球的高度為P知AB+ FD而AB= 1米，FD= 0.5米，故可設 PA= h米，根據題意，列出關，于h的方程可求解.解：設 AP= h 米，.一/ PFB= 45° ,BF= PB= (h+1)米，EA= BF+ CD= h+ 1 + 5= (h+ 6)米，在 RtPEA中，PA= AE tan30 ,h=(h+6)tan30 ° ,，氣球的高度約為 P加AB+ FD= 8.2+1 + 0.5 =9.7米.【教學說明】鞏固所學知識.要求學生學會把實際問題轉化成數學問題；根據題意思考 題目中的每句話對應圖中的哪個角或邊，本題已知什么，

8、求什么.四、師生互動、課堂,小結先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業布置作業：教材“習題 4.4”中第2、4、5題.教學反思本節課我們學習了有關仰角、俯角的解直角三角形的應用題，對于這些問題，一方面要 把它們轉化為解直角三角形的數學問題，另一方面，針對轉化而來的數學問題應選用適當的 數學知識加以解決.第2課時坡度和方位角問題教學目標【知識與技能】1. 了解測量中坡度、坡角的概念；2.掌握坡度與坡角的關系， 能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、與弧長的有關實際問題.【過程與方r法】通過對例題的學習，使學生能夠利用所學知識解決實際問題.【情感態度】進一步

9、培養學生把實際問題轉化為數學問題的能力.【教學重點】能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、與弧長有關的實際問題.【教學難點】能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、與弧長的有關實際問題.教學過程一、情景導入，初步認知如圖所示，斜坡 A所口斜坡AB,哪一個傾斜程度比較大？顯然，斜坡AB的傾斜程度比較大，說明/ Ai>Z A.從圖形可以看出,即 tan A > tan ABC BCAC AC【教學說明】通過實際問題的引 入，提高學生學習的興趣.二、思考探究，獲取新知1 .坡度的概念，坡度與坡角的關系.如上圖，這是一張水庫攔水壩的橫斷面的設計圖，坡面的鉛垂高度與水平前進的距離的AC比叫作坡

10、度（或坡比），記作i ,即i =定BC坡度通常用l ： m的形式，例如上圖中的1 ： 2的形式.坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作a.從三角函數的概念可以知道，坡度與坡角的關系是i=tanB,顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.4H2 .如圖，一山坡的坡度為i=1 ： 2,小剛從山腳 A出發，沿山坡向上走了 240米到達點C,這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米？（角度精確到0.01 ° ,長度精確到0.1米）3 .如圖，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在A處測得燈塔C在北偏東600方向上， 繼續航行1h到達B處，這時測彳導燈塔 C在北偏東30°方向上，已知在燈塔

11、C的四周30km內 有暗礁.問這艘船繼續向東航行是否安全？【教學說明】教師引導學生分析題目中的已知條件分別代表的是什么，將圖形中的信息 轉化為圖形中的已知條件，再分析圖形求出問題.學生獨立完成.三、運用新知，深化理解1 .如圖，在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是5.5m,測得斜坡的傾斜角是24。，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少（精確到0.1m）.分析：引導學生將實際問題轉化為數學問題畫出圖形.解：已知：在 RtAABO, / C= 90° , AC= 5.5, Z A= 24° ,求 ABAC在 RtAABO, cosA=*BAC 5.5AB=A cosA

12、0.9135= 6.0 (米).答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是 6.0米.2 .同學們，如果你是修建三峽大壩的工程師， 現在有這樣一個問題請你解決： 如圖水庫 大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m,壩高23m,斜坡AB的坡度i =1 ： 3,斜坡CD勺坡度i =1 ： 2.5 , 求斜坡AB的坡面角a ,壩底寬AD和斜坡AB的長（精確到0.1m）.解：作 BEELAD, CUAD 在 RHAB百口 RtACDF, BE_ 1 CF_工ae 3，FD= 25AE= 3BE= 3X23= 69(m).FD= 2.5 C鼻2.5 X2.3=57.5(m).AD= A曰 EF+ FD=:69+6+57.

13、5 = 132.5(m).因為斜坡 AB的坡度i =tan “=1 = 0.3333,3所以 a =18° 26'BEBE23AB= sin a ,AB= :=72.7(m).Sin a 0.3162' )答：余坡AB的坡角a約為18° 26',壩底寬 AD為132.5米，余坡AB的長約為72.7 米.3 .龐亮和李強相約周六去登山，龐亮從北坡山腳C處出發，以24米/分鐘的速度攀登，同時，李強從南坡山腳 B處出發.如圖，已知小山北坡的坡度i =1 ：、/3,山坡長為240米,A （將山路 AEB AC看成南坡的坡角是45。.問李強以什么速度攀登才能和

14、龐亮同時到達山頂 線段，結果保留根號）解：過點A作ADL BC于點D,在 RtAADO,由 i=1 ：，3得1 tan C=,3，,113，/C= 30 . AD= 2AC= 2*240= 120（米）.在 RtAABD, / B= 45 ,AB=，2AD= 12"（米）.120第+ （240+ 24）= 120+10=12/（米/ 分鐘）答：李強以12啦米/分鐘的速度攀登才能和龐亮同時到達山頂A4 .某公園有一滑梯，橫截面如圖所示，AB表示樓梯，BC表示平臺，CDI示滑道.若點2-.E, F均在線段 AD上，四邊形BCE提矩形，1. sin Z BAF=-, BF= 3米，BC=

15、1米，CD= 6米.求:3（1） / D的度數；（2）線段AE的長.解：(1)二.四邊形BCE喔矩形，BFE= Z CEF= 90 , CE= BF, BC= FE, ./ BFA= / CED= 90° ,CE= BF, BF= 3 米，. CE= 3 米，. CD= 6 米，Z CED= .90 , ./ D= 30° .2（2） . sin / BAF=q,3BF 29”=. . BF= 3 米，AB=j米, B 32- AF= 7 (2) 232 =平米，3/5+2 AE=2 不.5.日本福島發生核電站事故后，我國國家海洋局高度關注事態發展，緊急調集海上巡邏的海檢船

16、，在相關海域進行現場監測與海水采樣，針對核泄漏在極端情況下對海洋環境的影響及時開展分析評估.如圖，上午9時，海檢船位于 A處，觀測到某港口城市P位于海檢船的北偏西67.5。方向，海檢船以 21海里/時的速度向正北方向行駛，下午 2時海檢船到達B 處，這時觀察到城市 P位于海檢船的南偏西 36.9。方向，求此時海檢船所在 B處與城市P的 距離.(參考數據：sin36.9 ° = 3, tan36.9 °sin67.5 ° 12, tan67.5 ° )54135分析：過點 P作PdAB,構造直角三角形，設 PC= x海里，用含有x BC的值，從而求出x的值

17、，再根據三角函數值求出BP的值即可解答.解：過點P作PCL AB垂足為C,設PC= x海里.PC在 RtAAPO43, tan A=tAC的式子表示ACPC 5xAC=-。=tan67.512在 RtAPCEJ,PC- tan B=BCx一 BC= tan36.94x3從上午9時到下午2時要經過五個小時, . AC+ BC= AB= 21X5,5x 4x- + - = 21X5,123解得x= 60.PC - sin / B=而PC 60PB=-=sin B sin36.9=60X3= 100（海里）.海檢船所在 B處與城市P的距離為100海里.【教學說明】通過練習，鞏固本節課所學內容.四、師

18、生互動、課堂小結先小組內交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課后作業布置作業：教材“習題 4.1”中第1、6、7題.教學反思通過本節課的學習，使學生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知識解決與 坡度、坡角有關的實際問題，特別是與梯形有關的實際問題，懂得通過添加輔助線把梯形問 題轉化為直角三角形來解決.復習與提升教學目標【知識與技能】1 . 了解銳角三角函數的概念，熟記30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數值.2 .能夠正確地使用計算器，由已知銳角的度數求出它的三角函數值，由已知三角函數 值求出相應的銳角的度數.3 .會用解直

19、角三角形的有關知識解決簡單的實際問題.【過程與方法】通過銳角三角函數的學習，進一步認識函數，體會函數的變化與對應的思想.【情感態度】通過解直角三角形的學習，體會數學在解決實際問題中的作用.【教學重點】會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題.【教學難點】會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題.教學過程的恒定殊俊會的特一、知識結構曲 t 3T、毓ffl函數一&廿.0 小一解旨角的形三年函數儕已知便的求：出函覲依或已Tii Mi函敵仇求對應的慢向【教學說明】引導學生回顧本章知識點，使學生系統地了解本章知識及它們之間的關系.二、釋疑解惑，加深理解1 .正弦的概念：在直角三角形中，我

20、們把銳角. 角a的對邊sin 斜邊.2,余弦的概念：在直角三角形中，我們把銳角角a的鄰邊 cos " =.a的對邊與斜邊的比叫作角a的鄰邊與斜邊的比叫作角a的正弦.記作sin a ,即:a的余弦.記作cos a .即3 .正切的概念:在直角三角形中，我們把銳角a的對邊與鄰邊的比叫作角a的正切.記作tan a ,即:角a的對邊 tan "=角a的鄰邊4 .特殊角的三角函數值:三角函數asin acos atan a30：1叱3近22345°巫 2巫 2160°更 2125 .三角函數的概念：我們把銳角a的正弦、余弦、正切統稱為角 a的銳角三角函數.6 .解

21、直角三角形的概念：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的過程，叫作解直角三角形.7 .仰角、俯角的概念：當我們進行測量時， 在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，在水平線下方的角叫作俯角.8 .坡度的概念：坡面的鉛垂線高度與水平前進的距離的比叫作坡度（或坡比）；記作i ,坡度通常用l ： m的形式；坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作a.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.【教學說明】引導學生回憶本章所學的有關概念，知識點.加深學生的印象.三、運用新知，深化理解1.已知，如圖，D是ABC BC邊的中點，/ BAD90° , tan B= 2,求 sin / DAC3解

22、：過D作DE AB交AC于E,則/ ADE= / BAD= 90 ,2 AD 2由 tanB= 3，得2， 3 AB 3設 AD= 2k, AB= 3k,3.D是ABC41 * 3 BC邊的中點，DE2k一5,在 RtADE中，AE= 2匕.sin / DACDE 3kAE 52k2.計算：tan 230° + cos230° sin 245° tan45解：原式=（坐)2+(畀(q)2X1 3227123.如圖所示，菱形3ABCD勺周長為20cm, DEEL AB垂足為 E, sin A=-,則下列結論正 5確的個數為（）DE= 3cm；BE= 1cm；菱形的面

23、積為 15cm2;BD= 2 10 cm.A. 1個B. 2個C. 3個 D, 4個分析：由菱形的周長為 20cm知菱形邊長是5cm.3在 RtADE中，: AD= 5cm, sin A= 5,3、DE= AD- sin A= 5X 一 =3(cm).5' '.AE= JaD DE = 4(cm).BE= AB- AE= 5-4=1(cm).菱形的面積為 AB- DE= 5X3= 15(cm2).在 RtADEE, BD= dE+ BE =32+12 =亞0(5).綜上所述正確.【答案】C4.如圖所示，一艘輪船位于燈塔 P的北偏東60。方向，與燈塔P的距離為80海里的A 處，它

24、沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45。方向上的B處，求此時輪船所在的B處與燈廠塔P的距離（結果保留根號）.分析：由題意知，在 ABP中/ A= 60° , / B= 45° , / APB= 75°聯想到兩個三角板 拼成的三角形.因此很自然作PCL AB交AB于C解：過點 P作 PCLAB,垂足為 C,則/ APC= 30° , / BPC= 45° , AP= 80,在 RtAAPC,cos / APC=受PAPC= PA cos/ APC= 40小，PC在 RtPCB中,cos/ BPC=,PBPC 40 ,3 - PB=/

25、 片AC =4046cos/ BPC cos45當輪船位于燈塔 P南偏東45。方向時，輪船與燈塔 P的距離是40V6海里.【教學說明】通過上面的解題分析，再對整個學習過程進行總結，能夠促進理解，提高認知水平，從而促進數學觀點的形成和發展.四、復習訓練，鞏固提高1 .如圖， ABC等邊三角形，P是/ABC勺平分線BD上一點，P口AB于點E,線段BP的垂直平分線交 BC于點F,垂足為點Q若BF 2,則PE的長為（）,A. 2B. 2 ,'3C. 3 ；3D. 3分析：ABB等邊三角形，點P是/ ABC勺平分線上一點，/EBP= Z QBF= 30。，, BF= 2,FQL BRBQ= BF cos30 =. FQ> BP的垂直平分線，. BP= 2BQ= 2 3.在 RtBEP中，. / EBP= 30 ,1 一PE= 2BP= 3.【答案】C2 .如圖，為了測量某山 AB的高度，小明先在山