1、16第30屆全國中學生物理競賽復賽考試試題解答與評分標準一、（15分）一半徑為、內側光滑的半球面固定在地面上，開口水平且朝上. 一小滑塊在半球面內側最高點處獲得沿球面的水平速度，其大小為(). 求滑塊在整個運動過程中可能達到的最大速率. 重力加速度大小為. 參考解答：以滑塊和地球為系統，它在整個運動過程中機械能守恒. 滑塊沿半球面內側運動時，可將其速度分解成緯線切向 (水平方向)分量及經線切向分量. 設滑塊質量為，在某中間狀態時，滑塊位于半球面內側處，和球心的連線與水平方向的夾角為. 由機械能守恒得 (1)這里已取球心處為重力勢能零點. 以過的豎直線為軸. 球面對滑塊的支持力通過該軸，力矩為零

2、；重力相對于該軸的力矩也為零. 所以在整個運動過程中，滑塊相對于軸的角動量守恒，故. (2)由 (1) 式，最大速率應與的最大值相對應 . (3)而由 (2) 式，不可能達到. 由(1)和(2)式，的最大值應與相對應，即 . (4)(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得 . 若，由上式得 . 實際上，也滿足上式。由上式可知 . 由(3)式有 . (4)將 代入式(1)，并與式(2)聯立，得. (5)以為未知量，方程(5)的一個根是，即，這表示初態，其速率為最小值，不是所求的解. 于是. 約去，方程(5)變為. (6)其解為. (7)注意到本題中，方程(6)的另一解不合題意，舍去.

3、 將(7)式代入(1)式得，當時，,(8)考慮到(4)式有. (9)評分標準：本題15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式1分，(4) 式3分， (5) 式1分，(6) 式1分，(7) 式1分， (9) 式2分. 二、（20分）一長為2l的輕質剛性細桿位于水平的光滑桌面上，桿的兩端分別固定一質量為m的小物塊D和一質量為（為常數）的小物塊B，桿可繞通過小物塊B所在端的豎直固定轉軸無摩擦地轉動. 一質量為m的小環C套在細桿上（C與桿密接），可沿桿滑動，環C與桿之間的摩擦可忽略. 一輕質彈簧原長為l，勁度系數為k，兩端分別與小環C和物塊B相連. 一質量為m的小滑塊A在桌面上以垂直于桿的速

4、度飛向物塊D，并與之發生完全彈性正碰，碰撞時間極短. 碰撞 時滑塊C恰好靜止在距軸為（）處. 1. 若碰前滑塊A的速度為，求碰撞過程中軸受到的作用力的沖量；2. 若碰后物塊D、C和桿剛好做勻速轉動，求碰前滑塊A的速度應滿足的條件. 參考解答：1. 由于碰撞時間很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結束. 設碰后A、C、D的速度分別為、，顯然有. (1) 以A、B、C、D為系統，在碰撞過程中，系統相對于軸不受外力矩作用，其相對于軸的角動量守恒. (2)由于軸對系統的作用力不做功，系統內僅有彈力起作用，所以系統機械能守恒. 又由于碰撞時間很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結束，所以不必考慮彈性勢能的變化. 故. (3

5、)由 (1)、(2)、(3) 式解得 (4)代替 (3) 式，可利用彈性碰撞特點. (3)同樣可解出(4). 設碰撞過程中D對A的作用力為，對A用動量定理有,(5)方向與方向相反. 于是，A對D的作用力為的沖量為 (6)方向與方向相同. 以B、C、D為系統，設其質心離轉軸的距離為，則. (7)質心在碰后瞬間的速度為. (8)軸與桿的作用時間也為，設軸對桿的作用力為，由質心運動定理有. (9)由此得 . (10)方向與方向相同. 因而，軸受到桿的作用力的沖量為,(11)方向與方向相反. 注意：因彈簧處在拉伸狀態，碰前軸已受到沿桿方向的作用力；在碰撞過程中還有與向心力有關的力作用于軸. 但有限大小

6、的力在無限小的碰撞時間內的沖量趨于零，已忽略.代替 (7)-(9) 式，可利用對于系統的動量定理. 也可由對質心的角動量定理代替 (7)-(9) 式. 2. 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是當碰撞時間極短、以至于彈簧來不及伸縮的條件下才成立的. 如果彈簧的彈力恰好提供滑塊C以速度繞過B的軸做勻速圓周運動的向心力，即 (12)則彈簧總保持其長度不變，(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑塊A的速度應滿足的條件 (13)可見，為了使碰撞后系統能保持勻速轉動，碰前滑塊A的速度大小應滿足(13)式. 評分標準：本題20分. 第1問16分，(1)式1分， (2) 式2分，(

7、3) 式2分，(4) 式2分， (5) 式2分，(6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分，(9) 式2分，(10) 式1分，(11) 式1分；第2問4分，(12) 式2分，(13) 式2分. 三、（25分）一質量為、長為的勻質細桿，可繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內自由轉動. 桿在水平狀態由靜止開始下擺，1. 令表示細桿質量線密度. 當桿以角速度繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內轉動時，其轉動動能可表示為 式中，為待定的沒有單位的純常數. 已知在同一單位制下，兩物理量當且僅當其數值和單位都相等時才相等. 由此求出、和的值. 2. 已知系統的動能等于系統的質量全部集中在質心時隨質心一起運

8、動的動能和系統在質心系（隨質心平動的參考系）中的動能之和，求常數的值. 3. 試求當桿擺至與水平方向成角時在桿上距點為處的橫截面兩側部分的相互作用力. 重力加速度大小為. 提示：如果是的函數，而是的函數，則對的導數為例如，函數對自變量的導數為參考解答：1. 當桿以角速度繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內轉動時，其動能是獨立變量、和的函數，按題意 可表示為 (1)式中，為待定常數（單位為1）. 令長度、質量和時間的單位分別為、和（它們可視為相互獨立的基本單位），則、和的單位分別為 (2)在一般情形下，若表示物理量的單位，則物理量可寫為 (3)式中，表示物理量在取單位時的數值. 這樣，(1) 式可

9、寫為 (4)在由(2)表示的同一單位制下，上式即 (5) (6)將 (2)中第四 式代入 (6) 式得 (7)(2)式并未規定基本單位、和的絕對大小，因而(7)式對于任意大小的、和均成立，于是 (8)所以 (9)2. 由題意，桿的動能為 (10)其中， (11)注意到，桿在質心系中的運動可視為兩根長度為的桿過其公共端（即質心）的光滑水平軸在鉛直平面內轉動，因而，桿在質心系中的動能為 (12)將(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得 (13)由此解得 (14)于是 . (15)3. 以細桿與地球為系統，下擺過程中機械能守恒 (16)由(15)、(16)式得 . (17)以在桿上距點為處

10、的橫截面外側長為的那一段為研究對象，該段質量為，其質心速度為 . (18)設另一段對該段的切向力為(以增大的方向為正方向)， 法向(即與截面相垂直的方向)力為(以指向點方向為正向)，由質心運動定理得 (19) (20)式中，為質心的切向加速度的大小 (21)而為質心的法向加速度的大小. (22)由(19)、(20)、(21)、(22)式解得 (23) (24)評分標準：本題25分. 第1問5分， (2) 式1分， (6) 式2分，(7) 式1分，(8) 式1分；第2問7分， (10) 式1分，(11) 式2分，(12) 式2分， (14) 式2分；不依賴第1問的結果，用其他方法正確得出此問結果

11、的，同樣給分；第3問13分，(16) 式1分，(17) 式1分，(18) 式1分，(19) 式2分，(20) 式2分，(21) 式2分，(22) 式2分，(23) 式1分，(24) 式1分；不依賴第1、2問的結果，用其他方法正確得出此問結果的，同樣給分. 四、（20分）圖中所示的靜電機由一個半徑為、與環境絕緣的開口（朝上）金屬球殼形的容器和一個帶電液滴產生器G組成. 質量為、帶電量為的球形液滴從G緩慢地自由掉下（所謂緩慢，意指在G和容器口之間總是只有一滴液滴）. 液滴開始下落時相對于地面的高度為. 設液滴很小，容器足夠大，容器在達到最高電勢之前進入容器的液體尚未充滿容器. 忽略G的電荷對正在下

12、落的液滴的影響.重力加速度大小為. 若容器初始電勢為零，求容器可達到的最高電勢. 參考解答：設在某一時刻球殼形容器的電量為. 以液滴和容器為體系，考慮從一滴液滴從帶電液滴產生器 G出口自由下落到容器口的過程. 根據能量守恒有. (1)式中，為液滴在容器口的速率，是靜電力常量. 由此得液滴的動能為. (2)從上式可以看出，隨著容器電量的增加，落下的液滴在容器口的速率不斷變小；當液滴在容器口的速率為零時，不能進入容器，容器的電量停止增加，容器達到最高電勢. 設容器的最大電量為，則有. (3)由此得. (4)容器的最高電勢為 (5)由(4) 和 (5)式得 (6)評分標準：本題20分. (1)式6分

13、， (2) 式2分，(3) 式4分，(4) 式2分， (5) 式3分，(6) 式3分. 五、（25分）平行板電容器兩極板分別位于的平面內，電容器起初未被充電. 整個裝置處于均勻磁場中，磁感應強度大小為，方向沿軸負方向，如圖所示. 1. 在電容器參考系中只存在磁場；而在以沿y軸正方向的恒定速度（這里表示為沿x、y、z軸正方向的速度分量分別為0、0，以下類似）相對于電容器運動的參考系中，可能既有電場又有磁場. 試在非相對論情形下，從伽利略速度變換，求出在參考系中電場和磁場的表達式. 已知電荷量和作用在物體上的合力在伽利略變換下不變. 2. 現在讓介電常數為的電中性液體（絕緣體）在平行板電容器兩極板

14、之間勻速流動，流速大小為，方向沿軸正方向. 在相對液體靜止的參考系（即相對于電容器運動的參考系）中，由于液體處在第1問所述的電場中，其正負電荷會因電場力作用而發生相對移動（即所謂極化效應），使得液體中出現附加的靜電感應電場，因而液體中總電場強度不再是，而是，這里是真空的介電常數. 這將導致在電容器參考系中電場不再為零. 試求電容器參考系中電場的強度以及電容器上、下極板之間的電勢差. （結果用、或（和）表出. ）參考解答：1. 一個帶電量為的點電荷在電容器參考系中的速度為，在運動的參考系中的速度為. 在參考系中只存在磁場，因此這個點電荷在參考系中所受磁場的作用力為 (1)在參考系中可能既有電場又

15、有磁場，因此點電荷在參考系中所受電場和磁場的作用力的合力為(2)兩參考系中電荷、合力和速度的變換關系為 (3)由(1)、 (2)、 (3)式可知電磁場在兩參考系中的電場強度和磁感應強度滿足(4)它們對于任意的都成立，故(5)可見兩參考系中的磁場相同，但在運動的參考系中卻出現了沿z方向的勻強電場. 2. 現在，電中性液體在平行板電容器兩極板之間以速度勻速運動. 電容器參考系中的磁場會在液體參考系中產生由(5)式中第一個方程給出的電場. 這個電場會把液體極化，使得液體中的電場為. (6)為了求出電容器參考系中的電場，我們再次考慮電磁場的電場強度和磁感應強度在兩個參考系之間的變換，從液體參考系中的電

16、場和磁場來確定電容器參考系中的電場和磁場. 考慮一帶電量為的點電荷在兩參考系中所受的電場和磁場的作用力. 在液體參考系中，這力如(2)式所示. 它在電容器參考系中的形式為(7)利用兩參考系中電荷、合力和速度的變換關系(3)以及(6)式，可得(8)對于任意的都成立，故 (9)可見，在電容器參考系中的磁場仍為原來的磁場，現由于運動液體的極化，也存在電場，電場強度如(9)中第一式所示. 注意到(9)式所示的電場為均勻電場，由它產生的電容器上、下極板之間的電勢差為. (10)由(9)式中第一式和(10)式得. (11)評分標準：本題25分. 第1問12分， (1) 式1分， (2) 式3分， (3)

17、式3分，(4) 式3分，(5) 式2分；第2問13分， (6) 式1分，(7) 式3分，(8) 式3分， (9) 式2分， (10) 式2分，(11) 式2分. 六、（15分）溫度開關用厚度均為的鋼片和青銅片作感溫元件；在溫度為時，將它們緊貼，兩端焊接在一起，成為等長的平直雙金屬片. 若鋼和青銅的線膨脹系數分別為/度和/度. 當溫度升高到時，雙金屬片將自動彎成圓弧形，如圖所示. 試求雙金屬片彎曲的曲率半徑. (忽略加熱時金屬片厚度的變化. ) 參考解答：設彎成的圓弧半徑為，金屬片原長為，圓弧所對的圓心角為，鋼和青銅的線膨脹系數分別為和，鋼片和青銅片溫度由升高到時的伸長量分別為和. 對于鋼片 (

18、1) (2)式中，. 對于青銅片 (3) (4)聯立以上各式得 (5) 評分標準：本題15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式3分，(4) 式3分， (5) 式3分. 七、（20分）一斜劈形透明介質劈尖，尖角為，高為. 今以尖角頂點為坐標原點，建立坐標系如圖(a)所示；劈尖斜面實際上是由一系列微小臺階組成的，在圖(a)中看來，每一個小臺階的前側面與xz平面平行，上表面與yz平面平行. 劈尖介質的折射率n隨而變化，其中常數. 一束波長為的單色平行光沿軸正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透鏡，在劈尖與薄凸透鏡之間放一檔板，在檔板上刻有一系列與方向平行、沿方向排列的透光狹縫，如圖(b)所示

19、. 入射光的波面（即與平行入射光線垂直的平面）、劈尖底面、檔板平面都與軸垂直，透鏡主光軸為軸. 要求通過各狹縫的透射光彼此在透鏡焦點處得到加強而形成亮紋. 已知第一條狹縫位于處；物和像之間各光線的光程相等. 1. 求其余各狹縫的坐標；2. 試說明各狹縫彼此等距排列能否仍然滿足上述要求. 圖(a) 圖(b)參考解答： 1. 考慮射到劈尖上某值處的光線，計算該光線由到之間的光程. 將該光線在介質中的光程記為，在空氣中的光程記為. 介質的折射率是不均勻的，光入射到介質表面時，在 處，該處介質的折射率；射到處時，該處介質的折射率. 因折射率隨x線性增加，光線從處射到（是劈尖上值處光線在劈尖中傳播的距離

20、）處的光程與光通過折射率等于平均折射率 (1)的均勻介質的光程相同，即 (2)忽略透過劈尖斜面相鄰小臺階連接處的光線（事實上，可通過選擇臺階的尺度和檔板上狹縫的位置來避開這些光線的影響），光線透過劈尖后其傳播方向保持不變，因而有 (3)于是 . (4)由幾何關系有 . (5)故. (6)從介質出來的光經過狹縫后仍平行于軸，狹縫的值應與對應介質的值相同，這些平行光線會聚在透鏡焦點處. 對于處，由上式得 . (7)處與處的光線的光程差為 . (8)由于物像之間各光線的光程相等，故平行光線之間的光程差在通過透鏡前和會聚在透鏡焦點處時保持不變；因而(8)式在透鏡焦點處也成立. 為使光線經透鏡會聚后在焦點處彼此加強，要求兩束光的光程差為波長的整數倍，即 . (9)由此得 . (10)除了位于處的狹縫外，其余各狹縫對應的坐標依次為 . (11)2. 各束光在焦點處彼此加強，并不要求(11)中各項都存在. 將各狹縫彼此等距排列仍可能滿足上述要求. 事實上，若依次取，其中為任意正整數，則 . (12)這些狹縫顯然彼此等間距，且相鄰狹縫的間距均為，光線在焦點處依然相互加強而形成亮紋. 評分標準：本題20分. 第1問16分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式1分，(4) 式1分，(5) 式2分，(6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分， (9) 式2分， (10) 式1分，