1、傳染病模型摘要當(dāng)今社會(huì)，人們開始意識(shí)到通過(guò)定量地研究傳染病的傳播規(guī)律，建立傳染病的傳播模型，可以為預(yù)測(cè)和控制傳染病提供可靠、足夠的信息。本文利用微分方程穩(wěn)定性理論對(duì)傳統(tǒng)傳染病動(dòng)力學(xué)建模方式進(jìn)行綜述，且針對(duì)甲流，SARS等新生傳染病模型進(jìn)行建模和分析。不同類型的傳染病的傳播過(guò)程有其各自不同的特點(diǎn)，我們不是從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播，而是從一般的傳播機(jī)理分析建立各種模型，如簡(jiǎn)單模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我們應(yīng)用傳染病動(dòng)力學(xué)模型來(lái)描述疾病發(fā)展變化的過(guò)程和傳播規(guī)律，運(yùn)用聯(lián)立微分方程組體現(xiàn)疫情發(fā)展過(guò)程中各類人的內(nèi)在因果聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上建立方程求解算法。然后，通過(guò)借助M

2、atlab程序擬合出與實(shí)際較為符合的曲線并進(jìn)行了疫情預(yù)測(cè)，評(píng)估各種控制措施的效果，從而不斷完善文中的模型。本文由簡(jiǎn)到難、全面地評(píng)價(jià)了該模型的合理性與實(shí)用性，而后對(duì)模型和數(shù)據(jù)也做了較為扼要的分析，進(jìn)一步改進(jìn)了模型的不妥之處。同時(shí)，在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行較為全面評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上又引入更為全面合理的假設(shè)，運(yùn)用雙線性函數(shù)模型對(duì)衛(wèi)生部的措施進(jìn)行了評(píng)價(jià)并給出建議，做好模型的完善與優(yōu)化工作。關(guān)鍵詞：傳染病模型，簡(jiǎn)單模型，SI,SIS,SIR,微分方程，Matlab一、問(wèn)題重述有一種傳染病（如SARS甲型H1N1正在流行，現(xiàn)在希望建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用已經(jīng)掌握的一些數(shù)據(jù)資料對(duì)該傳染病進(jìn)行有效地研究，以期對(duì)其傳播蔓延進(jìn)行必

3、要的控制，減少人民生命財(cái)產(chǎn)的損失。考慮如下的幾個(gè)問(wèn)題，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并進(jìn)行一定的比較分析和評(píng)價(jià)展望。1、不考慮環(huán)境的限制，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是常數(shù)，建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。2、假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是感染人數(shù)的線性函數(shù)，最大感染時(shí)的增長(zhǎng)率為零。建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。3、假設(shè)總?cè)丝诳煞譃閭魅静』颊吆鸵赘腥菊撸赘腥菊咭蚺c患病者接觸而得病，而患病者會(huì)因治愈而減少且對(duì)該傳染病具有很強(qiáng)的免疫功能，建立模型分析t時(shí)刻患病者與易感染者的關(guān)系，并對(duì)傳染情況（如流行趨勢(shì)，是否最終消滅）進(jìn)行預(yù)測(cè)。二、問(wèn)題分析1、這是一個(gè)涉及傳染病傳播情況的實(shí)際問(wèn)題，其中涉及傳染病感染人數(shù)隨時(shí)間

4、的變化情況及一些初始資料，可通過(guò)建立相應(yīng)的微分方程模型加以解決。2、問(wèn)題表述中已給出了各子問(wèn)題的一些相應(yīng)的假設(shè)。3、在實(shí)際中，感染人數(shù)是離散變量，不具有連續(xù)可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短時(shí)間內(nèi)改變的是少數(shù)人口，這種變化與整體人口相比是微小的。因此，為了利用數(shù)學(xué)工具建立微分方程模型，我們還需要一個(gè)基本假設(shè)：感染人數(shù)是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)。三、模型假設(shè)模型二和模型三的假設(shè)條件：假設(shè)一：在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類(取兩個(gè)詞的第一個(gè)字母，稱之為SI模型)，以下簡(jiǎn)稱健康者和病人

5、。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。假設(shè)二：每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕＜僭O(shè)三：模型三在假設(shè)一和假設(shè)二的基礎(chǔ)上進(jìn)行考慮，然后設(shè)病人每天治愈的比例為稱為日治愈率。病人治愈后成為仍可被感染的健康者，顯然1/N是這種傳染病的平均傳染期。模型四的假設(shè)條件：假設(shè)四：總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed三類，稱SIR模型。三類人在總數(shù)N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。假設(shè)五：病人的日接觸率為K,日治愈率為N(與SI模型相同)，傳染期接觸為。二大/2四、符號(hào)說(shuō)明t某

6、一具體時(shí)刻x(t)病人人數(shù)九每天每個(gè)病人有效接觸的人數(shù)N總?cè)藬?shù)s(t)健康者總?cè)藬?shù)i(t)病人總?cè)藬?shù)i0初始時(shí)刻病人的比例tm病人的最大值口、日治愈率1/平均傳染率二接觸率r(t)移出者So初始時(shí)刻健康者的比例五、模型的建立與求解模型1在這個(gè)最簡(jiǎn)單的模型中，設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)，并且每天每個(gè)病人有效接觸(足以使人致病的接觸)的人數(shù)為常數(shù)人，考察t至產(chǎn)十位病人人數(shù)的增加，就有x(tt)x(t)-,x(t)t再設(shè)t=0時(shí)有xo有個(gè)病人，即得微分方程dx='x,x(0)=x0(1)dt方程(1)的解為x(t)=xoe,t(2)結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無(wú)限

7、增長(zhǎng)，這顯然是不符合實(shí)際的。建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。模型2(SI模型)根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使Xs(t)個(gè)健康者變?yōu)椴∪耍驗(yàn)椴∪藬?shù)為Ni(t),所以每天共有，由5代)4)個(gè)健康者被感染，于是兒Nsi就是病人數(shù)Ni的增加率，即diNNsi(3)dt又因?yàn)閟(t)i(t)=1(4)再記初始時(shí)刻(t=0)病人的比例為i0,則dii(1-i),i(0)=iodt(6)方程(5)是Logistic模型。它的解為1.t-1e-io由(5),(6)式及圖1可知，第一，當(dāng)i=1/2時(shí)d到達(dá)最大值：

8、，這個(gè)時(shí)刻為dtdtmtm=Tn一-1io這時(shí)病人增加的最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái)，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時(shí)刻。tm與，成反比，因?yàn)槿战佑|率，表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平,九越小衛(wèi)生水平越高。所以改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來(lái)。第二，當(dāng)tT8時(shí)iT1,即所有人終將被傳染，全變?yōu)椴∪耍@顯然不符合實(shí)際情況。其原因是模型中沒(méi)有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會(huì)再變成健康者。模型3(SIS模型)有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈合后免疫力很低，可以假定無(wú)免疫性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，所以這個(gè)模型成為SIS

9、模型。考慮到這一模型的假設(shè)條件，于是有Ni(t+&)-i】=KNsi&-NNi(8)可得微分方程di=Zj(1-i)-內(nèi)i(0)=i0(9)dt定義昨%(10)其中仃是整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)。得到(11)didt=-"-(1-1/二)'模型4(SIR模型)大多數(shù)傳染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人既非健康者(易感染者)，也非病人(已感染者)，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類。SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀。胁≌呖梢员恢斡?huì)產(chǎn)生免疫力，變?yōu)橐瞥摺Ｈ藛T流動(dòng)圖為：S-I-R。

10、1.模型構(gòu)成：(12)在假設(shè)1中顯然有:s(t)+i(t)+r(t)=1(13)對(duì)于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為N=Nidt不妨設(shè)初始時(shí)刻的易感染者、染病者、恢復(fù)者的比例分別為s0(so>0),i0(i0>0),r0=0,則SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下:di.it.=九Si一出dt(14)ds.一二一Sidtdr=Nidts(t),i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計(jì)算來(lái)預(yù)估計(jì)s(t),i(t)的一般變化規(guī)律。2,數(shù)值計(jì)算在方程(3)中設(shè)入=1,仙=0,3,i(0)=0.02,s(0)=0.98,用MATLAB軟件編程：functiony=ill(t,x)a=1;b=0.

11、3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)輸出的簡(jiǎn)明計(jì)算結(jié)果列入表1。i(t),s(t)的圖形以下兩個(gè)圖形，is圖形稱為相軌線，初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相當(dāng)于圖2中的P0點(diǎn)，隨著t的增,(s,i)沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng).由表1、圖1、圖2可以看出,i(t)由初值增長(zhǎng)至約t=7時(shí)達(dá)到最大值,然后減少,t一oo,i-o,s(t)則單調(diào)減少,t一oo,s-0.039

12、8.并分析i(t),s(t)的一般變化規(guī)律.表1i(t),s(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果t012345678i(t)10.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t910152025130354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398107

13、,63.相軌線分析我們?cè)跀?shù)值計(jì)算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解(t),s(t)的性質(zhì)。(s,i)|s>0,i>0,s+i<1(15)在方程（14）中消去dt并注意到（T的定義，可得所以:dds|s=50=io(16)di1-1dsIsb)iidii0s1丁r-1d(T利用積分特性容易求出方程（5）的解為:(17)1si=(s°i°)-s=-ln在定義域D內(nèi),(17)式表示的曲線即為相軌線，如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向卜面根據(jù)(14),(17)式和圖3分析s(t),i(t)和r的變化情況(t一麗它們的極限值分別

14、記作Sg,/和.1 .不論初始條件s0,i0如何，病人將消失，即：tTs,i-02 .最終未被感染的健康者的比例是，在式中令i=0得到，是方soi0-s-1ln=0一二s在(0,1/b)內(nèi)的根.在圖形上是相軌線與s軸在(0,1/6)內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3 .若%>1/*則開始有5=工-11ao,i(t)先增加，令5=21=0,可dsl.s(TJdsIs(T)得當(dāng)s=1/o-時(shí),i(t)達(dá)到最大值：1im=%-i0-(1.ln二So)a然后s<1/(T時(shí)，有d_J工_il<o,所以i(t)減小且趨于零,s(t)則單調(diào)減小dsIS(T)至S®,如圖3中由P1(So,i0)出發(fā)

15、的軌線4 .若%<1/，則恒有5=211<0,i(t)單調(diào)減小至零,s(t)單調(diào)減小至s*dsIs)如圖3中由P2(s0,i0)出發(fā)的軌線可以看出，如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長(zhǎng)的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延，那么1/(7是一個(gè)閾值，當(dāng)生>1/(即(T>1/s0)時(shí)傳染病就會(huì)蔓延.而減小傳染期接觸數(shù)(T,即提高閾值1/6使得s0W1/(T(即(T&1/、)，傳染病就不會(huì)蔓延(健康者比例的初始值s。是一定的，通常可認(rèn)為生接近1)。并且，即使s0>1/，減小時(shí)，本增加(通過(guò)作圖分析)，im降低，也控制了蔓延的程度.我們注意到在6=人a中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接

16、觸率入越小；醫(yī)療水平越高，日治愈率N越大，于是(7越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.從另一方面看，os=九s.1/N是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一病人被仃s個(gè)健康者交換.所以當(dāng)s0<1/即仃s0M1時(shí)必有.既然交換數(shù)不超過(guò)1,病人比例i(t)絕不會(huì)增加，傳染病不會(huì)蔓延。5 .群體免疫和預(yù)防：根據(jù)對(duì)SIR模型的分析，當(dāng)生M1/。時(shí)傳染病不會(huì)蔓延.所以為制止蔓延，除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平，使閾值1/(7變大以外，另一個(gè)途徑是降低s,這可以通過(guò)比如預(yù)防接種使群體免疫的辦法做到。忽略病人比例的初始值i0有s°=1-r0,于是傳染病不會(huì)

17、蔓延的條件s0<1/仃可以表為1ro-1-a這就是說(shuō)，只要通過(guò)群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例(即免疫比例)就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時(shí)印度等國(guó)天花傳染病的接觸數(shù)(7=5,至少要有80%勺人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，即使花費(fèi)大量資金提高ro,也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的(7更高，根除就更加困難。6 .模型驗(yàn)證:支的實(shí)際數(shù)據(jù),dt上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了Ke

18、rmack等人用這組數(shù)據(jù)對(duì)SIR模型作了驗(yàn)證。首先，由方程(12),(14)可以得到包-si-si-sd1dtdt1一.一一.一上式兩邊同時(shí)乘以dt可=-ds=ydr,兩邊積分行sr。r°Kr=lns|；=-二=所以:再一加=idts(t)(8)=N(1-r-s)=口(1-r-生力)(9)當(dāng)rwl/仃時(shí)，取（13）式右端eTaylor展開式的前3項(xiàng)得:22-=J(1-r-S00s0r-So)(10)dt2在初始值ro=0下解高階常微分方程得r（t）=j（包二一1）：thg一）（11）S0：L2其中口2=（%。1）2+2號(hào)i。2,th中=包從而容易由（10）式得出:Ctdr_12dt2so二2ch2。；-)然后取定參數(shù)S0,6