1、待定系數法分解因式（附答案）待定系數法作為最常用的解題方法，可以運用于因式分解、確定方程系數、解決 應用問題等各種場合。其指導作用貫穿于初中、高中甚至于大學的許多課程之中，認 真學好并掌握待定系數法，必將大有裨益。內容綜述將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便 可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫做待定 系數法。本講主要介紹待定系數法在因式分解中的作用。同學們要仔細體會解題的技巧。要點解析這一部分中，通過一系列題目的因式分解過程，同學們要學會用待定系數法進行

2、 因式分解時的方法，步驟，技巧等。例1分解因式以、號-獷+*1呀15思路1因為 /尸 '尸八 八所以設原式的分解式是網+*小+*然后展開，利用多項式的恒等,求出m, n,的值。解法1因為 ' '產八所以可設2 針 十 號一曠-14,測）2x +為+ %=21 +秒-+ （2煙+盟）乂 + 0附一司）*中明用.r2 m+n= 14 3n-n= 14比較系數，得 一1由、解得函一二四-把泡-女同-5代入式也成立。一： 一： 一 十| 1一|：.一工 思路2前面同思路1 ,然后給x,y取特殊值，求出 m,n的值。解法2因為2/ + 3y =（，-勸0+力），所以可設2/ +

3、號 - 3y2 + / + 14, 15 =。- y + ）2, + 孫中 盟）一因為該式是恒等式，所以它對所有使式子有意義的x,y都成立，那么無妨令入得四題二15.令升 Dj I,得舊陽十35一甩十1 = 口齦=2題=_g解、得海一二題 工或 3把它們分別代入恒等式檢驗，得"'''說明：本題解法中方程的個數多于未知數的個數，必須把求得的值代入多余的方 程逐一檢驗。若有的解對某個方程或所設的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程 組無解，則說明原式不能分解成所設形成的因式。例2分解因式/一/十4/十3工十士思路 本題是關于x的四次多項式，可考慮用待定系數法將其分

4、解為兩個二次式之解設丈一匯f + 5=(工+穌+ l)(x+4 4 »=,/ +出1 + 垃千十(5a + h)x, + 5,由恒等式性質有：/a+b = 3由、解得厘=-2,代入中，式成立。.-一 -說明若設原式=("5-1)(/小-»由待定系數法解題知關于a與b的方程組無解，故設原式=(x2+ l)(xJ 中方7 + 5)例3在關于x的二次三項式中，當兄=1時，其值為0;當五二 一3時，其值為0;當五二工 時，其值為 10,求這個二次三項式。 思路1先設出關于 x的二次三項式的表達式，然后利用已知條件求出各項的系數。可 考慮利用恒待式的性質。解法1設關于x的二

5、次三項式為 公+臺工已把已知條件分別代入，得a+ b+ c = 0(I)< 9a+3b+ c = D4a + 2b -b c -10a = 2,b = 4r解得匚1故所求的二次三項為二-思路2根據已知克=L-3時，其值0這一條件可設二次三項式為05 -鞏工+3).然后再求出a的值。解法2由已知條件知當 x1二3時，這個二次三項式的值都為0,故可設這個二次三項式為心工代入上式，得5廣1。，解得：=-故所求的二次三項式為 20-1)5 + 3),即2M說明要注意利用已知條件，巧設二次三項式的表達式。例4已知多項式 /十占工工十次+d的系數都是整數。若 bd + cd是奇數，證明這個多項式不能

6、分解為兩個整系數多項式的乘積。思路先設這個多項式能分解為兩個整系數多項式的乘積，然后利用已知條件及其 他知識推出這種分解是不可能的。證明：設J-"= / 幽+小(陰”上+2(m,n,r都是整數)。比較系數，得枇=d.因為上 +匚"=J(,b+c")是奇數，則i十二與d都為奇數，那么 mr也是奇數，由奇數的性質得出 m,r也都是奇數。在式中令工=1,得八。+陽）0 +川由b十 %"是奇數，得l + 3+C+d是奇數。而 m為奇數，故1 +浦是偶數，所以（1 +附）（1 +甩+ r）是偶數。這樣 的左邊是奇數，右邊是偶數。這是不可能的。因此，題中的多項式不能

7、分解為兩個整系數多項式的乘積。說明：所要證的命題涉及到不能”時，常常考慮用反證法來證明。例5已知/- 5於*4,能被l整除，求證：思路：可用待定系數法來求展開前后系數之間的關系。drW - 5qx + 4r =（二一匚+ ax2 + 十證明：設亡展開，比較系數，得a-2c = 0c2 +t）-2ac=004 am劭匚十年=。竺一 bc、59由、，得"二2 f二女,代入、得：P =匕國=E ,.二| 1例6若a是自然數，且a - 4屋+ 1方-30次4 27的值是一個質數，求這個質數。思路：因為質數只能分解為1和它本身，故可用待定系數法將多項式分解因式，且使得因式中值較小的為1,即可求

8、a的值。進而解決問題。解：由待定系數法可解得備'-4? +1北工-30次427=3口 一 % + 與蘇2 + 9）.由于a是自然數，且也*-4/ + 1"-30次+27是一個質數，盅,一弘+ 34° -+ 9. "-L；一解得'-1-二當鼻=1時，*1=9不是質數。2當的.2,時，鬣-%+9=11是質數。u" !；_ =11 .培優訓練A級 1、分解因式 婷的一獷+"沙-4=. 2、若多項式 短能被身一行4整除，則n=. 3、二次三項式當 五=1時其值為-3,當界=工時其值為2,當無二-1時其值為5 , 這個二次三項式是 . 4

9、、m, n是什么數時，多項式4川K 4M能被；2/4整除B級 5、多項式3# ； 2xy-y -3*能分解為兩個一次因式的積，則k=. 6、若多項式 笊* 5/411/，松4M能被Slf整除，則_= .W i'll 7、若多項式 工-6克十%工-8當X = l，2時的值均為0,則當x=時，多項式的值也是0。 8、求證： 1"工"¥不能分解為兩個一次因式的積。參考答案或提示：1；.一：I .提示：設原式；.' 一J "=3/ + 5xy - 2y7 (口 * 38” + (2a - b)y + ah.比較兩邊系數，得%十兆=1< 2a

10、 - b = 3ab - -4將04目 7代入式成立。 原式.-*72 + 2/-1）2、-4。提示：設原式. 1 '=j 一 ，.一二.：_,一一.，比較系數，得3m + 4 = 1$ 8- m= 9（2）nTm由、解得酬-T代入得咫=一4.3、二,一二提示：設二次三項式為 工二把已知條件代入，得，K 十占十二二一二 ，4僅十2b十4-2,鼻-8 一 $ =工% = 3nC=7, 匕=一 2 解得L所求二次三項式為短一4釬2一/ 海- -1L 廣 4. /IL設一+ 一，一=x4 +(b- 2)x3 +(網-2£f+ (-2m +8)工* n.比較系數，得(白 _ 2 7照十311,-2鼻4b = m.fb = -3,，對三4.曰 m = - W 解得.當m=-ii , n=4已知多項式能被 匯-2/1整除。提示：設原式 ",-"=城 + 2xyy2 + ( + (邦一圖)如總比較系數，得(/十3常二5.照僧-3*mn = k.% = 2,提示：設原式 一 一=/4也-2)x3 +3一2+1)/ + g - 2的上中夙比較系數，得成.1,解得.提示：設原式 二-：l - r.=/ 一 0+匕）尸+ （2+